2025年吉林大学尚德学校中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年吉林大学尚德学校中考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．（3分）的倒数是（）A． B．2025 C． D．﹣20252．（3分）如图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是（）A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图3．（3分）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，则此正八边形徽章一个内角的大小为（）A．135° B．75° C．45° D．105°4．（3分）等式的性质在生活中广泛应用．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（）A．若a＝b+5，则a+c＝b+c+5 B．若a＝b+c，则a+5＝b+c+5 C．若a＝b+5，则ac＝（b+5）c D．若a＝b+5，则5．（3分）将质量分别为a、b、c的物体放入天平中，两个天平均保持平衡，则下列不等关系成立的是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（3分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶弦杆AB的长为（）A． B． C． D．7．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹（）A．BE⊥AC B．DF＝BF C．∠∠ABC D．EF＝AE8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9．（3分）计算：＝．10．（3分）因式分解：m3﹣4m＝．11．（3分）若抛物线y＝﹣2x2+x﹣c与x轴有交点，则c的取值范围是．12．（3分）已知一次函数y＝﹣2x+3，当自变量x＜2时，函数y的值可以是（写出一个即可）．13．（3分）如图，用一个半径为3cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了100°（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了cm．14．（3分）如图，点E在正方形ABCD外，连接AE、BE、DE，BF＝10，则下列结论：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）三、解答题：本题共10小题，共78分。15．（6分）先化简，再求值：，其中．16．（6分）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为；（2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由）17．（6分）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？18．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，连结OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，，则OE＝．19．（7分）图①、图②、图③均是4×3的矩形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，不写画法，保留作图痕迹．（1）在图①中，过点C作△ABC边上的中线CD；（2）在图②中，过点A作线段AE，将△ABC分为面积相等的两部分；（3）图③中，在△ABC内找一点G，连结GA，GC，使得S△GAB＝S△GBC＝S△GAC．20．（7分）汉字是中华民族优秀文化智慧的结晶，蕴含着丰富的文化内涵和审美意蕴．为弘扬中华汉语言文化，促进规范用字、规范书写，某校计划在各班推选出来的共20名学生中选拔部分学生参加市级汉字所写大赛，参加选拔的同学需要参加表达能力、阅读理解、汉字听写三项测试（满分100分），取平均数作为该项的测试成绩，再将表达能力、阅读理解、汉字听写三项的成绩按照3：3：4的比例计算出每人的总评成绩．小颖、小轩的三项测试成绩和总评成绩如表（每组包含最小值，不包含最大值）如图．选手测试成绩/分总评成绩/分表达能力阅读理解汉字听写小颖92859089.1小轩9288.5（1）在表达能力测试中，七位评委给小轩打出的分数如下：93，94，95，93，94．这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是分；（2）请你计算小轩的总评成绩；（3）学校决定根据总评成绩安排前3名学生代表学校参加市级比赛，试分析小颖、小轩能否入选，并说明理由．21．（8分）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上7：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍3）与换水时间上x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）该游泳池清洗需要小时．（2）求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12：30进入该游泳馆游泳，并说明理由．22．（9分）数学兴趣活动课上，小致将等腰△ABC的底边BC与直线l重合．（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，点P在边BC所在的直线l上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”．