2025年中考数学总复习《一次函数中等腰三角形存在性问题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《一次函数中等腰三角形存在性问题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，直线与轴、轴分别交于点、，另一直线与轴、轴分别交于点，连接．直线与直线交于点，在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别与直线交于点．(1)求的值及的面积；(2)若，求的值；(3)在轴找点使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．2．如图，已知在平面直角坐标系中，、、．(1)求的面积；(2)在y轴上是否存在一个点D，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．(3)在第二象限有一个，使得，请你求出的值．3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒．(1)求和的值；(2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是的上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处．求：(1)求A、B两点坐标；(2)求M坐标；(3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标；(4)在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得，请直接写出N点坐标．5．如图，直线与直线交于点，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．(1)求m和b的值；(2)已知点D在x轴上，且的面积为4，求点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．(1)求m和b的值；(2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．7．在直角坐标系中等边三角形的位置如图所示，等边三角形的边长为2．(1)求点A的坐标；(2)直线过点A，与x轴交于点C，求该直线的表达式；(3)在x轴上是否存在点Q，使得三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．在如图所示的平面直角坐标系中，直线过点且与直线交于点，直线与轴正半轴交于点．(1)若的面积为，求点的坐标；(2)若是等腰三角形，且，求直线的函数表达式．9．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点．(1)求点B、C、D的坐标；(2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由．(3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为，，直线经过点B、C．(1)点C的坐标为（___________，___________），点B的坐标为（___________，___________）；(2)设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．(3)如图2，直线l经过点C，与直线交于点M，点O关于直线l的对称点，连接并延长，交直线于第一象限的点D．当时，求直线l的解析式．11．如图①，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点坐标为，点在第一象限，，．为射线上一点，过作直线轴交于，交射线于．(1)求B点坐标；(2)当为线段中点时，在直线上找点，当为等腰三角形，请直接写出点坐标；(3)如图②，为中点，当时，求点坐标．12．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相等的速度做直线运动．已知点P沿射线运动，点Q沿线段的延长线运动，与所在直线相交于点D．(1)求线段的长度；(2)当时，点D是否平分线段？请说明理由；(3)若，设的面积为y，请写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(4)若点P运动的速度为2，运动的时间为t，则t为何值时，为等腰三角形？13．已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）.(1)当t为何值时，为直角三角形？(2)当t为何值时，为等腰三角形？14．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点A的坐标为，直线与直线相交于点C，点C的横坐标为1．(1)求直线的函数表达式；(2)在x轴上是否存在一点E，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．15．在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B．(1)如图1，求A点坐标；(2)如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，连接并延长交直线l于点F．若，求点P坐标；(3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接，，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．参考答案1．(1)5；7(2)(3)点Q的坐标为或或或【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积．（1）由直线求得E的坐标，代入求得b的值，即可求得D的坐标，再求出A，B点坐标即可求得的面积；（2）通过证得，得出，进而根据点E的坐标，求得点M的横坐标，从而求得a的值．（3）由勾股定理求出，分为底和腰两种情况讨论求解即可．【详解】（1）∵直线经过点，∴，∴，把E点的坐标代入得，，解得，∴直线为，∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，令，则；令，则，∴，∵直线与x轴，y轴分别交于点C，D，令，则，∴；∴，∴．（2）解：∵轴，∴，在和中，，∴，∴，∵点，∴M点的横坐标为，∴a的值为．（3）解：过点作于点∵，∴,∵∴∴由勾股定理得，；若为腰时，则，如图，∴；若为底时，则的垂直平分线交于，则。设，则∴，解得，，∴，∴；综上，点Q的坐标为或或或．2．(1)3(2)存在，(3)4【分析】本题主要考查了一次函数的应用，勾股定理，等腰三角形的定义以及坐标与图形性质，熟悉相关性质是解题的关键．（1）根据，，求得的面积；（2）设，则，，根据，，由勾股定理得，即，进而得出点坐标；（3）在轴负半轴上取点，过作轴的垂线，则点在该垂线上，过作，交于点，则，先求直线的表达式，再求直线的表达式即可．【详解】（1）解：、、，，，的面积；（2）解：存在一个点，使得是以为底的等腰三角形．如图所示，

