中考数学高频压轴题突破-二次函数与四边形

中考数学高频压轴题突破一二次函数与四边形

1.如图，直线BC交x轴于点8(5,0),交)，轴于点。((),-1),已知抛物线y=+法+c

经过点8,C,交x轴于另一点A.

(I)求抛物线的解析式；

(2)若夕是第一象限内抛物线上一点，Q是直线8c上一点，且以A,C,P,。为顶点的

四边形为平行四边形，求点Q的坐标；

(3)抛物线上是否存在点3,过。点作OE_L8C于点E使.CDE与△08C相似？若存

在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，抛物线)，=炉+必+。经过A(—2,4),4(2,0)两点，与〉轴交于点C,DE=；AB,

。石在直线43上滑动，以OE为斜边，在A3的下方作等腰直角DEF.

C

⑴求抛物线的解析式；

⑵当一。所与抛物线有公共点时，求点E的横坐标，的取值范围；

(3)在一户滑动过程中是否存在点"，使以C,D,E,P为顶点的四边形为菱形，若

存在，直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=加+笈-4(4/0)与1轴交于点人(-4,0),

8(1,0)两点，与)，轴交于点C.

(I)求抛物线的函数表达式；

(2)点。是直线人C下方弛物线上一动点，过点尸作夕£歹＞轴交人C于点E,求的最

大值及此时点P的坐标；

⑶将该抛物线沿x轴向右平移£个单位长度得到新抛物线)，，点N是原抛物线上一点,

在新抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得以8,C,N,M为顶点的四边形是平行

四边形，若存在，请直接写出点M的坐标并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不

存在，请说明理由.

4.如图，抛物线)，=-$2+法+。与工轴交于点A和点8(-4,0).与)，轴交于点C(0,4),

连接AC,8c.

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图1,点/＞是第二象限内抛物线上的一点，当点尸到AB,AC距离相等时♦，求点尸

的坐标；

(3)如图2,点"在抛物线上，点N在直线8c上，在抛物线的对称轴上是否存在点2,

使四边形8MNQ为菱形？若存在，请直接写出点。的坐标：若不存在，请说明理由.

13

5.如图，抛物线y=-+4与X轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点。与

点C关于X轴对称，点P是X轴上的一个动点.设点。的坐标为(〃?，0),过点尸作X轴的

垂线/交抛物线于点Q.

试卷第2页，共9页

备用图

⑴求点A,B,C的坐标；

(2)当点。在线段。8上运动时，直线/交80于点M,试探究机为何值时，四边形CQM。

是平行四边形；

(3)在点夕的运动过程中，是否存在点。，使△BOQ是以4。为直角边的直角三角形？若

存在，求出点。的坐标：若不存在，请说明理由.

6.如图，已知抛物线y=与x轴交于点A,B,与丁轴交于点。，直线AC：

(1)则点A,B,。坐标分别为、、:

⑵点p为线段c尸下方抛物线上一动点，过点P作轴的平行线交AC于点。，过点尸作

x轴的平行线交)'轴于点E.

①求PQ+PE的最大值及相应点。的坐标：

②在①的条件下，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得

到新抛物线X,点M为X对称轴上一点，点N为抛物线)，上一点，若以点。，

P,M,N为顶点的匹边形为平行四边形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任

选其中一个点M的坐标写出求解过程.

7.如图，已知抛物线产ad+加+2/与x轴交A(2,0),8(6,0),与)，轴交于点C.

⑴求抛物线解析式；

⑵若点P是直线8C下方抛物线上一点，且位于对称轴左侧,过点P作PD工BC于点D,

作M〃式轴交抛物线于点E,求PD+；PE的最大值及此时点P的坐标；

⑶将抛物线,请+法+2后向左平移2个单位长度得到新抛物线），'，平移后的抛物线了

与原抛物线交于点Q，点M是原抛物线对称轴上一点，点N是新抛物线上一点，请直

接写出使得以点8,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并写出其

中一个点M的求解过程.