（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，如图②，在△ABP中，交BP于点D，点E、F分别是边AD、AP上的动点，小致尝试探索PE+EF的最小值，小致在AB上截取AN，连接NE，易证△AEF≌△AEN，转化到（1）的情况；（3）解决问题：如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是边CB上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，求线段CP的最小值．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，D为边AC的中点．点P从点A出发，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC﹣CD运动到点D停止，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）．（1）当点Q与点D重合时，t的值为；（2）用含t的代数式表示CQ长；（3）PQ将△ABC的分成的两部分，其中的三角形与△ABC相似时，求t的值；（4）当点Q不与△ABC的顶点重合时，过点Q作QM∥AB交△ABC的边于点M，以PM和QM为边作▱PMQN．连结BD24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+3（a＜0）与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C．（1）如图1，若点A的坐标为（﹣1，0），求抛物线的表达式和点C的坐标；（2）过点C作y轴的垂线l，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形①在（1）的条件下，在图形G位于x轴上方的部分是否存在点D△ABD＝3？若存在，求点D的坐标；若不存在；②如图2，已知点P（1+a，p）和点Q（1﹣a，q），当﹣3≤t≤0时，请直接写出a的取值范围．

2025年吉林大学尚德学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DCAAADCD一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．（3分）的倒数是（）A． B．2025 C． D．﹣2025【分析】利用倒数的定义求解即可．【解答】解：的倒数是﹣2025．故选：D．2．（3分）如图1是由4个相同的小正方体组成的一个几何体，在图1的基础上再添加一个相同大小的正方体变成图2，则三视图发生改变的是（）A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组合体进行判断，可得答案．【解答】解：根据题意可知，三视图发生改变的是俯视图．故选：C．3．（3分）学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，则此正八边形徽章一个内角的大小为（）A．135° B．75° C．45° D．105°【分析】利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用180度减去外角度数即可．【解答】解：∵每个外角为360°÷8＝45°，∴每个内角为180°﹣45°＝135°，故选：A．4．（3分）等式的性质在生活中广泛应用．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（）A．若a＝b+5，则a+c＝b+c+5 B．若a＝b+c，则a+5＝b+c+5 C．若a＝b+5，则ac＝（b+5）c D．若a＝b+5，则【分析】根据等式的基本性质1，将a＝b+5的两边同时加c即可．【解答】解：根据等式的基本性质1，将a＝b+5的两边同时加c，∴A符合题意，BCD不符合题意．故选：A．5．（3分）将质量分别为a、b、c的物体放入天平中，两个天平均保持平衡，则下列不等关系成立的是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】由题图得到a、b、c的数量关系，进而即可求解．【解答】解：由题图知，a＝2c，∴，∴c＜b＜a．故选：A．6．（3分）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶弦杆AB的长为（）A． B． C． D．【分析】过A点作AD⊥BC于点D，先根据题目中的数据求得BD，再解直角三角形求得结果．【解答】解：过A点作AD⊥BC于点D，∵BC＝3+0.4×2＝3.7（m），AB＝AC，∴BD＝BC＝6.8m，∴AB＝＝＝（m）．故选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹（）A．BE⊥AC B．DF＝BF C．∠∠ABC D．EF＝AE【分析】由作图可知BE平分∠ABC，DF垂直平分线段AB，再根据线段的垂直平分线的性质判断即可．【解答】解：由作图可知BE平分∠ABC，DF垂直平分线段AB，∴∠ABE＝∠EBC，FB＝FA，∴∠BAF＝∠ABE，∴∠BAF＝∠ABC．故选项C正确，故选：C．8．（3分）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【分析】解方程求得B（8，0），G（0，﹣4），得到OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到AE＝BF，BE＝CF，根据相似三角形的性质得到＝，设CF＝a，BF＝2a，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．