中考数学真题演练之轴对称专题（解析版）

2019年中考数学真题演练之轴对称专题（解析版）

1.（1）问题提出

如图1,点A为线段BC外一动点，且3c=。，.¥5=匕，填空：当点A位于时，线段AC

的长取得最大值，且最大值为________（用含a/的式子表示）.

A

rai

（2）问题探究

点A为线段BC外一动点，且5。二6,.一=3,如图2所示，分别以•仍」。为边，作等边三角

形ABD和等边三角形ACE,连接CD,5日找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并干脆写出

线段BE长的最大值.

（3）问题解决：

①如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为I?,0）,点B的坐标为后，0），点P为线段AB外

一动点，且PA=?PH=P3.，工BPM=.90;求线段AM长的最大值及此时点p的坐标.

V

②如图在四边形中，二=域，若对角线于点、

4,ABCD.13.ID,/B.4D=60*tBCBD±CO

D,请干脆写出对角线AC的最大值.

D

B

国4C

2.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,点P是^ABC内一点，且/PAC+ZPCA=连接PB,摸索究PA、

PB、PC满意的等量关系.

（D当a=60。时，将△ABP绕点A逆时针旋转60。得到△ACPT连接PPS如图1所示.由^AB咫△ACP,

可以证得仆AP,是等边三角形，再由NPAC+ZPCA=30。可得NAPC的大小为度,进而得到

△CP，是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满意的等量关系为；

（2）如图2,当a=120。时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满意的等量关系，并给出证明；

（3）PA、PB、PC满意的等量关系为.

3.如图，抛物线y=ax2-bax・4交X轴于A,B两点（点A位于点B的左侧），交y轴于点C,过点C

作CDIIAB,交抛物线于点D,连接AC、AD,AD交y轴于点E,且AC=CD,过点A作射线AF交y

（1）此抛物线的对称轴是:

（2）求该抛物线的解析式：

（3）若点P是抛物线位于第四象限图象上一动点，求△AP「面积卜的最大值，以及此时点P的

坐标；

（4）点M是线段AB上一点（不与点A,B重合），点N是线段AD上一点（不与点A,D重合），

则两线段长度之和：MN+MD的最小值是.

4.已知四边形ABCD是矩形,连接AC,点E是边CB延长线上一点，CA=CE,连接AE,F是线段AE

BM=BE：

(2)如图2,连接BD交AC于0,连接DF分别交AB、AC于G、H,连接GC,若NFDB=30。，S网边形

GBOH=［更，求线段GC的长.

5.如图，△ABC内接于O。，且AB=AC.延长BC到点D,使CD=CA,连接AD交O。于点E.

(1)求证：△ABE合△CDE：

(2)填空：

①当NABC的度数为时，四边形A0CE是菱形；

②若AE=6,BE=8,则EF的长为.

6.如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A,点C,过点

A作AB_Lx轴，垂足为点A,过点C作CB_Ly轴，垂足为点C,两条垂线相交于点B.

(1)线段AB,BC,AC的长分别为AB=,BC=,AC=

(2)折叠图1中的△ABC,使点A与点C重合，再将折叠后的图形绽开，折痕DE交AB于点D,交

AC于点E,连接CD,如图2.

请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择哪题.

A：①求线段AD的长；

②在y轴上，是否存在点P,使得AAPD为等腰三角形？若存在，请干脆写出符合条件的全部点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

B：①求线段DE的长；

②在坐标平面内，是否存在点P(除点B外)，使得以点A,P,C为顶点的三角形与△ABC全等？

若存在，请干脆写出全部符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图，已知AB是的直径，点(:在。0上，过点(：的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,

(2)求证：BC=、AB；

(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N,若AB=4,求MN・MC的值.

8.如图1,在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E、F分别是AB、BD的中点，连接EF,点P从点E

动身，沿EF方向匀速运动，速度为lcm/s,同时，点Q从点D动身，沿DB方向匀速运动，速度为

2cm/s,当点P停止运动时，点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t(0VtV4)s,解答下列问

(1)求证：△BEF-ADCB；

(2)当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm?,求t的值;

(3)当t为何值时，aPClF为等腰三角形？试说明理由.

9.如图，△ABC是边长为2的正三角形，点D在△ABC内部，且满意DB=DC,DB_LDC,点E在边AC

上，延长ED交线段AB于点H.