8.如图，抛物线尸以2+云+«"0）与x轴交于A（＜0）、巩1,0）两点，与,，轴负半

釉交于点C，且OC=3（M.

⑴求抛物线的解折式；

（2）点。是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作22〃1轴交直线AC于点Q,求

3

PQ-'AQ的最大值及此时P点的坐标；

（3）在（2）的情况下，将该抛物线向右平移，使其经过原点，点M为平移后新抛物线的

对称轴上一点，点N在新抛物线上，当以8、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形

时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并选取一个点写出求解过程.

9.在平面直角坐标系M2V中（如图），已知抛物线y=f—2x,其顶点为A.

试卷第4页，共9页

⑴写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标;

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”.

①试求抛物线y=X2-2X的“不动点”的坐标；

②向左或向右平移抛物线y=/-2x,使所得新抛物线的顶点8是该抛物线的“不动点”,

其对称轴与x轴交于点C,且四边形。4BC是梯形，求新抛物线的表达式.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=。/+以-。的顶点坐标为（2,9）,与），轴交

于点A（0,5）,与x轴交于点E,B.

⑴求二次函数y=6+bx+c的表达式；

（2）过点4作AC平行于x轴，交抛物线于点C,点尸为抛物线上的一点（点P在4C上

方），作平行于），轴交AB于点。，当点。在何位置时，四边形4PC。的面枳最大？

并求出最大面积；

（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以4E,N,M为顶点的四边形是平

行四边形，且AE为其一边，求点N的坐标.

11.如图，抛物线），=-/+庆+仁与x轴交于点4-1,0）,8（4,0）,与），轴交于点C,连

接8C,点尸为线段8上一个动点（不与点C,。重合），过点尸作?。〃），轴交抛物线

于点。.

图1图2备用图

⑴求抛物线的表达式和对称轴；

(2)设。的横坐标为/,请用含/的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值；

(3)已知点"是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取

得最大值时，是否存在这样的点M，M使得四边形FBMN是菱形？若存在，请直接写

出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线)，=++灰+4交x轴于A(TO)、4(2,0)两

⑵如图2.点〃为线段AC上方的抛物线上一动点，点尸为x轴上一个动点，连接以、

PC,当△PAC面积最大时，求尸尸+也/B的最小值，并求出此时P点的坐标.

2

(3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线AC方向平移2及个单位，得到新抛物线，点E

是新抛物线对称轴上一点，点N是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点8、P、N、

£为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标.

13.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线产加+区-2(〃工0)交x轴于4(7,0)、

3两点，交)，轴于点C,其对称轴为x=1.5,

试卷第6页，共9页

(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ〃BP交x轴于点Q,连接PQ,

求-P4Q面积的最大值及此时点p的坐标.

⑶在(2)的条件下，将抛物线了="2+区一2(。/0)向右平移经过点Q,得到新抛物线，

点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F,使得以A、尸、E、尸为顶点的

四边形是矩形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，在平面直角2标系中，抛物线＞=。*-1)2-3与x轴交于A,B两点(点

A在点8的右侧)，与＞轴交于顶点为。，对称轴与x轴交于点”，过点〃

的直线/交抛物线于P,Q两点，点Q在丁轴的左侧.

(1)求。的值及点A,4的坐标；

(2)当直线/将四边形ABCO分为面积比为3:7的两部分时，求直线的函数表达式；

(3)当点。位于第一象限时，设PQ的中点为点N在抛物线上，则以。尸为对角线的

四边形能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由.

15.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线丁=一!丁+反+c与x轴分别交于A,B两点,

4

与)，轴交于。点，其中8(4,0),C(0,2).

⑴求该抛物线的函数表达式；

(2)点P为直线上方物物线上的任意一点，过。作PDAC交直线BC于。，作庄Ix

轴交直线BC于石，求、5PO+PE的最大值，并求此时P的坐标：

⑶如图2,在(2)中。5PO+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿着水平方向右平

移2个单位长度，点尸为点P的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移

后的抛物线上确定一点N,使得以点C,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形，写出

所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

16.已知抛物线y=a/+bx-3与x轴交于点A(TO),8(3,0),与>轴交于点C.