设，则，，，，∴在中，，，解得，；（3）解：如图示，在轴负半轴上取点，过作轴的垂线，则点在该垂线上，过作，交于点，则，

、，设直线的解析式为，则，解得：直线的解析式为，设直线解析式为，把代入，可得，解得，直线解析式为，当时，．3．(1)，(2)(3)存在，或或或【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案；（2）求出，则，；过作于，分点P在上和点P在延长线上两种情况讨论，由三角形面积S与t之间的函数关系式；（3）过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可．【详解】（1）解在中，当时，；当时，；，；点在直线上，，又点也在直线上，，解得：；（2）解：在中，当时，，，，，，；当点P在上时，∵，则，过作于，如图1所示：则，∴；当点P在延长线上时，∵，则，过作于，如图1所示：则，∴；综上，；（3）解：存在，理由如下：过作于，如图1所示：则，，，；当时，，，；当时，如图2所示：则，，，，或；当时，如图3所示：设，则，，，解得：，与重合，，，；综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8．【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键．4．(1)(2)(3)点P的坐标为或或或．(4)【分析】本题属于一次函数的综合题，主要待定系数法求函数解析式、勾股定理的折叠问题、等腰三角形的性质和判定等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键．（1）令可求得得A点坐标；令，得B点坐标；（2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标；（3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可；（4）如图：作，作垂足为K，根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及已知条件可得；设，则、、，然后运用勾股定理列方程求得x，进而求得的长即可解答．【详解】（1）解：∵，∴令，则；令，则,．（2）解：∵，∴，∴，由折叠的性质可知，∴，设，则，在中，根据勾股定理得：，解得：，∴．（3）解：由（2）知，可得，①以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时，∴，∴；②以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时，∴或1，∴或；③如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，设，则，根据勾股定理得，解得∶，∴．综合上述，点P的坐标为或或或．（4）解：如图：作，作垂足为K，∴，∴，∵，，∴，解得：，∴，设，则，∴，∵，∴，∴，解得：或（不合题意舍弃），∴，∴．5．(1)m的值为4，b的值为5(2)或(3)存在，P的坐标为或或或【分析】（1）把代入，求得，代入求得；（2）根据的面积为4，求得，根据，求得，得到或；（3）设，求出，①当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：把代入得：，∴，把代入得：，解得；∴m的值为4，b的值为5；（2）解：∵的面积为4，，即，∴，在中，令，则，解得，，∴，∴或；（3）解：存在点P，使为等腰三角形，理由如下：设，在中，令，则，解得，，∴，①当时，则，∴，解得，∴；②当时，，∴，∴，解得：，或，∴，；③当时，则点与C关于对称，∴，∴，∴；故P的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，等腰三角形判断和性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键．6．(1)；(2)①；②存在，t的值为8或或或12．【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可；（2）①根据的面积公式列等式可得t的值；②存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可．【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得：，将点代入直线得：∴，解得：；（2）解：由（1）知：，当时，，，，，，；①设，则，过C作于E，如图1所示：，，的面积为10，∴，解得：；②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下：过C作于E，如图1所示：，，，∴，∴；a．当时，，，；b．当时，如图2所示：则，，，或；c．当时，如图3所示：设，则，，，解得：，∴P与E重合，，，；综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12．【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题．7．(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）过点作于点，根据等边三角形得出，根据勾股定理求出，即可求解；（2）将点代入直线求解即可；（3）设点，表示出，分为当时和当时，列方程求解即可．