中考数学真题《二次函数解答压轴题》专项测试卷(带答案)

中考数学真题《二次函数解答压轴题》专项测试卷(带答案)

学校:班级：姓名：考号：-----------

(30道)

一、解答题

1.(2023•辽宁盘锦•统考中考真题)如图，抛物线丁="+加+3与x轴交于点力㈠,0)8(3,0)与V轴交

(1)求抛物线的解析式.

4

(2)如图1点。是x轴上方抛物线上一点射线。MLr轴于点N若QM=BM且tanNMBN=§请

直接写出点。的坐标.

(3)如图2点E是第一象限内一点连接力E交N轴于点O/E的延长线交抛物线于点P点b在线段

CO上且6=0。连接口，FE,BE,BP若以g=5人的求以"面积.

2.(2023•辽宁鞍山•统考中考真题)如图1抛物线广/+gx+c经过点(3/)与y轴交于点以0,5)点

£为第一象限内抛物线上一动点.

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(1)求抛物线的解析式.

2

(2)直线歹=§x-4与x轴交于点4与y轴交于点。过点E作直线轴交4D于点尸连接8E.当

BE=DF时求点£的横坐标.

3

(3)如图2点N为x轴正半轴上一点0E与BN交于息M.若OE=BNtanZ^WE=-求点E的坐标.

3.(2023•辽宁阜新•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中二次函数的图象与x轴交

于点4—3,0)和点8(1,0)

图I

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)如图1二次函数图象的对称轴与直线力C：y=x+3交于点力若点M是直线力。上方抛物线上的一个动

点求△MC。面积的最大值.

(3)如图2点P是直线4C上的一个动点过点P的直线/与3C平行，则在直线/上是否存在点。使点4

与点P关于直线。。对称？若存在请直接写出点。的坐标若不存在请说明理由.

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4.（2023•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）在平面直角坐标系中。为坐标原点抛物线），=仆2+后+6耳与x

轴交于点题-6,0）8（8,0）与5轴交于点C.

（2）如图①E是第二象限抛物线上的一个动点连接OECE设点上的横坐标为//XOCE的面积为S

求S关于，的函数解析式（不要求写出自变量，的取值范围）

⑶如图②在（2）的条件下当S=6石时连接8E交N轴于点H点E在N轴负半轴上连接8尸点。

在炉上连接点L在线段R〃上（点£不与点8重合）过点L作曲的垂线与过点〃且平行于EQ的

直线交于点GM为£G的延长线上一点连接8WEG使NGBM=；NBEGP是4轴上一点且在

点8的右侧/PBA/-NGBM=/FRB+；NDEG过点M作MNJ.BG交BG的延长线于点N点/在

8G上连接使BL—NP若ZEBF=4VMN求直线8尸的解析式.

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5.(2023•湖南益阳•统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中直线/：)，=«丫+2)(0>0)与x轴交于点力与

图I图2

(1)求4点的坐标

(2)如图1若8点关于x轴的对称点为8，点当以点/B'。为顶点的三角形是直角三角形时求实数a

的值

(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫俏格点如(-2,1)(2,0)等均为格点.如图

2直线/与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分(不包含边界)中的格点数恰好是26个求。的取值范

围.

6.(2023・四川绵阳•统考中考真题)如图，抛物线y=64+&+cSwO)的图象的顶点坐标是(2,1)并且经过

点(4,2)直线y=；x+l与抛物线交于8。两点以3。为直径作圆圆心为点C圆。与直线加交于对

称轴右侧的点历(，/)直线m上每一点的纵坐标都等于I.

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(1)求抛物线的解析式

(2)证明：圆C与x轴相切

(3)过点B作垂足为E再过点。作垂足为/求4无/尸的值.

7.(2023・陕西・统考中考真题)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门并要求所设计的拱门的

跨度与拱高之积为48m2还要兼顾美观大方和谐通畅等因素设计部门按要求给出了两个设计方

案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中如图所示：

方案一抛物线型拱门的跨度ON=12m拱高尸E=4m.其中点N在x轴上PE1ONOE=EN.