图1图2

⑴求抛物线的解析式.

(2)如图1,点。是直线BC下方抛物线上一点，过点。作。尸_Lx轴，交直线8C于点E,

交x轴于点”，设点。的横坐标为加，求线段OE长度的最大值.

(3)点M是抛物线的顶点，在平面内确定一点N,使得以点A、"、C、N为顶点的四

边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标.

17.抛物线y=-f+&+c与x轴交于A(-1,0)、8(2,0)两点，与)，轴交于点C

试卷第8页，共9页

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)过点O垂直于BC的直线与抛物线交于点M,求点M的坐标；

(3)点尸在抛物线的对称轴上，点Q在抛物线上，是否存在点Q,使得以A,C,P,Q

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

18.已知抛物线y=-V+2.r+3,与K轴交于点A,8(A在8的左边)，与N轴交于点C,

点尸为抛物线上一个动点，横坐标为，〃，点。为抛物线上另一个动点，横坐标为4-

(1)直接写出点A,B,C的坐标.

(2)将抛物线上点P与点A之间的部分记作图像G,当组像G的函数值)，的取值满足

0<J<4,求出〃?的取值范围.

(3)当点夕在第一象限时，以PC,C4为邻边作平行四边形尸C4O,四边形PC4。的面

积记为S,求出S关于"的函数表达式，并写出〃?的取值范围.

(4)当以点点尸6加-2,〃，为端点的线段与抛物线PQ之间的部分(包括P、。)

有交点时，直接写出机的取值范围.

参考答案:

⑵（7』）或（-7,-6）

小、七〜一5、f,20U5、f,535、

（3）存在，（4,一；）或（丁，,）或（二,一二-）

231848

【分析1（1）用待定系数法即可求解；

（2）由AP〃CQ,求出心的解析式，联立抛物线y=g/—2x-|可得点尸的坐标，分两

种情况：①AC为平行四边形的边时；②AC为平行四边形的边对角线时.根据平行四边形

的性质即可求解；

（3）分三种情况：①/点。在第四象限时；②aCDEs；B8,点、D在第一

象限时；③.CQEs.aO时.根据相似三角形的性质即可求解.

【解析】⑴:抛物线），=#+灰+。羟过点8（5.0）,C（Q-1）,

25,

—+5b+c=0\b=-2

••・'2，解得5，

5\c=--

c="2।2

・•・抛物线的解析式为：），=gf-2x-|；

（2）TP是第一象限内抛物线上一点，。是直线8c上一点，且以A,C,P,。为顶点的四

边形为平行四边形，

:.AP//CQ,

4（5,0）,c（（）,-|）,

设直线BC的解析式为），=丘+。，

f5k+a=0k=L

2

・•・5，解得＜，

a=—3

2a=—

I12

•••直线BC的解析式为），=3-g,

•••抛物线的解析式为：），=；/一2］一|二3"一2『—■!，

令y=0,得芭=T，巧=5（舍去）,

・•・A（—1,0）,

答案第10页，共47页

设直线AP的解析式为），=~x+m,

‘一!+〃?=（）,解得

22

工直线”的解析式为y=gx+g,

y:

联立抛物线），=；/—2X-?得,

解得x=6或-1（舍去），

,7

・•・。（63），

①AC为平行四边形的边时：

•••4-l,0）,P（6,3，C（0「3，

22

•二点Q的横坐标为。+6-（一1）=7，点Q的纵坐标为g-g-O=1,

・,•点。的坐标为（7,1）；

②AC为平行四边形的边对角线时.

