上海市杨浦区2024年中考数学模拟3月试卷含解析

2024年上海市杨浦区中考数学模拟试卷（3月份）

一.选择题（满分24分，每小题4分）

1.已知^且加右0,则坐=（）

bd3b+d

A-yB-Tc-7D-7

2.在比例尺为1：10000（）的城市交通图上，某道路的长为3匣米，则这条道路的实际距离为（）

千米.

A.3B.30C.3000I）.0.3

3.在△力胸中，Zf=90°,若cos力=返，则sin力的值是（）

2

A.V3B.亚C.返D.—

“322

4.已知彳是一个单位向量，石是非零向量，那么下列等式正确的是（）

—♦—♦—♦1—«1—*1T

A・ae=aB-eb=bc-i-*।a=eD.-a=|T।b

laiIaIIbI

5.二次函数的复习课中，夏老师给出关于不的函数y=2〃f-（Wl）x-k^\（々为实数）.

夏老师：请独立思索，并把探究发觉的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.

学生独立思索后，黑板.卜.出现了一些结论.夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选

择了如下四条：

①存在函数，其图象经过点（1,0）：

②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；

③函数图象有可能经过两个象限；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数.

上述结论中正确个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，在△49C中，点〃为4〃上一点，过点〃作肉的平行线交力C于点笈过点£作力夕的平行

线交回于点月连接⑦，交跖于点£则下列说法正确的是（）

A

K

BC

.DE_ADRFK_BFrDE_AEnBD_BF

•而F•KE^FC•FC^EC•AD^FC

二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）

7.己知言与，则告•的值是_____.

b3a+b

8.如图，已知等边三角形力比边长为I,△力施、的三条中位线组成△44G的三条中位线

组成△力出依此进行下去得到区C的周长为.

9.当两个相像三角形的相像比为时，这两个相像三角形的面积比是1：2.

10.假如△力a's△分尸，且△力比'的三边长分别为4、5、6,△必尸的最短边长为12,那么△应产的

周长等于.

9

11.如图，在RtZUSC中，N〃Z=90。，点61是△月a1的重心，d；=2,sinN/IQ；=q』ij8C长为.

12.若点（1,5）,（5,5）是抛物线了=々炉助产c上的两个点，则此抛物线的对称轴是.

13.函数y=/+6代。（aNO）的图象如图所示，那么ac0.（填“>”，“="，或"V”）

14.若二次函数y=2（户1）z+3的图象上有三个不同的点力（击，4）、8（击+必，〃）、C（x2,4）,

则〃的值为.

15.如图，AB//CD,AD.a'相交于点反过E悍EF//CD交BD于点F,假如mCD=2：3,跖=6,

那么⑦的长等于

16.如图，人乘雪橇沿坡比1：加的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米.

17.二次函数y=V・3户2的图象不经过第象限.

18.如图，在RtZVL%中，/用!。=90。，将△力比'绕点力顺时针旋转90°得到△力8,C，连接6T,

CfC的面积为.

三.解答题（共7小题，满分78分）

19.（10分）如图，在平行四边形力及⑦中，点£在边交上，CE=2BE,AC.班'相交于点五

（1）求外'：劈的值;

（2）假如通二WCD=b»试用W、E表示向量而.

20.（10分）已知二次函数y=（A--1）2+/7,当x=2时，y=2.求该二次函数的解析式，并在平

面直角坐标系中画出该函数的图象.

21.（10分）如图，在中，Z6^90°,点〃在比边上，N4〃C=45。,BD=2,tanZ/=—

4

（1）求然和/厉的长：

（2）求sinN阴〃的值.

（1）求月、8两点坐标及直线/的解析式；

（2）求二次函数解析式：

（3）如图2,过点〃作宜线切〃力。交直线/于〃点，MN分别为直线月C和直线/上的两个动

点，连接CV,加、物，求G斗A.MJ切的最小值.

25.（14分）如图，正方形/!他少的边长为4,点心厂分别在边/“，力〃上，且/发尸=45,，C尸的

延长线交物的延长线于点G,四的延长线交的的延长线于点〃，连接/!C,EF.,GH.

（1）填空：ZAHC4ACG；（填或"V"或“=”）

（2）线段40,AG,力少什么关系？请说明理由；

（3）设力£=制

①△力67/的面积S有改变吗？假如改变.恳求出S与/〃的函数关系式；假如不改变，恳求出定值.

②请干脆写出访〃是等腰三角形的〃，值.

备用图

2024年上海市杨浦区中考数学模拟试卷（3月份）

参考答案与试题解析

一.选择题（满分24分，每小题4分）

1.【分析】由和比例的性质解答即可.

bd3

【解答】解：••彳=・=■!，

bd3

故选：A.