(1)若ED=EC请干脆写出/BAD=,ZAEH=,ZAHE=.

(2)若ED=EC,求EH的长;

(3)若AE=x,AH=y,请利用SAAEH=SAAED+SAAHD,求y关于x的函数关系式，并求自变量x的取

值范围.

10.已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12,BC=6,AD±BD.以AD为斜边在平行四边形AB

CD的内部作RtAAED,ZEAD=30°,ZAED=90°.

(1)求△AED的周长;

(2)若4AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△AEoDo,当AoDc与BC重

合时停止移动，设运动时间为t秒，△AoEoDo与△BDC重叠的面积为S,请干脆写出S与t之间的函

数关系式，并写出t的取值范围；

(3)如图②，在(2)中，当△AED停止移动后得到△BEC,将△BEC绕点C按顺时针方向旋转a

(0。＜。＜180。)，在旋转过程中，B的对应点为Bi,E此对应点为J,设直线B]E1与直线BE

交于点P、与直线CB交于点Q.是否存在这样的a,使ABPQ为等腰三角形？若存在，求出a的度

数；若不存在，请说明理由.

11.如图,抛物线y=ax2+bx（aM）的图象过原点。和点A（l,0）,且与x轴交于点B,1AOB的面积

为

（1）求抛物线的解析式:

（2）若抛物线的对称轴上存在•点M,使AAOM的周长最小，求M点的坐标；

（3）点F是x轴上一动点，过F作x轴的垂线，交直线AB于点E,交抛物线于点P,且PE=强,

3

干脆写出点t的坐标（写出符合条件的两个点即可）。

12.正方形ABCD和正方形CEFG如图1所示，其中B、C、E在一条直线上,0是AF的中点，连接0D、0G

A

B

（2）如图2所示，将正方形ABCD和正方形CEFG改为菱形A3CD和菱形CEFG,且NABC=ZDCE=120o,

探究0D与0G的位置关系，及务的比值;

（Xf

（3）拓展探究:把图1中的正方形CEFG绕C顺时针旋转小于90。的角后，其他条件均不变，问第1问中

的两个结论是否发生改变?（写出结论不用证明）

13.如图，在△ABC中，AB=CB,ZABC=90°,D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD,连

接AE、DE、DC.

(2)若NCAE=30。,求NACD的度数.

14.如图所示，将二次函数y=x?+2x+l的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个

单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+l的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图

(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式；

(2)从点A,C,D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率;

(3)若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的RtAAMN,

使AAMN的面积为△ABC面积的《？若存在，求tan/MAN的值；若不存在，请说明理由.

15.如图,已知抛物线y==。过点A,-3愀B|江川，过点A作直线AC〃x轴,

交y轴与点Co

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取•点P,过点P作直线AC的垂线，垂足为D,连接0A,使得以A,D,P为顶点

的三角形与△AOC相像，求出对应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q,使得$必=若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说

明理由。

16.如图,在四边形ABCD中,ZB=ZC=90%AB>CD,AD=AB+CD.

（1）利用尺规作NADC的平分线DE,交BC于点E,连接A三（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，①记明：AE_LDE；

②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点，求BM+MN的最小值。

17.如图,在四边形ABCD中，ZB=60°,ZD=30°,AB=BC.

（1）求/A+/C的度数。

（2）连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由。

（3）若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动，且满意收£?=求点E运动路径的长度。

18.

（1）【发觉】如图①，J知等边JABC，将直角三角形的60'角顶点〃随意放在8U边上（点

。不与点B、C重合），使两边分别交线段43、dC于点E、F.

RH

①若一48=6,_4E=4，3Z）=2,贝【JCF二；

②求证：怔BD山SCF

（2）【思索】若将图①中的三角板的顶点〃在8c边上移动，保持三角板与』风的两个交

点E、尸都存在，连接EF,如图②所示.问点ZD是否存在某一位置，使平分£8EF且FD

平分"FE?若存在，求出笠的值；若不存在，请说明理由.

13C

（3）【探究】如图③，在等提5c中，・<3=.<C，点。为8U边的中点，将三角形透亮纸

板的一个顶点放在点O处（其中ZU0N=N3）,使两条边分别交边AB..4C于点E、F

（点F、户均不与_U5c的顶点重合），连接EE设乙B=Q,则IJE户与，西。的周长之

比为（用含a的表达式表示）.