答案第11页，共47页

57

，点。的横坐标为()+(-1)-6=-7,点。的纵坐标为0--]=-6,

，点。的坐标为(-7,-6)；

综上，点。的坐标为(7,1)或(-7,-6)；

(3)存在，分三种情况：

①,CDEs.O,点。在第四象限时，

•••CDEsBCO,

・•・^DCE-ZCDA,

：,CD//AB,

vC(o,-^),抛物线)，=：/_2x_：=:(X_2)2_2,

2222''2

•••抛物线的对称轴为直线x=2,

:.D(4,-1)；

@aCDE^BCOt点。在第一象限时，

答案第12页，共47页

如图，设CD交x轴于产,

；・ZDCE=NCBA,

:.CF=FB,

•・,8(5.0),

・•・Cr-FB-5-OF,

在△OC/中，OF'OC'CF?,

.•.OF2+(-)2=(5-OF)2,

2

解得OF="

o

设直线CF的解析式为y=Kx+小，

,解得

45

・•・直线CF的解析式为y=-x--,

联立y=^x2-2x-1,

20

x=0

或《5

解得T（舍去）,

115

y=—y=-r

18

)2。115

③ACDESACB。时，如图，过点E作EG_Ly轴于G,过点D作DHLGE于H,

答案第13页，共47页

D

••/CGE=/EHD=90°,

•'CDESQO,

5

-

£2I

•・/CEO=NCOA=90。，CE---_

o2

~ED5

\ZCEG+ZDEH=NCEG+/ECG=90°,

•・/DEH=NECG,

•・DEHsECG,

.CGGECE\

'~EH~~HD~~DE~2'

\EH=2CG,DH=2GE,

:EG_Ly轴,

••£G〃x轴，

•・aBCO^ECG,

.CGPC_\

'~GE~~OB~2，

••GE=2CG,

\GE=EH,DH=2GE,

设,

22

答案第14页，共47页

35

OG+DH=±x十士，

22

35

Z)(2x,—x——),

22

代入了=-2x_g得_**—?=3乂(24)2-2乂(2幻_'|.

解得x=2或0(舍去)，

4

综上，点。的坐标为(4,-。)或(空,野)或-苧).

23IX4o

【点评】本题是二次函数n勺综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形

的性质，平行四边形的性质等，解题的关键是能利用待定系数法求抛物线解析式，理解坐标

与图形的性质，学会利用分类讨论的思想解决数学问题.

2.(\)y=x2-x-2

⑵-2WK2-&或2±W4

(3)存在,(-2,0)或(2,-4)或(4,2)

【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)根据等腰直角三角形的性质求出E&T+2),尸(2-2T+2),。("2,-1+4),当E点

与A点重合时，/=-2,当”点在抛物线上时，，=2-人，则-2工/工2-及时，JDEF与

抛物线有公共点；当E点与8点重合时，1=2,当。点与3点重合时，/=4,则2KY4时，

£>£F与抛物线有公共点：

(3)由(2)知，E&T+2),D(r-2,-/+4),C(0,-2),设P(x,y),根据菱形的对角线

答案第15页，共47页

及边的性质分三种情况讨论：①当为菱形的对角线时，CE=DE,«T+2=T+2+y,

r+(，-4『=4+4

t=t-2+x

求得P(—2,0)：②当CE为菱形的对角线时，CO=OE,T=T+4+y，求得尸(2,-4)；

("2)2+(-6『=4+4

x=2t-2

③当CQ为菱形的对角线时，CE=CD,•y-2=-2r+6,求得P(4,2)；

2222

z+(/-4)=(,»-2)+(r-6)

【解析】(1)解：将A(-2,4),8(2,0)代入…:+法+c,

j4+2〃+c=0

14-2/?4-c=4>

[b=-\

解得

-2

抛物线的解析式为y=x!-x-2；

(2)解：设直线A8的解析式为丁=公+，〃，

-2k+in=4

2k+m=0'

k=-]