方案二抛物线型拱门的跨度ON'=8m拱高P£=6m.其中点M在x轴上PELONOE=EN.

要在拱门中设置高为3m的矩形框架其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中矩形框架力BCD

的面积记为S点力。在抛物线上边BC在ON上方案二中矩形框架的面积记为S?点H

“在抛物线上边4C’在OM上.现知小华已正确求出方案二中当H*=3m时邑=12万/请你

根据以上提供的相关信息解答下列问题：

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(1)求方案一中抛物线的函数表达式

(2)在方案一中当48=3m时求矩形框架48CZ)的面积$并比较S昆的大小.

8.12023•湖南湘西•统考中考真题)如图(1)二次函数尸加_5x+c的图像与x轴交于4(-4,0)80,0)

两点与V轴交于点。(0,-4).

(1)求二次函数的解析式和人的值.

(2)在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点加使?若存在请求出点A1的坐标

若不存在请说明理由.

(3)如图(2)作点A关于原点。的对称点E连接CE作以CE为直径的圆.点灯是圆在x轴上方圆弧

上的动点(点&不与圆弧的端点E重合但与圆弧的另一个端点可以重合)平移线段4E使点E移动

AA9

到点£'线段/七的对应线段为“£连接E'CAA力力的延长线交直线E'C于点N求等的值.

V--JV

9.(2023•辽宁锦州•统考中考真题)如图，抛物线)，=-6/+及+c交x轴于点力(-1,0)和8交V轴于点

C(0,3>/3)顶点为O.

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(1)求抛物线的表达式

⑵若点E在第一象限内对称右侧的抛物线上四边形OQE4的面积为7白求点E的坐标

⑶在(2)的条件下若点F是对祢轴上一点点H是坐标平面内一点在对称轴右侧的抛物线上是否存在

点G使以EFG”为顶点的四边形是菱形且NEFG=60。如果存在请直接写出点G的坐标

如果不存在请说明理由.

10.(2023•山东济南•统考中考真题)在平面直角坐标系X。)，中正方形48co的顶点A8在x轴上

C(2,3)。㈠,3).抛物线N=加一2公+°(。＜0)与x轴交于点E(—2,0)和点尸.

(2)如图2在(1)的条件下连接。尸作直线CE平移线段。尸使点。的对应点P落在直线CE上点

F的对应点。落在抛物线上求京。的坐标

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⑶若抛物线V=ad-2at+c（。＜0）与正方形4BCD恰有两个交点求a的取值范围.

11.（2023・浙江•统考中考真题）根据以下素材探究完成任务.

如何把实心球掷得更远？

素材I

小林在练习投掷实心球其示意图如图，笫一次练习时球从点力处被抛出其路线是抛物线.点力距离

地面1.6m当球到CM的水平距离为1m时达到最大高度为1.8m.

OR

素材2

根据体育老师建议第二次练习时小林在正前方1m处（如图）架起距离地面高为2.45m的桢线.球从点

力处被抛出恰好越过横线测得投掷距离OC=8m.

OC

问题解决

任务1

计算投掷距离建立合适的直角坐标系求素材1中的投掷距离05.

任务2

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探求高度变化求素材2和素材1中球的最大高度的变化量

任务3

提出训练建议为了把球掷得更远请给小林提出一条合理的训练建议.

12.(2023・辽宁•统考中考真题)如图，抛物线y=M+gx+c与x釉交于点力和点8(3.0)与y轴交于点

0(0,4)点P为第一象限内抛物线上的动点过点尸作轴于点E交8C于点立

(1)求抛物线的解析式

(2)当/XBEF的周长是线段PF长度的2倍时求点P的坐标

(3)当点尸运动到抛物线顶点时点。是)，轴上的动点连接4。过点4作直线/JL40连接。厂并延长

交直线/于点当历时请直接写出点的坐标.