19.如图，AB、AC分别是O0的直径和弦，OD_LAC于点D,过点A作OO的切线与0D的延长线交

于点P,PC、AB的延长线交于点F.

（1）求证：PC是O0的切线;

(2)若NABC=600,AB=10,求线段CF的长,

20.如图：在中，BC=2,AB=AC,点D为AC上的动点，且

(1)求AB的长度;

(2)求ADAE的值；

(3)过A点作AH_LBD,求证：BH=CD+DH.

21.在平面直角坐标系91中，已知抛物线的顶点坐标为(20),且经过点।4.1).如图，直线1=

与抛物线交于点45两点，直线/为

<1)求抛物线的解析式:

(2)在/上是否存在一点尸，使♦尸3取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

(3)已知为平面内肯定点，"例")为抛物线上一动点，且点到直线/的距离与点

”到点户的距离总是相等，求定点厂的坐标.

22.如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A(-3,0),C(0,4),

点B在x轴上，AC=BC,过点B作BD±x轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点,

且CM=BN,连接MN,AM,AN.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)当ACMN是直角三角形时，求点M的坐标；

(3)试求出AM+AN的最小值.

23.综合与实践

折纸是一项好玩的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸

活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过探讨图形的性质和运动、确定图形

位置等，进一步发展空间观念，在经验借助图形思索问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折

纸往往从矩形纸片起先，今日，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之

后能得到哪些数学结论.

【实践操作】

如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点"落在矩形ABCD所在平面内，和AD相交于

点E,连接BM

(1)【解决问题】在图1中，

①B，D和AC的位置关系为；

②将△AEC剪下后绽开，得到的图形是;

(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(ABHBC),如图2所示，结论①和结论②是否成立，若

成立，盾选择其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发觉所得图形是轴克•称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的

仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为;

(4)【拓展应用】在图2中，若NB=30。，AB=44，当△AB，D恰好为直角三角形时，BC的长度为

24.如图，是。。的内接三角形，点。在册上，点E在弦上(左不与A重合)，

且四边形RDCE为菱形.

(1)求证：AC=C£；

(2)求证：BC--=如式；

(3)已知的半径为3.①若噜=［，求万。的长：

②当多为何值时，.18•AC的值最大？

25.如图，_u5c中，AB=AC,N8"■•=90：点D,E分别在AB,BC上，2f』Q二N用TH点F

为DE的延长线与AC的延长线的交点.

(1)求证：DE=EF

(2)推断BD和CF的数量关系，并说明理由；

(3)若.18=3,.江二「，求BD的长。

26.如图1,RtZ^ABC中，NACB=90。，点D为边AC上一点，DE_LAB于点E,点M为BD中点，CM

的延长线交AB于点F.

图1

(1)求证：CM=EM；

(2)若NBAC=50°,求NEMF的大小；

(3)如图2,若△DAE合△CEM,点N为CM的中点，求证：ANIIEM.

27.已知:在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,且ACJ_BD,作BF±CD垂足为点F,BF与AC交

于点G.ZBGE=ZADE.

(1)如图1,求证:AD=CD；

(2)如图2,BH是^ABE的中线，若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何协助线的状况下,请干脆写出图2中

四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于仆ADE面积的2倍.