解得、，

m=2

/.y=-x+2,

七点的横坐标为/,

石(，,T+2),

•••A(-2,4),8(2,0),

/.AB=y/(O-4)2+[2-(-2)]2=732=472,

•・,DE=-AB,

2

:.DE=2y/2，

,AOEF是等腰直角三角形，

:.DF=EF=2,

:.F(t-2-t+2)t£>(r-2,-r+4),

当E点与A点重合时，f=-2,

当〃点在抛物线匕时，(Z-2)2-(/-2)-2=-/+2,

答案第16页，共47页

解得/=2+应或/=2-&,

.•「2K/K2-&时，.DEF与抛物线有公共点；

当E点与5点重合时，，=2,

当。点与8点重合时，32=2,

解得f=4,

.•.2KY4时，力所与抛物线有公共点；

综卜所述：-2W2-0或24f«4时，力印与抛物线有公共点：

(3)解：存在点P,使以C,D,E,尸为顶点的四边形为菱形，理由如下:

由(2)知，E/T+2),。("2,-/+4),C(0,-2),设尸(x,y),

①当C。为菱形的对角线时，CE=DE,

t-2=t+x

<-r+2=-/+2+y,

r+(f-4『=4+4

1=2

解得r=-2,

y=0

・•.P(-2,0)；

②当CE为菱形的对角线时，CD=DE,

t=t-2+x

'-t=-t+4+y,

(r-2)2+(r-6)2=4+4

/=4

解得r=2,

y=-4

・•・P(2T)；

③当。为菱形的对角线时，CE=CD,

x=2t-2

，y-2=-2/+6,

r+(z-4)2=(r-2)2+(/-6)2

7=3

解得r=4,

y=2

・•.P(4,2)；

答案第17页，共47页

综上所述：P点坐标为(-2,0)或(2,T)或(4,2).

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，热练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质,

分类讨论是解题的关键.

3.(\)y=x2+3x-4

⑵庄最大值为4,点P的坐标为(-2,-6)

⑶(3,10)或(3,20)或(3,2)

【分析】(1)根据待定系数法求解即可；

(2)先求直线4c解析式为y=-x-4,设P(f/+3-4)(>4<r<0),矶5—4),则可求

PE=Ti,然后根据二次函数的性质求解即可；

(3)分以BC为边和对角线两种情形讨论即可.

【解析】(1)解：•・•抛物线"混+版-4("0)与工轴交于点A(iO),8(1,0)两点,

•(16c/-4Z?-4-0

••1+4-4=0，

a=1

解得八Q，

b=3

・•・抛物线的函数表达式为y=V+3“-4；

(2)解：当x=0时，y=-4,

・•・C(0,-4),

设直线AC解析式为y=〃k+〃，

-Am+n=()

，直线AC解析式为y=-x-4,

设P(rj2+3r-4)(-4</<0),则£(r,-r-4),

:.PE=(-r-4)-(r2+3r-4)

=-t2-At

=-(/+2)2+4,

，当『=-2时，PE最大,最大值为4,

此时点P的坐标为(-2,-6)：

答案第18页，共47页

(3)解：j=x2+3x-4=fx+-25

\2,T

Q

・••抛物线沿x轴向右平移;个单位长度得到新抛物线解析式为

乙

392-3)4

y=x+-----

22

，新抛物线的对称轴为直线x=3,

设N(c,°2+矢、一4),M(3,</|,

①以8c为边时,

1+。0+31+30+c

则或《

0+c2+3c-4-4+6/0+d-4+c2+3c-4

2222

c=2c=4

解得成••

d=\0d=20'

・••”的坐标为(3,10)或(3,20)；

②以8。为对角线时,

1+0c+3

F二F

则0+(-4)d+Bi+d

22

解得J

.•.M的坐标为(3,2),

综上，M的坐标为(3,10)或(3,20)或(3,2).

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象

和性质，平行四边形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度

较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键.

4.(1)y=——x2--x+4

33

⑵十5"II

7-近'

(3)存在,-2*-2~

【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可;

答案第19页，共47页

(2)由题意知?点在ZCAB的角平分线上，设”与y轴交于点E,过£作所工AC交于产

点，求出E1点坐标，直线AE与抛物线的交点即为所求；

(1>/7、

(3)设Q-彳/，由菱形的性质可知也点与。点关于直线8c对称，求出M/-4,彳,再

将点M代入函数的解析式求出，的值即可.