13.(2023・湖南娄底•统考中考真题)如图，脑物线y=。过点,4(-1,0)点4(5,0)交y轴于点C.

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⑴求方C的值.

⑵点P"oJo)(0<Xo<5)是抛物线上的动点

①当天取何值时MBC的面积最大？并求出aP8c面积的最大值

②过点P作PE_Lx轴交4C于点E再过点尸作所〃X轴交抛物线于点尸连接Eb问:是否存在点

P使！尸物为等腰直角三角形？若存在请求出点尸的坐标若不存在请说明理由.

14.(2023•辽宁沈阳•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中二次函数y=；/+bx+c的图象经过点

力似2)与x轴的交点为点网Go)和点C.

(1)求这个二次函数的表达式

(2)点EG在V轴正半轴上OG=2OE点。在线段OC上。。=6。£以线段0。OE为邻边作矩

形ODFE连接GO设。E=

①连接尸C当△GO。与△F0C1相似时求。的值

②当点。与点。重合时将线段GO绕点G按逆时针方向旋转60。后得到线段G”连接修FG将

△GE”绕点/按顺时针方向旋转夕(0°<。4180。)后得到VG77/'点G〃的对应点分别为G'W连

接DE.当VGFH'的边与线段DE垂直时请直接写出点力的横坐标.

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15.（2023•黑龙江大庆•统考中考真题）如图，二次函数），=o?+bx+c的图象与x轴交于46两点且自

变量x的部分取值与对应函数值V如下表：

备用图

（1）求二次函数y+6+。的表达式

（2）若将线段向下平移得到的线段与二次函数y=ax2+版+c的图象交于p。两点（P在。左边）R

为二次函数卜=公2+/次+。的图象上的一点当点。的横坐标为加点R的横坐标为加+及时求

tan/RP。的值

（3）若将线段44先向上平移3个单位长度再向右平移1个单位长度得到的线段与二次函数

），=：（4/+队+,）的图象只有一个交点其中，为常数请直接写出/的取值范围.

16.（2023•宁夏・统考中考真题）如图，抛物线y=ad+云+3（。=0）与x轴交于AB两点与，轴交于点

C.已知点A的坐标是（7,0）抛物线的对称轴是直线x=l.

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备用图

(1)亘接写出点8的坐标

(2)在对称轴上找一点P使PA+PC的值最小.求点尸的坐标和PA+PC的最小值

(3)第一象限内的抛物线上有一动点M过点"作A/N_Lx轴垂足为N连接BC交MN于点Q.依题意

补全图形当"。+四。的值最大时求点例的坐标.

17.(2023・四川德阳•统考中考真题)已知：在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点4-4,0)8(2,0)与

y轴交于点。(0,-4).

(1)求抛物线的解析式

(2)如图1如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180。抛物线的其余部分保持不变得到一个新图象.当

平面内的直线V=6+6与新图象有三个公共点时求k的值

⑶如图2如果把直线/E沿y轴向上平移至经过点。与抛物线的交点分别是EF直线8c交E厂于

点，过点尸作/GJ.CH于点G若名=2石.求点尸的坐标.

〃(/

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18.(2023・四川雅安・统考中考真题)在平面直角坐标系中已知抛物线)，=/+队+c过点力(0,2)对称轴

是直线x=2.

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的电标

(2)若点8在抛物线上过点4作x轴的平行线交抛物线十点C当△BCM是等边三角形时求出此三角形

的边长

(3)已知点E在抛物线的对称轴上点。的坐标为(LT)是否存在点尸使以点力DE尸为顶点的四

边形为菱形？若存在请直接写出点尸的坐标若不存在请说明理由.

=a/+瓜+4的图象经过点力(-4,0),仇一1,0).

(1)求二次函数的表达式

(2)若点P在二次函数对称轴上当面积为5时求P坐标

(3)小明认为在第三象限抛物线上有一点。使ND44+N/CE=90。请判断小明的说法是否正确如果

正确请求出。的出标如果不正确请说明理由.