参考答案及解析

1.【答案】（1）CB的延长线上；。一匕

⑵解：T（D=BE,

理由：•・.△ABD与是等边三角形，

••・1D=,4,H（=J£,，8.lD=ZC.l£=6d，

/S.1D4W江城二CAE-Z5JC，

即&EXB，

在△（：,〃）与中，

AD=AB

4CAD=4EAB，

4r=4F

•AC.iZfe△及戒SW

.CD=BE；

②••・线段BE长的最大值二线段CD的最大值，

.•.由（1换n,当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

最大值为BD-BC=AB+BC=•"•6=9

（3）解:①如图5,连接BM,将△.肥.1/围着点P顺时针旋转90'得到△尸5.V,连接AN,

则是等腰直角三角形，

---P\=Pci=2fBX=AM,

・•・A的坐标为（2zob点B口勺坐标为（5,0），

..。工="5=5,

・•.JB=3，

」.线段AM长的最大值二线段BN长的最大值，

当N在线段BA的延长线时.线段BN取得最大值，

最大值=J5+AV，

B二亚.炉二亚，

最大值为2石一？；

如图6,过P作PE1.X轴rE,

・••是等腰直角三角形，

••・PE=AE=至,

•••0E=BO-.15_AE=5-3-g二”R

网2-小亚）

②如下图7,以BC为边作等边三角形△BCM,连接DM,

••<CBM=60・，

£&BC=ZDBM,

—DBfBC=BM，

・・・XDB\I,

••AC^MD>

欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可,

BC=40=定值，/血=90'，

.•.点D在以BC为直径的。。上运动，

由图象可知，当点D在BC上方，DM_LBC时，DM的值最大，最大值=等腰直角△BDC斜边上的高+

等边△BCM的高，

・「BC=4在，

•••DM城大=蛆.：.卓,

AC0大=至-2^6

【考点】三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外接圆

与外心

【解析】【解答］解：（I）.•.点A为线段BC外一动点，且bc=a.”5=力，

・•・当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC：AB=a^b,

故答案为：CB的延长线上，a-b；

【分析】（1）由三角形三边关系定理可知，三角形随意两边之和大于第三边，当点A在CB的延长

线上时，两边之和等于第三边，所以当点A在CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大

值为a+b;

（2）依据等边三角形的性质用边角边易证得△CAD合△EAB,则BE=CD；由（1）中的结论可得BE

的最大值=人8+人£；

（3）①依据已知条件PM=PB可将△APM围着点P顺时针旋转90度得到APBN,连接AN,BM,

由旋转的性质可求解；

②由题意可作协助线，以BC为边作等边三角形△BCM,连接DM,并作出三角形BCD的外接圆，

川边角边易证得^ABCM△DBM,则AC=DM,要求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由圆

的性质可知，当DM过圆心时，DM最大，即由图象可知，当点D在BC上方，DMJ_BC时，DM的

值最大，且最大值=等腰直角乙BDC斜边上的高+等边△BCM的高。

2.【答案】（1）150；PA2+PC2=PB2

（2）解:如图2,作将△ABP绕点A逆时针旋转120。得到△ACP，，连接P，,

作ADJLPP'于D,

由旋转变换的性质可知,ZPAP=120%PZC=PB,

/.ZAPP'=30°,

,/ZPAC+ZPCA=1^9=60，，

ZAPC=120°,

/.ZP'PC=90°,

...PP'2+PC2=P'C2

•••ZAPP'=30°,

/.PD=PA.

PP;=6PA,

3PA2+PC2=PB2

a

(3)4PA2sin2-t+PC2=PB2

【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，图形的旋转，旋

转的性质

【解析】【解答】(1);△ABP里△ACPS

/.AP=APf,

由旋转变换的性质可知,NPAP'=60°,P,C=PB,

「.△PA,为等边三角形，

ZAPP'=60°,

,/ZPAC+ZPCA=冬=30°,

/.ZAPC=150°,

ZP'PC=90°,

PP，2+PC2=PZC2,

PA2+PC2=PB2,

故答案为：150,PA2+PC2=PB2；

(3)如图2,与(2)的方法类似,

作将△ABP绕点A逆时针旋转a得到△AC，,连接PP\

作AD_LPP，于D,

由旋转变换的性质可知，ZPAP，=a,Pt=PB,

NAPP'=90°-5，

a

ZPAC+ZPCA=5,

/.ZAPC=1800-5,

ZPfPC=（180°-5）-（90。-g）=90。，

PP'2+PC2=P（2,

NAPP'=90°-5，

/.PD=PA*cos（90°-y）=PA*sin号,

pp'=2PA・sin5,

4PA2sin25+PC2=PB2,

故答案为：4PA2sin25+PC2=PB2.