【解析】(1)解：将以-4,0),C((),4)代入y=—历+c,

c=4c=4

，解得一，

---4/?+c=0

3

，抛物线的解析式为y=~x2-1x+4.

(2)解：令y=(),则一g%2-；x+4=。，解得工=3或文=T,且点A在正半轴上,

:.43,0),

：,OA=XCO=4,

在RtOAC中，4C=A/0A2+0C2=732+42=5»

如图所示，设”与)'轴交于点E,过E作EF工AC于小点，

・・•点尸到AB,4c距离相等，

・•・？点在NC48的角平分线上，则。E=M,

：.OA=OF=3,贝1］。尸=.4。-4/=5—3=2,

3

在RtZ\CM中，CE2=CF2+EF2,即(4一。"=。石2+4,解得。后二万,

E(0,|),

设直线4E的解析式为)，=履+，〃，

答案第20页，共47页

3

3k+in=()

m=—?

3解得.

m=—

k=——

22

5

x=3

联立方程组解得,2或.

y-0'

一4

（3）解：存在点。，使四边形8MNQ为菱形，理由如下,

VB(-4,0),C(0.4),设直线BC的解析式为>'=依+加，

-41+加=。k'=l

，解得

m=4in-4

・•・直线BC的解析式为丁=x+4,

•••抛物线的对称轴为直线x=-g,

M,根据点关于直线对称点的坐标公式可知，

・••点M的横坐标为/=F-4=t-4,纵坐标为>w=x+4=-g+4=g，

答案第21页，共47页

•••一；(，一4)2—；(，-4)+4=(,解得/=廿或,二u

22

【点评】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，角平分线的性

质，勾股定理，菱形的性质，点与直线对称的性质是解题的关键.

5.(l)A(-2,0),3(8,0),C(0,4)

(2)当,〃=4时，四边形是平行四边形

(3)存在，点。的坐标为(6,4),(-2,0),(16-36)

【分析】(1)根据函数解析式列方程即可得到结论；

⑵如图所示：根据平行四边形的性质得到QM=C。，设点。的坐标为(肛-/+1+4)

则M(皿列方程即可得到结论；

(3)设点。的坐标为卜,-5〃/+/〃+4),分两种情况：①当/。8。=90。时，根据勾股定

理列方程求得见=6,网=8(不合题意，舍去)，②当/。。3=90。时，根据勾股定理列方

程求得：阳3=-2,惆=16,于是得到结论.

131

【解析】(1)y=-^*2+/+4=-7('+2)(，-8),

令产。，得：—；(x+2)(.8)=0,解得：芭=-2,马=8,

令x=0得，y=4,

・•・&-2,0),8(8,0),C|0,4).

(2)当QM=CO时，四边形CQM。是平行四边形，

答案第22页，共47页

•・•点。与点C(0,4)关于x轴对称,

工点。(0,-4),。。=8,直线8。为y=；x-4,

由题可得一，/+1w?+4j

i3।

则—nr+—in+4—阳+4=8,解得小=4,m=0(舍去),

422

因此当〃?=4时，四边形CQMD是平行四边形.

(3)当/。8。=90。时，有BQ?+BO?=。。2,

,1,3」加十〃

即(8_+—m2+—〃?+4+(46,=〃/+3+4+4

I4242)

解得：町=6,，叼=8(合去)，，有Q(6,4)；

当NQZ)8=90。时，有B。=BD°+DQ2,

],3、

即(8_〃?)2+=(4石)+nr+——m~+—/n+4+4

【4242J

解得：?=-2,砥=16,.•.有Q?(-2,0),(16,-36)；

综上所述：点。的坐标为(6,4),(-2,0),(16,-36).

