人教A版2019高一数学必修二第二学期712复数的几何意义1

第七章复数7.1.2复数的几何意义人教A版高一数学必修二第二学期7.1.2复数的几何意义核心素养目标1.数学抽象：抽象概括出复数与复平面内的点、平面向量的一一对应关系。2.直观想象：通过复平面直观理解复数的几何意义，建立数与形的联系。3.逻辑推理：依据对应关系，合理推导复数模的性质及相关结论。4.数学运算：准确计算复数的模，以及根据几何意义进行简单运算。教学重点：理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；掌握实轴、虚轴、模等概念；教学难点：掌握用向量的模来表示复数的模的方法.教学目标一、复习回顾：复数的有关概念1.复数的一般形式实部虚部虚数单位2.两个复数相等的充要条件实部=实部虚部=虚部知识讲解3.复数的分类实数

虚数纯虚数b=0b≠0a=0且b≠0知识讲解知识讲解我们大胆假设存在一个新数（叫做虚数单位）.规定：①；②可以和实数进行运算且原有的运算律仍然成立.

1.复数

2.复数相等知识讲解思考：虚数单位是数学家想象出来的，由此可以得到复数集.实数恰可以看成特殊的复数集（虚部为零）.另外，由复数相等的意义可以知道复数由实部和虚部唯一确定.那么，复数集还有什么性质和特点呢？复数有什么作用呢？思考1：在几何上我们用什么来表示实数？实数数轴上的点一一对应实数的几何意义就是数轴上的点0A1-1BxC（数）（形）知识讲解知识讲解思考2：一个复数由哪两个部分唯一确定？实部虚部因为任何一个复数z=a+bⅈ都可以用一个有序实数对(a,b)唯一确定，并且任意给一个复数也可以唯一确定一个有序数对，所以复数z=a+bⅈ与有序数对(a,b)是一一对应的，而有序数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.一、复平面知识讲解一、复平面如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bⅈ可以用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，象限内的点都表示非纯虚数.知识讲解1.复数的几何意义（一）一一对应一一对应一一对应抚平，复平面实轴虚轴OxyabZ(a,b)知识讲解一、复平面yxO2-1-23例如，复平面内原点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示实数2，虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数−i

，点(-2,3)表示复数−2+3i等.注意：复数z=a+bⅈ(a,b∈R)在复平面内对应点的坐标为(a,b)，而不是(a,bi)，也就是说，复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是i.知识讲解二、复数的几何意义1.复数的几何意义——与点对应由上可知，每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应的关系，即复数

z=a+bⅈ

复平面内的点

Z(a,b)一一对应注意：(1)复数的实质是有序数对；(2)复数z=a+bⅈ(a,b∈R)中的z，书写时应小写；复平面内点

Z(a,b)中的Z，书写时要大写.知识讲解说出下列各点所对应的复数思考：实轴上的点是什么数？虚轴上的点是什么数？有没有例外？知识讲解说出下列各点所对应的复数实轴上的点都是实数除原点外,虚轴上的点都是纯虚数知识讲解实数x分别取什么值时，复数z=(x-3)+(2-x)i对应的点z在：（1）第三象限（2）虚轴上（3）第四象限（4）实轴上解：纯虚数知识讲解实数x分别取什么值时，复数z=(x-3)+(2-x)i对应的点z在：（1）第三象限（2）虚轴上（3）第四象限（4）实轴上解：纯虚数二、复数的几何意义2.复数的几何意义——与向量对应在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序数对和复数又是一一对应的.这样我们就可以用平面向量来表示复数.知识讲解二、复数的几何意义2.复数的几何意义——与向量对应如图，设复平面内的点Z表示复数z=a+bⅈ

，连接OZ

，显然向量OZ由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定，因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量也建立了一一对应的关系(实数0与零向量对应),即为了方便起见，我们常把复数z=a+bⅈ说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数.yxObaZ：a+bi一一对应复数z=a+bⅈ

平面向量知识讲解知识讲解实数a的模就等于|a|设复数z1=4+3i，z2=4-3i(1)在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量（2）求复数z1，z2的模长，并比较它们的模的大小知识讲解设复数z1=4+3i，z2=4-3i(1)在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量（2）求复数z1，z2的模长，并比较它们的模的大小思考：这两个复数有什么联系？(1)实部相等，虚部相反(2)复平面内对应的点关于实轴对称，模相等三、复数的模如果b=0，那么z=a+bⅈ是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值)向量的模叫做复数

z=a+bⅈ的模，记作|z|或|a+bi|.即，其中a,b∈R

.知识讲解三、复数的模1.复数的模是个非负实数，任意两复数的模可以比较大小；2.复数的模的几何意义：复数z=a+bⅈ(a,b∈R)的模|z|表示复数在平面内对应的点Z(a,b)到原点的距离.类比向量的模可以作推广：|z1−z2|表示点Z1和点Z2之间的距离；3.复数的模，复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数所对应向量的模，这三者是相等的.注意：知识讲解四、共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.z=a+b

ⅈz=a−b

ⅈ共轭复数注意：复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bⅈ(a,b∈R)，那么.z=a−bⅈ，特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.1.定义：知识讲解四、共轭复数2.几何意义：互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.P(a,b)Q(a,−b)yxO共轭复数的常用结论：设复数z=a+bⅈ(a,b∈R)在复平面内所对应的点为P(a,b)，z=a−bⅈ在复平面内对应的点为Q(a,−b)，如图所示，它们关于实轴对称.（1）z+z=2a（2）z−z=2bi（3）|z|=|z|知识讲解知识讲解练习2.复数z=3-4i共轭复数对应的点在第_______象限1.说出下列复数的共轭复数：-2+2i,3i,3-3i,-3+2i,-i，2i-1(1)以原点O为圆心，以1为半径的圆。(2)以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界。知识讲解例题讲解例1求实数a分别取何值时，复数对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方．知识讲解解：(1)点Z在复平面的第二象限内，解得a＜－3.(2)点Z在x轴上方，即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.知识讲解解题技巧利用复数与点的对应的解题步骤：1、复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．2、已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．知识讲解例2已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是()

A．－5＋5iB．5－5iC．5＋5i D．－5－5i知识讲解解:向量对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量由向量减法的坐标运算可得向量(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.答案B知识讲解解题技巧复数与平面向量对应关系的解题技巧：

1、根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．2、解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内