【分析】（1）由三角形内角和定理可求得/APC的大小；由勾股定理可以得到PA、PB、PC满意的

等量关系为PA2+PC2=PB2'

（2）由（1）中的方法可作协助线，作将△ABP绕点A逆时针旋转120。得到△ACPT连接Ph,过点

A作ADJ_P，于D,结合己知条件易得三角形P，PC是直角三角形，则由勾股定理可得P，2+PC2=P£2,

解直角三角形APD可得AP与PD的关系，即可得AP与P,的关系，代入P，2+pc2=，C2,即可求解；

（3）当a为随意角时，与（2）的方法类似，作将△ABP绕点A逆时针旋转a得到△ACPT连接PP，,

过点A作AD_LP，于D,结合已知条件易得三角形P'PC是直角三角形，则由勾股定理可得

PP"+PC，=P，C）,解直角三角形APD可得AP与PD的美系，即可得AP与PP，的关系，代入PPAPC'P'C>

即可求解。

3.【答案】（1）X=4

（2）解：当x=0时，y=ax2-5ax-4=-4,则C（0,-4）；

,/CDIIx轴，

.点C与点D关于直线x=?对称，

D(5,-4),CD=5,

,/AC=CD,

AC=5,

在RtAAOC中，OA=柠.宇=3,

A(-3,0),

把A(・3,0)代入y=ax2-5ax-4得9a+15a-4=0,解得a=

抛物线解析式为y=*2-看x-4；

(3)解：作PQIIy轴交AF于Q,如图1,

设直线AD的解析式为y=kx+b,

-b=0|fe=-5

把A(-3,0),D(5,-4)代入得.J、，，解得；

「•直线AD的解析式为y=-4X-V

当x=0时，y=-得x-4=-"，则E(0，-[)，

.「AB平分NEAF,AO±EF,

/.OF=OE=,，

F(0,-y),

易得直线AF的解析式为y=4X+W，

MB

(x-4)2+孚,

当X=4时，S4APF的最大值为学，此时P点坐标为(4,--y)：

⑷呼.

【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题，轴对称的应用-最短距离问题，二次函数的实际应用-

动态几何问题，二次函数y=a(x-h)人2+1＜的性质

【解析】【解答】(1)抛物线的对称轴为直线x=・二浑=(4)作DCLLAF于Q,交x轴于M,

作MN_LAD于N,EH_LAF于H,如图2,

AB平分NEAF,

MQ=MN,

/.MN+MD=DQ,

/.此时MN+MD的值最小，

,/A(-3,0),E(0,-g),D(5,-4),

,/EHIIDQ,

即MN+MD的最小值是K

故答案为直线x="；"