【解答】解：在y＝x﹣2中，则x＝8，令x＝0，则y＝﹣5，∴B（8，0），﹣5），∴OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴AE＝BF，BE＝CF，∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，∴△OBG∽△FBC，∴＝，∴设CF＝a，BF＝2a，∴AE＝7a，BE＝a，∴A（8﹣a，2a），a），∵点A，点C在反比例函数y＝，x＞5）图象上，∴2a（8﹣a）＝a（4+2a），∴a＝2，a＝5（不合题意舍去），∴A（6，4），∴k＝4×6＝24，∴反比例函数表达式为y＝，故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9．（3分）计算：＝2．【分析】根据乘法分配律计算，然后化简二次根式，再算减法即可．【解答】解：＝﹣＝7﹣4＝2，故答案为：5．10．（3分）因式分解：m3﹣4m＝m（m+2）（m﹣2）．【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+8）（m﹣2），故答案为：m（m+2）（m﹣3）11．（3分）若抛物线y＝﹣2x2+x﹣c与x轴有交点，则c的取值范围是c≤．【分析】依据题意，由抛物线y＝﹣2x2+x﹣c与x轴有交点，从而Δ＝1﹣4×（﹣2）•（﹣c）≥0，进而计算可以得解．【解答】解：由题意，∵抛物线y＝﹣2x2+x﹣c与x轴有交点，∴Δ＝7﹣4×（﹣2）•（﹣c）≥5．∴c≤．故答案为：c≤．12．（3分）已知一次函数y＝﹣2x+3，当自变量x＜2时，函数y的值可以是3（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】任取一个x的值满足x＜2，代入一次函数y＝﹣2x+3，求出对应y的值即可．【解答】解：当x＝0时，y＝3．故答案为：6（答案不唯一）．13．（3分）如图，用一个半径为3cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了100°（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了cm．【分析】利用计算即可．【解答】解：重物上升的高度为：．故答案为：．14．（3分）如图，点E在正方形ABCD外，连接AE、BE、DE，BF＝10，则下列结论：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论是①②④．（填写所有正确结论的序号）【分析】由正方形的性质可知AB＝AD，∠BAD＝90°，得出∠BAF+∠DAF＝90°，结合题意可得出∠EAB+∠BAF＝90°，即证明∠EAB＝∠FAD，从而可用“SAS”证明△AFD≌△AEB，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得出∠AEF＝∠AFE＝45°，结合全等的性质可得∠AFD＝∠AEB＝135°，进而即可求出∠BEF＝90°，故②正确；过点B作BG⊥AE，交AE延长线于点G，则BG的长即为点B到直线AE的距离．根据勾股定理可求出EF＝8，从而可求出．又易证△GBE为等腰直角三角形，即得出，故③正确；由全等的性质可得S△AFD＝S△AEB，即得出S△ABF+S△ADF＝S△ABF+S△AEB＝S△AEF+S△BEF，结合三角形的面积公式即可求出S△ABF+S△ADF＝16+24＝40，故④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°．∵EA⊥AF，∴∠EAB+∠BAF＝90°，∴∠EAB＝∠FAD．又∵AE＝AF，∴△AEB≌△AFD（SAS），故①正确；∵△AFD≌△AEB，∴∠AFD＝∠AEB．∵∠EAF＝90°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠AEB＝∠AFD＝180°﹣∠AFE＝135°，∴∠BEF＝∠AEB﹣∠AEF＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，故②正确；如图，过点B作BG⊥AE，则BG的长即为点B到直线AE的距离．∵∠EAF＝90°，，∴．∵BF＝10，∠BEF＝90°，∴．∵∠AEB＝135°，∴∠GBE＝∠GEB＝45°，∴，故③错误；∵△AFD≌△AEB，∴S△AFD＝S△AEB，∴S△ABF+S△ADF＝S△ABF+S△AEB＝S△AEF+S△BEF．∵，，∴S△ABF+S△ADF＝16+24＝40，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本题共10小题，共78分。15．（6分）先化简，再求值：，其中．【分析】先用同分母分式法则计算加法，再分解因式约分，最后将x的值代入计算．【解答】解：＝＝＝x﹣1，当x＝+7时，原式＝+1﹣2＝．16．（6分）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为；（2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由）【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“秋”，∴从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，∴抽取的书签恰好1张为“春”，8张为“秋”的概率为＝＝．17．（6分）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？【分析】设甲组有x名工人，则乙组有（35﹣x）名工人，根据乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲组的人数），再将其代入（35﹣x）中，即可求出乙组的人数．【解答】解：设甲组有x名工人，则乙组有（35﹣x）名工人，根据题意得：＝×1.2，解得：x＝20，经检验，x＝20是所列方程的解，∴35﹣x＝35﹣20＝15．