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20.（2023•湖北恩施・统考中考真题）在平面直角坐标系my中。为坐标原点已知抛物线^=-5/+瓜+c

与7轴交于点A抛物线的对称粕与x轴交于点4.

备用图

⑴如图，若力（0,6）抛物线的对称轴为x=3.求抛物线的解析式并直接写出百时x的取值范围

（2）在（1）的条件卜若夕为N轴上的点C为x轴上方抛物线上的点当APBC为等边三角形时求点P

C的坐标

⑶若抛物线^=-；/+瓜+6经过点。（叽2）E（%2）且〃?<〃求正整数小〃的值.

21.（2023•辽宁营口•统考中考真题）如图，抛物线歹=仆2+瓜_1（。。（））与x轴交于点力Q,o）和点8与y轴

交千点C抛物线的对称轴交4轴于点。（3,0）过点8作直线/_1_》轴过点D作DEJ.CD交直线/于点

（1）求抛物线的解析式

（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点连接CE和8P交于点。当制=］时.求点P的坐标

（3）在（2）的条件下连接/C在直线8尸上是否存在点尸使得/DEF=N4CD+NBED?若存在请直

接写出点尸的坐标若不存在请说明理由.

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22.(2023・北京•统考中考真题)在平面直角坐标系中M(xpZ)N(.q,%)是抛物线

y=a/+bx+c(a＞0)上任意两点设抛物线的对称轴为戈=t.

(1)若对于内=1毛=2有乂=为求，的值

(2)若对于0＜再＜[1＜X2＜2都有必＜必求，的取值范围.

23.(2023•山东FI照•统考中考真题)在平面直角坐标系xOy内抛物线y=-㈠2+5以+2(。＞0)交y轴于点

C过点。作x轴的平行线交该抛物线于点D.

⑴求点C。的坐标

(2)当时如图1该抛物线与x轴交于力4两点(点力在点4的左侧)点P为直线力。上方抛物

线上一点将直线PO沿直线4。翻折交x轴于点M(4,0)求点尸的坐标

⑶坐标平面内有两点dLa+11/(5,〃+1)以线段EF为边向上作正方形EFGH.

①若。=1求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标

②当正方形EFG”的边与该抛物线有且仅有两个交点且这两个交点到工轴的距离之差为g时求。的值.

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24.(2023・江苏无锡・统考中考真题)已知二次函数了=丝(，+江+。)的图像与^轴交于点人且经过点

8(4,0)和点。(一1,&).

(1)请直接写出6c•的值

(2)直线BC交V轴于点。点£是二次函数丁=孝卜2+属+°.)图像上位于直线48下方的动点过点E作

直线48的垂线垂足为尸.

①求E”的最大值

②若AAEF中有一个内角是ZABC的两倍求点£的横坐标.

25.(2023・山东•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中抛物线4交x轴于•点力(L0),C(5,0)顶点坐

标为E的㈤.抛物线4交x轴于点8(2,0),0(10,0)顶点坐标为尸(吗㈤.

(1)连接£尸求线段£产的长

(2)点，”(-7,4)在抛物线。上点N(16,dJ在抛物线右上.比较大小：&d2

(3)若点尸(〃+3J),0(2〃-1J)在抛物线。上/＜人求〃的取值范围.

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26.(2023•江苏徐州・统考中考真题)如图，在平而直角坐标系中二次函数y=+26T勺图象与x轴

分别交于点04顶点为8.连接08/8将线段48绕点A按顺时针方向旋转60。得到线段4C连接

BC.点。,E分别在线段。8刀。上连接4),0瓦E40E与48交于点£/。£4=60。.

(1)求点44的坐标

(2)随着点E在线段8c上运动.