5

【分析】(1)抛物线的对称轴：x=-V，将a、b的值代入即可求解；

2a

(2)因为抛物线交y轴于点C,所以易得点C(0,-4),由题意知点C与点D关于直线x=W对称，

由轴对称的性质可求得点D的坐标；再由AC-CD即可求得点A的坐标，然后用待定系数法可求得抛

物线的解析式；

(3)作PQIIy轴交AF于Q,由题意已知点E、F关于y轴对称，用待定系数法可求得直线AD的解

析式，AD交y轴于点E,则点,E的坐标可求，由轴对称的性质可求得点F的坐标，用待定系数法可

求得直线AF的解析式，由协助线的作法可知，点P、Q的横坐标相同，设点P的横坐标为X,则点P、

Q的纵坐标可用含X的代数式表示，△APF面积=△APQ面积-△PFQ面积，代入可得关于x的二次函

数，配成顶点式即可求解；

(4)作DQ_LAF于Q,交X轴于M,作MN_LAD于N,EH_LAF于H,由角平分线的性质可得MQ=MN,

依据两点之间线段最短可得D2是最短线段，DQ=DM+MQ=DM+MN；用平行线分线段成比洌定理可

求得最小值。

4.【答案】(1)解：如图1，*/AC=EC,F是AE的中点,

/.CF±AE,

/.ZAFC=90°,

,•・四边形ABCD是矩形，AD=DC,

矩形ABCD为正方形，

AB=BC,ZABC=90°,

ZAFC=ZABC,

,/ZAMF=ZBMC,

/.ZEAB=ZMCB,

,/ZABE=ZABC=90°,

△AEB合△CMB,

/.BE=BM

(2)解：如图2,连接BF并延长交直线AD于M,

D

O

C

E图J

•」F是AE的中点,

AF=EF,

四边形ABCD是矩形,

ADIIBC,AC=BD,

ZM=ZFBE,

,/ZAFM=ZEFB,

△AM卜祥△LBI-,

FM=BF,AM=BE,

,/AD=BC,

/.AD+AM=BC+BE,

即DM=CE,

•「AC=CE,

/.EC=DM=AC=BD,

」.△DMB是等腰三角形，

・••F是BM的中点,

二.DF平分NBDM,

,/ZBDF=30°,

/.ZBDM=60°,

」.△BDM是等边三角形，

/.ZM=60°,

在RtABCD中，ZBDC=90°-6O°=3O°,

/.ZDBC=60%

OB=OC,

ZDBC=ZOCB=60°,

」.△ACE为等边三角形，

在AOHD中，ZHOD=ZBOC=60°,

/.ZOHD=90%

设OH=x,则0D=2x,BD=4x,BC=2x,

DH=^x,AH=x,DC=AB=2^x,

RtAABC•f,NACE=60°,

ZBAC=30°,

AH

cos30°=~AGf

：.BG=AB-AG=2

S四边形GBOH=SADGB-SAOHD，

==BG・AD・\OH・DH,

=4.®2X.3”•晨座,

z512

解得：X2=9,

BC=2x=6,

BG=X3=4",

由勾股定理得：CG=-BG-=-6?=2亚.

【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质

【解析】【分析】（1）依据等腰三角形的三线合一得出.•.NAFC=90。，依据一组邻边相等的矩形是

正方形得出矩形ABCD为正方形，依据正方形的性质得出AB=BC,ZABC=90\依据等角的余角相等

得出NEAB=/MCB,然后利用ASA推断出△AEB合△CMB,依据全等三角形对应边相等得Hl结论；

（2）如图2,连接BF并延长交直线AD于M,依据中点的定义得出AF=EF,依据矩形的性质得出

ADIIBC,AC=BD,依据平行线的性质得出NM=NFBE,然后利用AAS推断出△AMF里△EBF,得FM=BF,

AM=BE,再证明△DMB是等腰三角形，由三线合一得：DF平分NBDM,依据NFDB=3O。得△BDM是

等边三角形；由此△ACE为等边三角形，AOHD为直角三角形，设未知数：OH=x,则OD=2x,BD=4x,

BC=2x,进而表示出DH,AH,DC,AB,依据锐角三角函数表示出AG,BG,依据S网边形GBOH=SAOGB-SZ.OHD，列

方程得出BC的长，BG的长，最终由勾股定理得出CG的长。

5.【答案】(1)证明：,/AB=<\C,CD=CA,/.ZABC=ZACB,AB=CD.

四边形ABCE是圆内接四边形，NECD=ZBAE,ZCED=ZABC.

,/ZABC=ZACB=ZAEB,/.ZCED=ZAEB,/.△ABE合△CDE(AAS)

9

(2)60；V

【考点】全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆的综合题，相像三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：(2)①当/ABC的度数为60。时，四边形AOCE是菱形；

理由是：连接AO、OC.

丁四边形ABCE是圆内接四边形，NABC+ZAEC=180°.

•「ZABC=60,.JZAEC=120°=ZAOC.

•「OA=OC,ZOAC=ZOCA=30°.

•「AB=AC,&ABC是等边三角形，「./ACB=60°.

,/ZACB=ZCAD+ZD.

AC=CD,ZCAD=ZD=30°,/.ZACE=180°-120°-30°=30°,/.ZOAE=ZOCE=60°,二四边形

AOCE是平行四边形.

•••OA=OC,...口AOCE是菱形;

②由(1)得：△ABE^△CDE,BE=DE=8,AE=CE=6,/.ZD=ZEBC.

ZCED=ZABC=ZACB,△ECD-△CFB,「•/方=g

,/ZAFE=ZBFC,ZAEB=ZFCB,/.△AEF-△BCF,/.匿=舞，.二条=/.EF=平=斗.

故答案为：①60。；(2)号.

【分析】(1)由题意易证NABC=NACB,AB=CD：再由四点共圆和己证可得NABC=NACB=NAEB,

ZCED=ZAEB,则利用AAS可证得结论；

(2)①连接A。、CO.宪政△ABC是等边三角形，再证明四边形AOCE是平行四边形，又AO=C。可

得结论；

②先证△ECD-△CFB,可得EC：ED=CF：BC=6:8：再证△AEF~△BCF,则AE：EF=BC：CF,从而求

出EF.