【详解】（1）解：过点作于点，∵是边长为2的等边三角形，，，；（2）解：将点代入直线得：，解得：，故；（3）解：存在，理由：设点，由点、、的坐标得，，当时，即，解得：（舍去）或，即点；当时，则，解得：，则点或，综上，点或或．【点睛】本题考查了一次函数解析式求解、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是能根据图形求出点A的坐标．8．(1)；(2)【分析】本题主要考查一次函数的综合问题，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是运用数形结合的思想解题．（1）根据的面积为可求得的长，可得出结论；（2）过点作轴于点，则，得，设直线的解析式为：，将，代入即可．【详解】（1）解：∵若的面积为，点∴，∴，∵，∴,∵点在轴正半轴，∴；（2）解：当时，过点作轴于点，∵,,∴，∵，轴∴，∴，设直线的解析式为：，将代入得：，解得，∴直线的解析式为：．9．(1)，(2)，或，理由见解析(3)或【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数与几何图形的综合应用：（1）分别令，求出一次函数与坐标轴的交点坐标即可；（2）根据的面积等于，列出函数关系式，令，求出的坐标即可；（3）设，两点间距离公式求出，分三种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，当时，，∴，∵，当时，，当时，，∴．（2）∵是直线上一点，∴，∵，∴，∴，∴当时，，当时，，∴，当或，，理由如下：当时，，解得：或，∴或．（3）设，∵，∴，当时，则：解得：或（舍去），∴；当时：，解得：或，均不符合题意，舍去；当时：，解得：，∴；综上：或．10．(1)0，6；8，(2)或或或(3)【分析】本题一次函数综合题，等腰三角形的性质，勾股定理，本题关键是利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值，从而求得其解析式．同时注意分类思想的运用．（1）根据直线经过点B、C两点，令，则，当时，则，即可求解；（2）分三种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可；（3）证明，则，求出，进而求解．【详解】（1）解：直线经过点B、C两点，令，则，当时，则，故点C、B的坐标分别为，故答案为：0，6；8，；（2）解：，①若，则点P的坐标为或；②若，则点P的坐标为；③若，设点P的坐标为，则，解得，故点P的坐标为；综上，点P的坐标为或或或；（3）解：如图2，过C点作于N，，，由题意，，，，，∴，，，，设l解析式，则，解得．∴直线l的解析式为：．11．(1)；(2)满足条件的点坐标为或或或；(3)点坐标为或．【分析】此题是一次函数和三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想，解本题的关键是用方程的思想解决问题．（1）先求出，进而求出，即可得出结论；（2）先设出点坐标，进而表示出，，，再分三种情况讨论建立方程求解即可得出结论；（3）先求出，直线，的解析式，进而设出点的坐标，表示出，，最后用面积关系建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）解：如图①，过点作于，，，，，，，；（2）解：，∴，点是中点，，，，设，，，，，为等腰三角形，①，，或，或；②，，，；③，，（舍或，，即：满足条件的点或或或；（3）解：如图由（1）知，，直线的解析式为，，直线的解析式为，点是中点，，设点，，，，，，或，点坐标为或．12．(1)(2)平分，见解析(3)，；，(4)，，【分析】本题考查了一次函数的综合题，（1）令即可求出的长度，令即可求出的长度，即可得；（2）过点B作轴交于E，然后求出，根据等腰直角三角形的性质得，从而得到，再利用“角角边”证明，即可得；（3）当时，点P在上，，根据三角形的面积公式即可得，当时，点P在x轴负半轴，，根据三角形的面积公式即可得；（4）当时，，在中，由勾股定理得，进行计算即可得；当时，，进行计算即可得；当时，，进行计算即可得；掌握一次函数的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】（1）解：令，则，解得，所以，，令，则，所以，，由勾股定理得，；（2）点D平分线段．理由如下：解：如图所示，过点B作轴交于E，则，∵，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在和中，∴，∴，∴点D平分线段；（3）解：当时，点P在上，，；当时，点P在x轴负半轴，，；（4）解：当时，，在中，由勾股定理得，，整理得，，解得，当时，，解得，当时，，解得，综上所述，，，．13．(1)当的值为5或时，为直角三角形；(2)当的值为或或10时，为等腰三角形．【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想与分类思想思考问题．（1）首先容易求出，两点的坐标，然后求出，的长度，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可；（2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，利用等腰三角形的性质求出即可．【详解】（1）解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，当时，；当时，，，，，，，为直角三角形，分两种情况：①当时，点与点重合，，点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为．当的值为5时，为直角三角形；②当时，设，，，，，解得，，当的值为时，为直角三角形；综上，当的值为5或时，为直角三角形；（2）解：由题意得，①当时，，，在中，，，，当的值为时，为等腰三角形；②当时，，当的值为时，为等腰三角形；③当时，，，，，当的值为10时，为等腰三角形；综上，当的值为或或10时，为等腰三角形．14．(1)直线的函数表达式为；(2)点的坐标为或或．【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质．（1）先求得，再运用待定系数法即可求得直线的解