【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，待定系数法求

直线的解析式，平行四边形的判定和性质，勾股定理，方程思想和分类思想的运用，综合性

较强，有一定的难度.

6.(1)(2,0),(0,2),(0,-1)

(2)①PQ+PE的最大值为?，此时点尸的坐标为口力；②(2,1)或(2,或(2,3)

【分析】(1)分别令丁=。，x=0,即可求解;

(2)①设点P的坐标为(也，/-I),则点Q的坐标为(，明可得

答案第23页，共47页

2

PQ=--m+-m+2f然后分两种情况：当点P在,，轴右侧时，PE=nif当点尸在y轴左

侧时，PE=T〃,结合二次函数的性质，即可求解：②分三种情况讨论：当。夕为对角线时；

当OM为对角线时；当。M为对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标

公式求解即可.

【解析】(1)解：对于丁=!/一1,

当y=()时，-x2-l=(),当x=0时，y=-1

4

x=

解得：\2,x2=—2,

・,・点4(2,O),B(O,2),仇0,-1)；

故答案为：(2,0),(0,2),(0,-1)

(2)解：①设点P的坐标为m,；川2-1),则点Q的坐标为+

PQ--/??+11-f—z/?2-1=-—nr+—m+2,

(2JU)42

当点尸在y轴右侧时，PE=m,

PQ+PE=一•-nr+—/n+2+m=—•-(/??—3)~+—,

424V74

・•・当〃?=3时，PQ+PE的值最大，最大值为U,

4

此时点F的坐标为卜，：)；

当点。在y轴左侧时，PE=-m,

PQ+PE=+g〃z+2-〃z=-((〃？+,

9

工当〃?=-1时，PQ+PE的值最大，最大值为了，

4

此时点P的坐标为1-1，-j；

综上所述，尸Q+尸石的最大值为?，此时点P的坐标为卜，1);

②•・•将抛物线产先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线》,

4

:.新抛物线)1的解析式为y=l(x-2)2-2,

，新抛物线X的对称轴为直线x=2,

答案第24页，共47页

1点M为）1对称轴上一点,

・••点M的横坐标为2,

1

设点M的坐标为（2,〃），点N的坐标为

当OP为对角线时,

3+02+z

.22~

，点M的坐标为（2,1）：

当ZW为对角线时，

2+03+/

5I2」解得：，3,

T+〃才，tri

,22

・••点M的坐标为03}

当QN为对角线时，

1+03+2

~1~=2

・••点M的坐标为（2,3）；

综上所述，点M的坐标为（2,1）或（2怖）或（2,3）.

【点评】本题考杳二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的

性质，分类讨论是解题的关键.

7.⑴),=614&x\2g

63

⑵的最大值为二,此时点尸坐标为:

(3)4,-

【分析】（1）由抛物线解析式可得。（0,26），根据抛物线与x轴交A（2,0）,5（6,0）,设

答案第25页，共47页

y=a(x-2)(x-6),代入C(0,26)即可求得抛物线解析式；

(2)令PE〃X轴交直线BC于点八由⑴知A(2,0),8(6,0),C(0.2@,则抛物线的

对称轴为x=4,OC=243,OB=6,即NOBC=30。，易知PF=2PD，设直线8c的解析

式为丁=辰+〃，代入8(6,0),C(0,273),求得)，=一事1+2行，令

2

P—Q/+2J5],表示山夕石一8—2f,PF=X1,—xfJ=-^-t+3tT由

o3I2

PD+^PE=^(2PD+PE}=^(PF+PE),得到关于i的函数关系式即可得到结果；

(3)由平移得新抛物线解析式，联立原解析式求得点Q,设"(4〃。，N(x,)，),分三种情

况：①当。3,MN为对角线时；②当QN,MB为对角线时：②当BN,MQ为对角线时；

利用其中点重合，可求得加的值，即可得到M的坐标.

【解析】⑴解：•・•抛物线y=o?+法+26与x轴交4(2,0),8(6,0),与)，轴交于点C.