6.【答案】(1)8；4；4后；

⑵选A.①由(1)知，BC-4,AB-8,由折叠知，CD-AD.在BCD中，BD-AB-AD-8-AD,

依据勾股定理得，22

CD2=BC2+BC)2,g[J:AD=16+(8-AD),/.AD=5；

②由①知，D(4,5),设P(0,y).,「A(4,0),/.AP2=16+y2,DP2=16+(y-5)2.丁△APD

为等腰三角形，・••分三种状况探讨：

I、AP=AD,16+y2=25,/.y=±3,/.P(0,3)或(0,-3)；

口、AP=DP,16+y2=16+(y-5)2,「.y=?，「♦P(0，5)；

田、AD=DP,25=16+(y-5)2,y=2或8,/.P(0,2)或(0,8).

综上所述：P(0，3)或(0,-3)或P(0,g)或P(0,2)或(0,8).

选B.①由A①知,AD=5,由折叠知,AE=、AC=2后,DE_LAC于E.在R3ADE中,DE=(山—辽)=

②;以点A,P,C为顶点的三角形与△ABC全等，・・.△APC?△ABC,或△CP虺△ABC,

/.ZAPC=ZABC=90°....四边形OABC是矩形，△ACOA△CAB,此时，符合条件，点P和点O重

合，即：P(0,0):

如图3,过点。作ONJLAC于N,

芈，过点N作NH_LOA,「.NHIIOA,

学，N（号J）,而点P2与点0关于AC对称，P2（专，号），同理：点B关于AC的对

称点P】，同上的方法得，Pi（一早片）.

综上所述：满意条件的点P的坐标为：（o,0）,（々，竽），（■与,4）.

【考点】矩形的判定与性质，轴对称的性质，翻折变换（折叠问题），一次函数图像与坐标轴交点

问题

【解析】【解答】解：（1）••.一次函数y=-2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A,点C,

A（4,0）,C（0,8）,

OA=4,OC=8.

•「AB_Lx轴，CB_Ly轴，ZAOC=90°,

.1.四边形OABC是矩形，

AB=OC=8,BC=OA=4.

在RtAABC中，依据勾股定理得AC山5,孑BC7出

故答案为：8,4,4积【分析】（1）因为一次函数y=-2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A,

点C两点，所以A（4,0）,C（0,8）,则OA=4,0C=8；依据有三个角是直角的四边形是矩形可

得四边形OABC是矩形，由矩形的性质可得AB=OC=8,BC=OA=4.在ABC中，依据勾股定理得,

AC="6T玳"=4,氐

（2）若选A,①利用折叠的性质可得出BD=8-AD,利用勾股定理即可得出结论；

②分三种状况利用方程的思想可得出结论；

若选B,①利用折叠的性质可得出AE,利用勾股定理可得出结论；②先推断出NAPC=90。，再分状

况探讨计算即可。

7.【答案】（1）证明：VOA=OC,/.ZA=ZACO,

又NCOB=2ZA,乙COB=2ZPCB,/.NA=ZACO=ZPCB,

又TAB是OO的直径，NACO+NOCB=90°,NPCB+NOCB=90°,

即OC±CP,

OC是OO的半径，PC是00的切线

（2）证明：,/AC=PC,/.ZA=ZP,/.ZA=ZACO=ZPCB=ZP.

又;ZCOB=ZA+ZACO,ZCBO=ZP+ZPCB,/.ZCOB=ZCBO,BC=OC,

BC=5.必

(3)解：连接MA,MB,

二.点M是弧AB的中点，弧AM=<BM，/.NACM=ZBCM,

,/ZACM=ZABM,ZBCM=ZABM,

BMMV：

,/ZBMN=ZBMC,△MBN-△MCB,.赤=...BM2=MN-MC,

又•「AB是OO的直径，弧

/.ZAMB=yU\AM=BM,

AB=4,BM:至,

/.MN-MC=BM2=8.

【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定，相像三角形的判定与性质

【解析】【分析】(1)依据等边对等角得出NA=NACO,运用外角的性质和已知条件得出

NA=NACO=NPCB,再依据直径所对的圆周角是直角得出NPCB+NOCB=90。，进而求解.