①NED4的大小是否发生变化？请说明理由

②线段8〃的长度是否存在最大值？若存在求出最大值若不存在请说明理由

(3)当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时△4Q£的面积为

27.(2023•辽宁•统考中考真题)如图，抛物线y=-；/+以+。与x轴交于点A和点8(4,0)与N轴交于点

。(。，4)点E在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式

(2)点上在笫一象限内过点E作跖〃歹轴交BC于点F作EHIIx轴交抛物线于点〃点〃在点E的

左侧以线段为邻边作矩形EFGH当矩形月产GH的周长为11时求线段EH的长

(3)点切在直线4C上点N在平面内当四边形OENM是正方形时请直接写出点N的坐标.

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28.（2023•黄州•统考中考真题）如图①是一座抛物线型拱桥小星学习二次函数后受到该图启示设计

了一建筑物造型它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示）抛物线的顶点在。处对称釉OC与水平

线。力垂直OC=9点A在抛物线上且点A到对称轴的距离。力=3点8在抛物线上点3到对称轴

的距离是1.

图①

（1）求抛物线的表达式

（2）如图②为更加稳固小星想在。。上找一点P加装拉杆P4Q8同时使拉杆的长度之和最短请你

帮小星找到点P的位置并求出坐标

⑶为了造型更加美观小星重新设计抛物线其表达式为），=-12+2队+人13>0）当44x46时函数

V的值总大于等于9.求6的取值范围.

29.（2023・吉林长春•统考中考真题）在平面直角坐标系中点。为坐标原点抛物线yu-V+ZuTZ（b是

常数）经过点（2,2）.点A的坐标为（叫0）点8在该抛物线上横坐标为1-机.其中〃?<0.

（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标

（2）当点8在x轴上时求点A的坐标

⑶该抛物线与x轴的左交点为尸当抛物线在点尸和点8之间的部分（包括P8两点）的最高点与最低点

的纵坐标之差为2-机时求〃?的值.

（4）当点4在x轴上方时过点4作8C_Ly轴于点。连结力C30.若四边形/O8C的边和抛物线有两个

交点（不包括四边形408c的顶点）设这两个交点分别为点£点、F线段4。的中点为。.当以点。

EO。（或以点CFO。）为顶点的四边形的面积是四边形力08c面积的一半时直接写出所

有满足条件的〃?的值.

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30.（2023・内蒙古•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中抛物线产-/+3区+1交V轴于点A直线

，=-；1+2交抛物线于4,C两点（点8在点。的左侧）交y轴于点。交X轴于点E.

⑴求点。，旦C的坐标

（2）尸是线段OE上一点（。/vEF）连接AF,DF、CF且/产+七尸=21.

①求证：是直角三角形

②■的平分线EK交线段DC于点K,尸是直线8。上方抛物线上一动点当3tan//YK=l时求点产

的坐标.

参考答案

一解答题

1.（2023•辽宁盘锦•统考中考真题）如图，抛物线y="+加+3与x轴交于点力（-1,0）8（3,0）与歹轴交

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⑴求抛物线的解析式.

4

(2)如图1点。是x轴上方抛物线上一点射线轴于点N若QM=BM且tan/M6N=g请

直接写出点。的坐标.

(3)如图2点E是笫一象限内一点连接交N轴于点。力£的延长线交抛物线于点P点F在线段

C。上且3=0。连接尸4FE,BE,BP若5之庄=5△小求48面积.

【答案】⑴)，=*+2》+3

⑵。(2,3)

吗

/、/、、[a-b+3=0

【分析】(1)将点力(-1，0)8(3,0)代入抛物线'="+^+3得到+3H3=o解方程组即可得到答案

(2)设MN=4/〃BN=3)n,则用必=。河=3桁，则QN=9〃？ON=3-3m从血表木由点。的坐标为

(3-3川,9川)代入抛物线解析式求出〃，的值即可得到答案

(3)求出直线力P的表达式利用％旌=5a踹得到;。求出点P的坐标再根

据S.进行计算即可得到答案.