【点评】此题考杳比例的性质，关键是依据比例的性质解答.

2.【分析】依据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式干脆求解即可.

【解答】解：设这条道路的实际长度为筋则焉==士，

100000x

解得x=3（）0000c,勿=3碗.

・••这条道路的实际长度为3痴.

故选：A.

【点评】此题考查比例线段问题，能够依据比例尺正确进行计算，留意单位的转换.

3-【分析】依据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1,即可求解.

【解答】解：・・飞加力+cos7=l,即sin7+（亨）2=1,

・飞汨2月=二

4

解得sin4=之或-2（舍去），

.\sin/l=—.

2

故选：D.

【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是驾驭同■锐角的正弦与余弦之间的关系：对任

一锐角a,都有sin2a+ccs2a=1.

4.【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向最包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向

量叫做单位向量，留意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解.

【解答】解：尔由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；

4、符合向量的长度及方向,故本选项正确；

G得出的是a的方向不是单位向量，故本选项错误：

D、左边得出的是a的方向，右边得出的是。的方向，两者方向不肯定相同，故本选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查了向量的性质，属于基础题.

5.【分析】①将（1,0）点代入函数，解出4的值即可作出推断；

②首先考虑，函数为一次函数的状况，从而可推断为假；

③依据②即可作出推断；

④当A=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当4W0时，函数为抛物线，求出顶点的纵

坐标表达式，即可作出推断

【解答】解：①将（1,0）代入可得：2k-（4A+1）-生1=0,解得：k=0,此选项正确.

②当〃=0时，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；此选项正确；

③经过3个象限，此选项错误；

④当〃=0时，函数无最大、最小值；

2

时，一=-24k+1,当A>0时，有最小值，最小值为负；当AV0时，有最大值，最大

8k

值为正；此选项正确.

正确的是①②④.

故选：C.

【点评】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法.

6.【分析】利用相像三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理证明即可；

【解答】解：•・•〃£〃5

:、△DEKsRCFK,

.DE_DK

**CF-CK，

'：EK"AD,

.DK_AE

••而一而‘

.DEAE

••丽―而‘

故选：C.

【点评】本题考查了相像三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是娴熟驾

驭基本学问，属于中考常考题型.

二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）

7.【分析】已知母■《，可设a=2A,则Q3匕代入所求的式子即可求解.

b3

【解答】解：••《十

b3

・••设a=2A,则6=34.

.a2k2

a+b2k+3k5

【点评】在解决本题时，依据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题

的关键.

8.【分析】依据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出48=力£BC=AB,4G

=BC,从而得到△45G是△力8。周长的一半，依此类推，下一个三角形是上一个三角形的周长的

一半，依据此规律求解即可.

【解答】解：•・•△/1比的三条中位线组成△力历£,

:•小B尸AC,&C、=AB,AC=BC,

1I3

**•△A\BC的周长=歹△月8。的周长=歹乂3=方，

1193

依此类推，的周长=5/\48心的周长=歹乂歹二彳,

乙乙乙r

33

则△4层G的周长为一于=2，

232

故答案为：得.

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三

角形的周长等于前一个三角形的周长的一半是解题的关键.

9.【分析】干脆利用相像三角形的性质分析得出答案.

【解答】解：•・•相像三角形的面积比等于相像比的平方，

・•・两个相像三角形的面积比是1：2时，两个相像三角形的相像比为：1：V2-

故答案为：1：'历.

【点评】此题主要考查了相像三角形的性质，正确驾驭相像三角形面积比与相像比的关系是解题

关键.

10.【分析】依据题意求出△/1应、的周长，依据相像三角形的性质列式计算即可.

【解答】解：设△分尸的周长别为刈

△月比'的三边长分别为4、5、6,

・•・△/1欧的周长=4+5+6=15,

■:XABCs/XDEF,

.415

12x

解得，x=45,

故答案为：45.

【点评】本题考查的是相像三角形的性质，驾驭相像三隹形的周长比等于相像比是解题的关键.

11.【分析】延长偌交加于〃，作■DELBC千E,由点G是△4弘的重心，得到47=2,求得加3,

点〃为血的中点，依据等腰三角形的性质得到%=加又DEIBC,求得CE=BE吾BC,解直角

三角形即可得到结论.

【解答】解：延长CG交4?于D,作DE1BC千E,

•・,点、G是△力勿的重心，

・"=2,

，。9=3,点〃为血的中点，

:・DC=DB,又DELBC,

:・CE=BE=4BC,

2

•:NACG+NDCE=NDCE+NCDF=q§,

ACG=4CDE,

9

VsinZJ6Z7=sinZ6Z^=",

:.CE=2,

：.BC=\

故答案为：4.