(2)依据等边对等角得出NA=NP,再依据第一问中的结论求解即可，

(3)连接MA,MB,依据同弧或等弧所对的圆周角相等得出NACM=NABM,「.NBCM=NABM,证

出^MBN-△MCB,得出比例式进而求解即可.

8.【答案】(1)解：•.•四边形ABCD是矩形，

AD—BC=SADIIBC,匚.4二工「二90”

在中，5D=10,

•••E、F分别是的中点，

•••EFIIAD,£F=^W=4,5F=DF=.5<

・•.£3EF=7=90©=4cJFiiBC,

£BFE=ZDBJ

iBEF-ADCB；

(2)解：如图i,过点Q作0A/JLE尸于_U，

,rai

QMIIBE,

.二Ql/piBEF.

••■RF=RF.

•~='丁；

Swp=’产Fx0M=#4T)x夕5_2z)=0£=g,

r=5(舍)或r=2秒

(3)解：当点Q在DF上时，如图2,PF=0F、

f=1.

当点Q在BF上时，PF=QF,如图3,

.岂-4!

■>T=5'-

,•»-7•

P0=尸尸时，如图5,

综上所述，t=l或3或半或噂秒时，APCIF是等腰三角形

【考点】等腰三角形的判定，相像三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）依据题中的已知条件可得△BEF和4DCB中的两角对应相等，从而可证

△BEF~aDCB；（2）过点Q作QM±EF于M，先依据相像三角形的预备定理可证△QMF，△BEF；

再由△QMF-△BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最终代入三角形的面积公式即可求出t的

值。（3）由题意应分两种状况：（1）当点Q在DF上时，因为/PFQ为钝角，所以只有PF=QF。

（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所以有PF=QF：PQ=FQ；PQ=PF三种状况，因此

所求的t值有四种结果.

9.【答案】（1）30°；30°；90°

（2）解：如图，延长AD交BC于点F

在ABDC中，DB=DC,DB±DC,

DF=5BC=I,

AD=AF-DF=Js-l,

由（1）得NAEH=ZCAD=30°,

DE=AD=j3-l,

由（1）得NAHE=90ozZBAD=30o,

DH=4AD=4（J3-I）»

EH=DH+DE=4（/3-l）+j3-l=5（j3-l）：

故答案为：g（「T）；

（3）解：如图作延长AD交BC与F,过点E作EG_LAF,过点H作HMJ_AD,过点H作HNJ_AE,

不

5FC

,/AB=AC,BD=CD,

••AF垂直平分BC

*/ZDAE=30o,

EG={AE='X,

,/ZBAD=30。,

HM=4AH=4Y，

电在"+）

-•1SAAHE=SAADH+SAADE={ADXHM+2ADXEG"（4-1）+J（4T）X=x=y

--4

*/ZBAC=60°,

/.HNJy，

2^

SAAHE=4-AEXHN=4XEy=jLlxy,

--24

・•・臣（x+y）=Bxy,

44

当点E与C重合时，x最大是2,

当点H与点B重合时,x最小,y最大是2,此时x的值为（J7-1?=4-26,

即：Y誉562层

【考点】等边三角形的性质

【解析】解答：（1）在^ADB和^ADC中，

产=皿

JS=.4C

IBD=CD

△ADB合△ADC,

ZBAD=ZCAD=-yZBAC=30°,

.「△ABC是边长为2的正三角形，

ZACB=ZBAC=60o,

DB=DC,DB±DC,

ZBCD=45o,

ZDCE=15o,

,/ED=EC,

ZAEH=2ZDCE=30o,

ZBAC=60o,

ZAHE=90o,

故答案为：30。,30。,90。；

【分析】（1）依据已知易证△ADB登△ADC,得出NBAD=30）再依据等边三角形和等腰直角三角形

的性质求出NDC性15°,从而求出NAEH和NAHE的度数。

（2）先求出AD,利用有一个角是30。的直角三角形的性质求出DE,DH即可。

（3）先作出对应三角形的高，利用有一个角是30。的直角三角形的性质表示出EG,HM,HN,利用

SAAEH=SAAED+SAAHD,建立方程即可。

10.【答案】(1)解：(1)四边形ABCD是平行四边形,

AD=BC=6.

在RtAADE中，AD=6,ZEAD=30%

AE=AD*cos300=6x£吨,

DE=AD«sin300=6