【详解】⑴解:•••抛物线广/+m+3与”轴交于点力㈠,0)4(3,0)

fa-〃+3=0

,'9a+3H3=0

「•抛物线的解析式为：y=-/+2x+3

4

(2)解：vtan/MRN=-

3

••・设MN=4/〃BN=3m

BM“MN，+8*=J(4前"3靖=5zr.

:.QM=BM=5rn

QN=QM+MN=S〃+4%=5n

•••点8(3,0)

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.•.04=3

0N=0B-BN=3-3m

•••点。的坐标为(3-3〃?9〃)

•・•点。是x轴上方抛物线上一点

「.-(3-3〃?)~+2(3-3〃?)+3=9/〃

解得：m=o(舍去)或，〃=；

.•.0(2,3)

(3)解：设点尸(〃7,一〃/+2〃?+3：1直线4尸的解析式为y=H+6

•••/(-1,0)

k\b=b

km+b=-nr+2m+3

k=_(〃？_3)

解得:

b=-(m-3)

••・直线AP的解析式为y=-(m-3卜-(〃?-3)

当x=0时y=-(m-3)=3-m

(0,3-w)

0D=3-m

.\CF=OD=3-m

在抛物线y=*+2x+3中当x=0时V=3

/.C(03)

二.0C=3

DF=0C-0D-CF=3-(3-w>(3-〃？>2m-3

设点E的坐标为(f，-(加-3)Z-(/H-3))

vJ(-1,0)8(3,0)

AB=4

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：.^DF\XA-XE)=^AByE

二.gx(2〃？-3)x"+1)x4>£-(掰-'t-(-J]

解得：

57

.••点P的坐标为

23454

1177

/.S,„=—ABxy=—x4x—=—

4PpAB2p242

【点睛】本题为二次函数综合主要考查了求二次函数的解析式二次函数图象和性质一次函数的应用

锐角三角函数三角形面积的计算确定关键点的坐标是解本题的关键.

2.（2023•辽宁鞍山•统考中考真题）如图1抛物线J=oihgx+c经过点（3,1）与y轴交于点8（0,5）点

七为第一象限内抛物线上一动点.

（1）求抛物线的解析式.

2

（2）直线歹=§工-4与x轴交于点4与y轴交于点。过点E作直线轴交AD于点、F连接8E.当

8E=D尸时求点E的横坐标.

（3）如图2点N为x轴正半轴上一点OE与BN交于点、M.若OE=BNtan/8"£=:求点£的坐标.

【答案】（l）y=-/+gx+5

3915

⑶矶777）或E5，5）

4163

【分析】（1）利用待定系数法把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式

（2）分别过£/向y轴作垂线垂足为GH根据HL证得RaBEG之RaDFH从而8G=。”设

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E点坐标分别表示出G〃坐标再列方程求解即可

(3)将OE平移到NP连接£尸，则tanN8NP=tan/8M£=3过尸作于。过。作QH_Ly轴

4

于R过P作尸SJ.P。交延长线于S延长PE交y轴于r设尸。=3〃?，则。N=4/〃BN=0E=NP=5m

BQ=m由ABRQSABON可得丝=些从而BR=1设也=〃由ABRQS^QSP可得PS=3〃

BOB\

91

QS=3RS=3+〃再求出石点坐标为(3-4〃,3〃+4)代入抛物线解析式中即可求得〃=/或〃=§从

而可得E点坐标.

9。+5+c=1

【详解】(1)解：把(3,1)和(0,5)代入到解析式中可得c=5解得

抛物线的解析式为：^=-X2+|X+5

22

(2)直线y—4中令y=0,则x=6所以4(6,0)直线y=]X-4中令x=0,则y=-4所以

JJ

£)(0,-4)

垂足为GH

根据题意可得EG="

,：EG1y轴FH1y轴

「.△BEG和为直角三角形

在RtZ^EG和Rt△。自”中

BE=DF

EG=FH

RaBEG学RaDFH

BG=DH

设即,一/+++5)

2

则尸叼-4)

第23页共117页

52

・・・G(0,-产+[+5)/7(0,yZ-4)