答：甲组有20名工人，乙组有15名工人．18．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，连结OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，，则OE＝2．【分析】（1）证四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝∠DCA，再证∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD＝BD＝，AC⊥BD，再由勾股定理得OA的长，由直角三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OA＝＝＝2，∵CE⊥AB，OA＝OC，∴OE＝OA＝3，故答案为：2．19．（7分）图①、图②、图③均是4×3的矩形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，不写画法，保留作图痕迹．（1）在图①中，过点C作△ABC边上的中线CD；（2）在图②中，过点A作线段AE，将△ABC分为面积相等的两部分；（3）图③中，在△ABC内找一点G，连结GA，GC，使得S△GAB＝S△GBC＝S△GAC．【分析】（1）先作中线AE，BF相交于为O，连接CO并延长CO交AB于D即可；（2）作△ABC的中线AE即可；（3）作△ABC的中线AE，BF相交于G即可．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求，由平行线分线段成比例，可得点E、AC的中点，∴AE、BF是△ABC的中线，∴点O是△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线；（2）如图，线段AE即为所求，由平行线分线段成比例，可得点E是边的中点，∴AE是△ABC的中线，∴S△ACE＝S△ABE；（3）如图，点G即为所求，AE、BF是△ABC的中线，∴点G是△ABC的重心，S△GCE＝S△GBE，S△GAF＝S△GCF，∴CD是△ABC的中线．AG＝2GE，∴S△GBD＝S△GAD，S△GAC＝2S△GEC，S△GAB＝5S△GAF，∴S△GAF＝S△GCF＝S△GCE＝S△GBE＝S△GBD＝S△GAD，∴S△GAC＝S△GBC＝S△GAB．20．（7分）汉字是中华民族优秀文化智慧的结晶，蕴含着丰富的文化内涵和审美意蕴．为弘扬中华汉语言文化，促进规范用字、规范书写，某校计划在各班推选出来的共20名学生中选拔部分学生参加市级汉字所写大赛，参加选拔的同学需要参加表达能力、阅读理解、汉字听写三项测试（满分100分），取平均数作为该项的测试成绩，再将表达能力、阅读理解、汉字听写三项的成绩按照3：3：4的比例计算出每人的总评成绩．小颖、小轩的三项测试成绩和总评成绩如表（每组包含最小值，不包含最大值）如图．选手测试成绩/分总评成绩/分表达能力阅读理解汉字听写小颖92859089.1小轩9288.5（1）在表达能力测试中，七位评委给小轩打出的分数如下：93，94，95，93，94．这组数据的中位数是94分，众数是93分，平均数是94分；（2）请你计算小轩的总评成绩；（3）学校决定根据总评成绩安排前3名学生代表学校参加市级比赛，试分析小颖、小轩能否入选，并说明理由．【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；（2）根据加权平均数的定义计算即可．（3）由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大于等于90分的有2人，可知小轩排在前两名，能入选，不能判断小颖能否入选．【解答】解：（1）这组数据的中位数为94分，众数为93分×（93+94+96+95+93+93+94）＝94（分），故答案为：94、93．（2）由（1）可知，小轩的表达能力为94分，94×30%+92×30%+88.6×40%＝91.2（分），答：小轩的总评成绩为91.2分；（3）小轩能入选，但不能判断小颖能否入选，理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大于90分的有7人，由（2）可知，小轩的总评成绩为91.2分，所以小轩能入选，因为小颖的总评成绩为89.1分，所以不能判断小颖能否入选．21．（8分）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上7：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍3）与换水时间上x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）该游泳池清洗需要1.2小时．（2）求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12：30进入该游泳馆游泳，并说明理由．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；（2）根据题意核函数图象中的数据可以求得排水过程中的y（m3）与x（h）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据题意可以求得下午几点开放，然后与12：30比较大小即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，该游泳池清洗需要：2.7﹣5.5＝1.4（小时），故答案为：1.2；（2）设排水过程中的y（m7）与x（h）之间的函数关系式为：y＝kx+b，由题，得，解得，∴排水过程中的y与x之间的函数关系式为：y＝﹣800x+1200（0≤x≤1.3）；（3）由题意可得，排水的速度为：1200÷1.5＝800（m8/h），∴灌水的速度为：800÷1.6＝500（m7/h），∴灌水用的时间为：1200÷500＝2.4（h），∴对外开放的时间为：2+2.7+8.4+＝12：36＞12：30，∴游泳爱好者小致不能在中午12：30进入该游泳馆游泳．