【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，驾驭三角形的重心

是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键.

12.【分析】依据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴.

【解答】解：•・•点（1,5）,（5,5）是抛物线了=。/+。产。上的两个点，且纵坐标相等.

・•・依据抛物线的对称性知道抛物线对■称轴是直线才=差=3.

故答案为：>=3.

【点评】本题考查了抛物线的对称性，是比较敏捷的题目.

13.【分析】视察函数图象，由抛物线的开口方向及抛物线与y轴的交点位置，可得出aVO,。>0,

进而可得出京<0,此题得解.

【解答】解：•・•抛物线开口向下，与y釉交于正半轴，

/.3<O,c>0,

:.acVO.

故答案为：V.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，视察函数图象，找出a<0,c>0是解题的关

键.

14,【分析】先依据点力，C的坐标，建立方程求出川+照=-2,代入二次函数解析式即可得出结论.

【解答】解：・・3（小，4）、C5,4）在二次函数尸2（户1）2+3的图象上，

：.2（户1）2+3=4,

・,・2户4户1=0,

依据根与系数的关系得，为+必=-2,

•:B（x\+x?,〃）在二次函数y=2（AH-1）43的图象上，

・・・〃=2（-2+1）2+3=5,

故答案为5.

【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出汨+质=-2是解本题

的关键.

RRAR9RF9RR

15.【分析】苏丛ABES^DCE,推Hi若=黑=/，可得善=（，再证明△阳's△砥9,可得票=

ECCDDDC5CD

罂=衣，由此即可解决问题.

DVb

【解答】解：

，△力用S△〃0'，

.BEAB_2

••而一=而一=巨，

,BE__2

••诙一后‘

'：EF//CD,

:・XBEFS/\BCD,

・典=旭=2

•通一而一守

,:EF=6,

，）=15,

故答案为15.

【点评】本题考杳平行线的性质，相像三角形的判定和性质等学问，解题的关键是娴熟驾驭基本

学问，属于中考常考题型.

16.【分析】因为其坡比为1：则坡角为3（）度，然后运用正弦函数解答.

【解答】解：因为坡度比为1：近，即tana=理，

:.a=30°.

则其下降的高度=72Xsin30°=36（米）.

【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用.

17.【分析】依据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限.

【解答】解：•・•尸V-3户2=—当2二，

・•.该函数图象的顶点坐标为（-1，-g）且经过点（0,2）,函数图象开口向上，

，该函数图象不经过第三象限，

故答案为：三.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

18,【分析】先依据旋转的性质得=4,AB,=AB=1,^CAC=90°,则可推断△48

为等腰直角三角形，然后依据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：•••△力比1绕点力顺时针旋转90°后得到的△四'C,

：.AC=AC=4,AB'=A8=T,^CAC=90°,

为等腰直角三角形，

**•S&vcc=-S^Atfc=~X4X4-±X4X1=6.

故答案为6.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形全等，还考查了三角形的面积，娴熟驾驭旋

转的性质是解题的关键.

三.解答题(共7小题，满分78分)

19.【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；

(2)利用三角形法则即可解决问题；

【解答】解：(1)•・•四边形"先刀是平行四边形，

：,AD=BC,AD//BC,

.DFAD

••二i■,

EFEC

•:CE=2BE,

•.•BC3,

EC2

••萨而.

(2)'：CE=2BE,

・••CE=2(CB，

J

—*9—2T

・•・CE与B壬，

JJ

VED=CD-CE*

—*T2T

・•・ED二bf，

J

..DF^

・EF-2，

2

••・EF年ED，

5

•9—•9—D—9-»d-•

EF^Z-ED=T-(b-z-a)^z_b-T7"a-

553515

【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面对量等学问，解题的关键

是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型.

20.【分析】将(2,2)代入尸(x-1)2+〃求得〃的值即可，再由函数解析式画出函数图象.

【解答】解：•・,二次函数尸(4-1)2+〃，当x=2时.，y=2,

，2=(2-1)2+/?,

解得〃=1,

・••该二次函数的解析式为尸(x・1)?十1.

列表得:

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点

的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键.

21,【分析】（1）由设月。=3X、BC=4x,据此得DC=\x-2,依据N4比1=45°得

BC4

AC=DC,即3x=4x-2,解之得出x的值，继而可得答案：

（2）作〃E_L//设,DE=3a、BE=Aa,依据加+欧=即可求得a的值，继而依据正弦函数的定

义可得答案.