从而86=5_(_/+]/+5)=/_]/DH=y/-4-(-4)=1/

<77

贝IJ有/一会=$解得/=o(舍去)或/

故点E的横坐标为：y

3

(3)将OE平移到NP连接E尸，则四边形ONPE为平行四边形tanZ^VP=tanZBME=-过尸作

4

PQ1BN于Q过。作轴于K过户作PSJ_R0交延长线于S延长尸E交V轴于7

vtan4BNP=a=>

QN4

可设PQ=3m,则。N=4〃I

:.BN=OE=NP=7(3W)2+(4W)2=5m

•••\0〃"轴

:△BRQSABON

BRBQRQ

''Bd~~BN~~ON

BR=^BO=\火0=4EP=NO=5RQ=5n

•/PQ1BMPSIRSBRIRS

:.NBR。=4QSP=4BQP=90°

£BQR4-4PQS=90°NBQR4-/QBR=90°

ZPQS=NQBR

:ABRQSAQSP

."="=丝=3

BRRQBQ

第24页共117页

:.PS=3nQS=3,则&S=3+〃

:.XE=TE=TP-EP=RS-EP=3+H-5?=3-4/yE=T0=TR+RO=PS+RO=3?+4

/.£(3—4/7,3〃+4)

代人抛物线解析式中有：3〃+4=-(3-4〃)2+g(3-4〃)+5

9、1

解得：〃=77或〃=彳

163

当"=5时Eg部

当〃=；时F(1,5).

【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题考查了待定系数法求二次函数解析式相似三角形的判定

与性质全等三角形的判定与性质正切的定义等知识解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行

计算构造相似三角形解决问题.

3.(2023・辽宁阜新•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中二次函数y=-/+bx-c的图象与x轴交

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)如图1二次函数图象的对称轴与直线力C：y=x+3交于点力若点M是直线4c上方抛物线上的一个动

点求△MC。面积的最大值.

⑶如图2点尸是直线力C上的一个动点过点P的直线/与3C平行，则在直线/上是否存在点。使点8

与点「关于直线C。对称？若存在请直接写出点。的坐标若不存在请说明理由.

【答案】(l)y=-/-2x+3

,9

⑵S&WCO鼓大=W

⑶0(3-柄,-石)或(3+K6)

【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果

(2)作河。_L<C于。作"七于下交力C于E先求出抛物线的对称轴进而求得C。坐标及

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C。的长从而得出过M的直线户X+〃?与抛物线相切时4MCD的面积最大根据X+川=-X2-2x+3的

△=0求得机的值进而求得M的坐标进一步求得CQ上的高M。的值进一步得出结果

（3）分两种情形：当点P在线段力。上时连接交。。于R设Q"，，+3）根据CP=C4求得Z的值

可推出四边形是平行四边形进而求得。点坐标当点尸在力。的延长线上时同样方法得出结果.

【详解】（1）解：由题意得

y=-(.r+3)(x-1)=-x2-2x+3

（2）解：如图1

作MQ_L4C于。作"£_L44于/交AC于E

-OA=OC=3ZAOC=90°

ZCAO=ZACO=45°

ZMEQ=Z.AEF=900-ACAO=45°

抛物线的对称轴是直线：x=^l=-l

・•・0(1,2)

vC(0,3)