22．（9分）数学兴趣活动课上，小致将等腰△ABC的底边BC与直线l重合．（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，点P在边BC所在的直线l上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”2．（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，如图②，在△ABP中，交BP于点D，点E、F分别是边AD、AP上的动点，小致尝试探索PE+EF的最小值，小致在AB上截取AN，连接NE，易证△AEF≌△AEN，转化到（1）的情况；（3）解决问题：如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是边CB上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，求线段CP的最小值．【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H．根据垂线段最短，求出AH即可解决问题．（2）如图2中，在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接NE．作PH⊥AB于H．由△EAN≌△EAF（SAS），推出EN＝EF，推出PE+EF＝PE+NE，推出当P，E，N共线且与PH重合时，PE+PF的值最小，最小值为线段PH的长．（3）如图3中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK，DK．由△PAC≌△DAK（SAS），推出PC＝DK，易知KD⊥BC时，KD的值最小，求出KD的最小值即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．∵AB＝AC＝4，AH⊥BC，∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝60°，∴AH＝AB•cos60°＝2，根据垂线段最短可知，当AP与AH重合时，最小值为8．故答案为2．（2）如图2中，在AB上截取AN，连接NE．∵∠EAN＝∠EAF，AN＝AF，∴△EAN≌△EAF（SAS），∴EN＝EF，∴PE+EF＝PE+NE，∴当P，E，N共线且与PH重合时，最小值为线段PH的长，∵•AB•PH＝，∴PH＝＝，∴PE+EF的最小值为．故答案为．（3）如图3中，在AB上取一点K，连接CK．∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAK＝60°，∴∠PAD＝∠CAK，∴∠PAC＝∠DAK，∵PA＝DA，CA＝KA，∴△PAC≌△DAK（SAS），∴PC＝DK，∵KD⊥BC时，KD的值最小，∴PC的最小值为3．23．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，D为边AC的中点．点P从点A出发，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC﹣CD运动到点D停止，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）．（1）当点Q与点D重合时，t的值为；（2）用含t的代数式表示CQ长；（3）PQ将△ABC的分成的两部分，其中的三角形与△ABC相似时，求t的值；（4）当点Q不与△ABC的顶点重合时，过点Q作QM∥AB交△ABC的边于点M，以PM和QM为边作▱PMQN．连结BD【分析】（1）利用勾股定理求得AC，进而得到点Q的运动距离，利用时间，路程与速度的关系式解答即可得出结论；（2）利用分类讨论的思想方法，利用时间，路程与速度的关系式解答即可得出结论；（3利用t的代数式表示出相应线段的长度，再利用分类讨论的思想方法解答即可；（4）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当0＜t＜3时，连接BD，PQ交于点O，利用平行四边形的性质和已知条件得到PQ∥AC，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的方程，解方程即可得出结论；②当3＜t＜5.5时，连接BD，MN交于点O，类比①的方法解答即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵D为边AC的中点，∴CD＝AD＝AC＝5，由题意：2t＝11，∴t＝．故答案为：；（2）当0＜t＜5时，∵BQ＝2t，BC＝6，∴CQ＝5﹣2t；当3＜t＜5.5时，BC+CQ＝2t，∴CQ＝2t﹣6．综上所述：CQ长为6﹣6t或2t﹣6；（3）由题意得：AP＝t，∴PB＝2﹣t．当0＜t＜3时，若△PBQ∽△ABC，则，∴，∴t＝；若△PBQ∽△CBA，∴，∴，∴t＝3.2（不合题意，舍去）；当3＜t＜5.7时，由（2）知：CQ＝2t﹣6，∴AQ＝AC﹣CQ＝16﹣8t．若△APQ∽△ABC，则，∴，∴t＝．若△APQ∽△ACB，则，∴，∴t＝（不合题意．综上，PQ将△ABC的分成的两部分，t的值为或；（4）①当7＜t＜3时，连接BD，如图，∵BD平分平行四边形PMQN的面积，∴BD经过平行四边形PMQN的中心，∴PO＝OQ，∵∠PBQ＝90°，∴BO＝PO，∴∠OPB＝∠OBP．∵D为边AC的中点，∠ABC＝90°，∴BD＝DA，∴∠A＝OBA，∴∠OPB＝∠A，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝．②当3＜t＜5.5时，连接BD，如图，由于BD平分平行四边形PMQN的面积，同理