【解答】解：（1）如图，在Rt△力比'中，

・•.设/k7=3x、BC=4x,

'：BD=2,

：.DC=BC-BD=Ax-2,

•・・/力次?=45°,

/.AC=DC,艮|J4x-2=3x,

解得：x=2,

则力46、BC=8,

A/Ii9=7AC2+BC2=10;

(2)作DE上AB于点、E,

由ian4=D^E*=J3•可设DE=3a,则BE=4a,

BE4

'：DE+BE=BIL且BD=2,

・'.(3a)2+(4a)2=2",解得：a=§(负值舍去)，

5

：.DE=3a=­

5t

VJZ?=7AC2+DC2=6V2»

./DmDE

..sinZBAD==--.

AD10

【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是娴熟驾驭三角函数的定义及依据题意构建直

角三角形的实力.

22,【分析】(1)依据题意作出合适的协助线，然后依据题意和锐角三角函数可以求得城门大楼的

高度；

(2)依据(1)中的结果和锐角三角函数可以求得4A之间所挂彩旗的长度.

【解答】解：(1)作"_1比'交比、于点《交必于点发如右图所示，

由题意可得，。力=研=3米，N«=22°,/用花=45°,4c=21米，DE=CF,

■:/AED=/AFB=90°,

的6=45°,

：.ZDAE=ZADE,

：.AE=DE.

设AF=a米，则AE=(a-3)米，

•・・tanN6=缥

BF

Atan22°=:一

、21+(丁a-3)

即2=——”―

521+(a-3)

解得,3=12,

答：城门大楼的高度是12米;

AF

(2)・.・/8=22°,力£=12米，sinZi?=—,

AB

19

Asin22°=点，

AB

〜丝

，/1石山支=32,

¥

即48之间所挂彩旗的长度是32米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角

三角函数和数形结合的思想解答.

23.【分析】（1）由N/I瓦7=/8、/的E=NO仍利用三角形内角和定理可得出N/1〃尸=NG结合黑

AC

=典，即可证出△，仞〜△力CG；

CG

（2）依据相像三角形的性质可得出黑=丝，由黑=《可得出绊=4，再结合&；=的-肝即

ACAGAC2AG2

可求出整的值.

rG

【解答】（1）证明：'：4AED=4B,/DAE=/CAB,

：,ZADF=ZC,

V..AD=DF

*ACCG'

:.XADFSXACG.

(2)♦:XADFSXACG,

.AD=AF

**AC-AG,

..AD_1

*AC-2'

.AF1

AG2

,AF_AF

••而―AG-AF一,

A

【点评】本题考查了相像三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟记相像三角形的判定定

理与性质定理是解题的关键.

24,【分析】（1）y=ax+2ax-3a,令尸0,则x=・l或3,即可求解；

（2）设点C的坐标为（-1,M,点、C、8关于过点力的直线/：尸M证对称得〃=力氏即

可求解；

（3）连接式'，则6MMV的最小值为松（即：J/、M3三点共线），作〃点关于直线力。的对称点

。交y轴于点E,则，侬物的最小值为/却（即：B、V、0三点共线），则公牛J伸物的最小值=物处初

的最小值=/刈，即可求解.

【解答】解：（1）y=ax^2ax-3a,令y=0,则x=-1或3,

即点力、8的坐标分别为（-3,0）、（1,0）,

点力坐标代入./=4户加得：0=-3代近，解得：女=噂

即直线/的表达式为：j=Y3户道…①，

3

同理可得直线力。的表达式为：了=正产3班，

直线切的表达式为：尸弋'X#…②，

联立①②并解得：x=3,在点〃的坐标为（3,2加）；

（2）设点C的坐标为（-1,加，点。、〃关于过点力的直线/：y=M+的对称得力凡

即：（-3+1）W=16,解得：加=±2的（舍去负值），点C（l,2时），

将点c的坐标代入二次函数并解得：&=-Y3,

2

故二次函数解析式为：y=■零^一仔■茅；

乙乙

（3）连接/则C也MV的最小值为始（即：必、取5三点共线），

作〃点关于直线力。的对称点。交y轴于点必贝心侬.物的最小值为园（即：氏机Q三点共线）,

则的最小值=,眦.物的最小值=m

,：DQ工AC,AC//BD,：.NQ9B=96°,

作〃RLx轴交于点汽

DF=ADsin/DAF=乂导2初,

♦：B、。关于直线,对称，即直线/是NA，的平分线，

：.ED=FD=2^

则少=4%,必=4,

-W（W3）2+42=8,

即向