当工=0时，y=20即：C(0,2>/3),

设y=a（x-2）（x-6）,代入C（0,2G）,得：26=12〃，解得：a=B,

6

，抛物线解析式为：)，=£"-2)(1-6)=骼/一竽工+26；

(2)庄〃x轴交直线8c于点尸,

4把=4

由（1）知A（2,0）,*6,0）,C（0,2x/3）则抛物线的对称轴为:

2

则OC=26,03=6,

/.tanZOBC=—=,即/OBC=30。，

OB63

工PE//x,

/.ZDFP=30°,

,/PD工BC,

/.PF=2PD,

答案第26页，共47页

设直线的解析式为），=辰+3代入8（6,0）,C（0,2x/3）,

,V3厂

6k+b=0

得解得:3，即：y=-------X+25/3，

b=20/?=2>/33

令。''器"-怨，+26），则点E横坐标为：8-z,即：PE=|8-2/|

点尸横坐标为：立〃—生叵—a石，即：立一一延—26=-立工+26,

63633

22

解得：x=~t+4t,MPF=XF-XP=-1/+3/，

・•・PD+-PE=-(2PD+PE)=-(PF+PE)

222

即：PD+；PE=1।1

-(PF+PE)=-------?+3r+8-2z

2'，212

一一r+-Z+4

42

1zN17

4V74

当/=1时，PO+gpE有最大值?，此时点P坐标为：P,乎J

滔…）、”

（3）由题意可知：＞-

61）3

原抛物线的对称轴为:x=4,则设M（4,/n）,

广泉一+2）2考邛*2）2一半

则平移后的解析式为:

可得（x—4）2=（x-21，即x=3,则）,=一当,

联立平移前后解析式,

・・・Q

"(6,0),0^3,

,M（4,〃?），设N（x,y）,

以点、B，。，M,N为顶点的四边形是平行四边形,

①当Q3,MN为对角线时，

6+3=4+xx=5

'G，解得：，百

---=m+yv=--------m

-2

答案第27页，共47页

，当-吁骨-2)、手，解得：…苧

PI

②当QN,MB为对角线时,

3+x=4+6

V3

-------by=〃7

2.

・••等+〃?=骼(7—2)2—竽，解得:

m—3G

••・M(4,3码；

②当AN,MQ为对角线时,

6+x=3+4

73，解得:

y_ni------

2

••・加—等=当1一2)2一半,解得:

・・・M(4,())；

综上，以点B,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标为：£-孚］或(4,36)

X/

或(4.0).

【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐

标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的

坐标及相关线段的长度.

3、9

8.(i)y=-rx+7工一3

44

3I(127A

⑵。。。的最大值为二，此时点。的坐标为一彳，-/

(3)(-2J0.5)或(7,10.5)或(-5,37.5)

【分析】(1)根据00=308,可求出点。的坐标，再把点义-4,0)、8(1,0)、C(0「3)代

入解析式，即可求解；

(2)过点。作。轴于点D,根据题意可得sinNO/lC=?I=《g=：,,从而得到

ACAQ5

答案第28页，共47页

33

DQ=-AQy进而得到P。-《AQ=PQ-Q。，再求出直线AC的解析式，设点

P（阳/+；〃?一3）,则点Q卜”一-3mqM+；〃?一3）,可用m表示出PQ,DQ的长，再根

据二次函数的性质，即可求解；

（3）根据题意可得抛物线向右平移4个单位得到新抛物线，从而得到平移后的抛物线解析

式，进而得到点W的横坐标为g，然后结合平行四边形的性质分三种情况讨论，即可求解.

【解析】（1）解：•••8（1,0）

*/OC=3OB.

・•・OC=3,

工点。（0,-3）,

把点A（-4,0）、4（1,0）、C（0,-3）代入,得:

3

16a-4/?+c=04

9

<a+b+c=0»解得：

4

c=-3

c=-3

7g

・•・二次函数的解析式为），=；V+,—3