:(D=6

故只需4MCD的边CD上的高最大时△MCO的面积最大

设过点M与/1C平行的直线的解析式为：N=x।加

当直线y=x+/〃与抛物线相切时△A/CO的面积最大

由x+〃？=-x2-2x+3得

x2+3.v+(〃?-3)=0

由△=()得

32-4(Z»-3)=0W

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/.x2+3x+—=0

4

3

■■Xx=x2=--

+33

y=-

14

y=X+3=--+3=-

■22

424

MQ=ME-sinZMEQ=ME-sin45。=：x字=半

S△"c。最大

88

当点P在线段4c上时连接8〃交。。于A

;点B和点。关于C。对称

:<P=CB

设P”,f+3）

由。产=。炉得2/二|0

=—^5/,=y/5（舍去）

二.P1石,3-石）

•；PQ//BC

CRBR,

—=—=1

QRPR

:.CR=QR

••・四边形8CP0是平行四边形

第27页共117页

•.•3+（—右）-0=3—逐O+（3-^）-3=-V5

・•・2（3-V5,-V5）

当点P在4C的延长线上时由上可知：川区3+码

同理可得：。（3卜石,々）

综上所述：0（3-石,一石）或（3+底⑸.

【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质一元二次方程的解法平行四边形的判定和性质轴对称

的性质等知识解决问题的关键是分类讨论.

4.（2023•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）在平面直角坐标系中。为坐标原点抛物线），=以2+后+66与丫

釉交于点月（-6,0）5（8,0）与）,轴交于点C.

（1）求“〃的值

（2）如图①E是第二象限抛物线上的一个动点连接OECE设点E的横坐标为f△OCE的面积为S

求S关于，的函数解析式（不要求写出自变量，的取值范围）

（3）如图②在（2）的条件下当S=6G时连接8E交N轴于点A点尸在N轴负半轴上连接"点力

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在加上连接点上在线段上（点上不与点8重合）讨点L作船的垂线与过点片且平行于的

直线交于点GM为LG的延长线上一点连接刚/EG使NG3M=；N3EGP是x轴上一点且在

点8的右侧NPBM一/GBM="RR+；NDEG过点、M作MN上BG交8G的延长线于点N点/在

8G上连接使BL-N展;若ZEBF=4VMN求直线段'的解析式.

【答案】（l）a-—巫b且

84

（2）S=-3①

(3)y=2x巫

55

36"6H65=0

【分析】（1）把点力（一6,0）8（8,0）代入抛物线解析式丁=加+及+6括得方程组求

64a+8〃+6石=()

出。b的值即可

（2）过点E作£力，），轴垂足为此由（1）知抛物线的解析式是》=一4/+曰x+6百得。。二66

根据“E是第二象限抛物线上的一个动点点七的横坐标为尸得EW=T根据S=g0C•引。代入整

理即可得到S关于/的函数解析式

（3）以BM为一边作NMBT=NMBN/M87的另一边87交的延长线于点7作MK18T垂足为

K作FS上BE垂足为S作£Q_Lx轴垂足为。根据S=和S=-3百，求出七(一2,56)根据

“砂〃BGNGBM=L/BEG/PBM-/GBM=/FRB+、NDEGNRB。+NE8T+/78尸=180。”推

22

理出/£87=60。Z7=30°得到4乙=^57结合BL-NV=；BV推理出N/=KT用AAS证

△MNB&MKB用HL证RtANMJ/丝Rt^KA/r推理出"8"=60。根据“4(80)网一2,56)”得出

08=8£。=5石。8=10代入311/£8。=黑=第求出OA勾股定理算出8A根据

utanZ.FRB=—=—=-^==—tan^FBS=tan600=x/3=—^设FS=2&，则RS=3〃？

RSOR4G3BS

BS=2m代入RS+BS=BR算出机运用勾股定理计算3=J”？+SR°计算OF=RF-OR结合

得“考）（义八

点尸在丁轴负半轴.上设直线"的解析式为y=h+c把8（&0）F0,-受代入求

出完整解析式即可.

第29页共117页

【详解】（1）•••点力（一6,0）8（&0）在抛物线》=加+尻+6后上

36。一6力+66=0

.644+86+66=0

6

a=-----

8

解得：

4

:…至b=&

84

（2）由（1）知抛物线的解析式是》=一//+日工+66

•••C是抛物线与歹轴的交点

.，.x=0时y=65/3

，0C=6百

如下图过点E作轴垂足为力

•••E是第二象限抛物线上•点点E的横坐标为，

EW=-t

二S=goc•E*gX66（T）=-36