中考数学二轮复习模拟题重要考点分类汇专题11二次函数与三角形综合(原卷版+解析)

二轮复习【中考冲刺】20222023年中考数学重要考点

名校模拟题分类汇编专题11

——二次函数与三角形综合（重庆专用）

I.（2022秋•重庆沙坪坝•九年级重庆南开中学校考期末）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=

++c与百线交干点力（0,—4）,B（4,0）.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点尸为直线48下方抛物线上的一动点，过点P作PM工/18交48于点M,过点P作y轴的平行线交无轴

于点N,求或PM+PN的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2,将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线V，新抛物线y'与y轴

交于点凡点M为y轴左侧新抛物线（上一点，过M作用/7〃、轴交射线8尸于点N,连接M",当△FMN

为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点M的横坐标.

2.（2022秋.重庆.九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，抛物线y=-3与％轴交于A、

B两点（点A在点8的左侧），与），轴交于点C.点。在），轴E半轴上，直线A。：y=x+b与抛物线

交于点E.

⑴求线段8c的长度:

（2）如图，点尸是线段AE上的动点，过点P作），轴的平行线交抛物线于点Q，求票的最大值；

⑶如图，将抛物线y=*一扛-3向左平移4个单位长度，将△。&4沿直线BC平移，平移后的△DCA

记为在新抛物线的对称轴上找一点M,当△AC'M是以点4为直角顶点的等腰直角三角形

时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.

3.（2022秋♦重庆渝中•九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，抛物线y=*+bx+c交工轴于A,

B两点（4在B的左侧），其中8（275,0）,与y轴交于点C（0,-4）.

（2）直线8。与），轴交于点。，且N"Q=30。，点M是抛物线上在第三象限的一动点，过加作MP/修

轴，交直线4。于点P,MQ_L3。于点Q,求心MQ+PQ的最大值及此时M点的坐标；

（3）将抛物线沿射线。8方向平移4个单位得到新抛物线新抛物线与原抛物线交于点&在新

抛物线A的对称轴上确定一点尸，使得ABE/是以BE为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件

的点尸的坐标.

4.（2022春・重庆北倍.九年级西南大学附中校考期中）如图1,抛物线y=a/+从:+c（aR0）与直

线y=-：工+4的交点分别位于x轴、y轴上的A3两点，与x轴的另一交点为。（一2,0）.

（1）求抛物线的解析式；

⑵如图2,连接BC,点P为AB上方抛物线上一动点，过点尸作PQ〃8。交AB于点Q,过点P作PR1x

轴交AB于点R,求△PQR周长最大值及此时点P的坐标；

⑶在（2）问条件下，当△PQR面积最大时，将△尸QR绕点A顺时针旋转〃。（0〈九V90）,当旋转

过程中，PRJ.AB时，记此时三角形为APiQ/i，再将APWiRi沿直线A8进行翻折得到AP2Q2%，将

AP2Q24沿直线A8进行平移，在平移过程中，若点P2恰好在抛物线上，记此时的三角形为AP3Q3R3,

清直接写出此时力的坐标.

5.(2022•重庆九龙坡•重庆实验外国语学校校考三模)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+

族+2(aH0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,对称轴交抛物线于点Q,交汇轴于点M.其

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,连接8C,在第一象限的抛物线上有一点P,且点P位于对称轴右侧，过P作PDJ_8c于

点。，PE_LMQ于点E,求正PD+PE的最大值及此时点P的坐标.

(3)将抛物线向右平移2个单位长度后得到新抛物线力,新抛物线必与原抛物线相交于点N,在新抛

物线力的对称轴上有一点〃，点”为为与x正半轴的交点，若是以NH为腰的等腰三角形，

请直接写出点〃的坐标，并写出求解其中一个〃点的过程.

6.(2022•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考三模)如图1,抛物线y=Q/+板+2(aH0)交x轴于点

做一1,0),点B(4,0),交)，轴于点C.连接8C,过点A作/W〃8c交抛物线于点。(异于点A).

(1)求抛物线的表达式；

(2)点夕是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE〃y轴，交人。于点石，过点E作EG_LBC于点

G,连接PG,求△PEG面积的最大值及此时点。的坐标；

(3)如图2,将抛物线y=。/+6久+29¥0)水平向右平移;个单位，得到新抛物线九，在力的对称

4

轴上确定一点M,使得ABOM是以8。为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并

任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

7.(2022・重庆.西南大学附中校考模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=Q/+：%+c

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为线段AC上方抛物线上一动点，过点P作PQ_Lx轴交AC于点Q,求PQ+等CQ的最大值

及此时点〜的坐标；

(3)如图2,将抛物线沿射线C4方向平移半个单位，得到新抛物线M是新抛物线y'的对称轴上

一点,在(2)问的条件下，若A/1PM是以4P为腰的等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点M

的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

8.(2022・重庆・重庆巴蜀中学校考一模)如图，抛物线丫=(^2+8工+3与工轴交于点人、点8(1,0),

与)，轴交于点C,直线y=x+3过点A和点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)P点是位于直线AC上方抛物线上的动点，过尸点作x轴的垂线，分别与％轴、AC交于点。、点

3过点。作。尸〃山交八。于点〃，求“乜-的最大值及此时〃点的坐标；

(3)在(2)间取得最大值的情况下，将点P沿)，轴向下平移整个单位长度得到点P',将抛物线y=ax2+

bx+3沿着x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y',将直线y=x+3沿着x轴向右平移9个单位

长度得到直线y〃.设抛物线y'与直线y〃的交点为M点、N点(M点在N点的左边)，在)，轴上是否

存在点。使得A/QN是以PN为腰的等腰三角形.若存在，请直接写出点Q的坐标.

9.(2022春・重庆•九年级重庆南开中学校考阶段练习)如图，抛物线y=。/+双+2与1轴交于4

(-4,0)、B(2,0)两点，与)，轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)如图1,连接AC,BC,若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作MNIly轴，交4C于点N,

过N作NDIIBC交x轴于点D，求MN—?ND的最大值及此时点M的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，当MN-^NO取最大值时，将抛物线、=。/+6%+2沿射线4。方

向平移3遥个单位，得到新抛物线新抛物线与y轴交于点K,P为)，轴右侧新抛物线上一点，过

P作PQlly轴交射线MK于点Q,连接PK,当△PQK为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

10.(2022秋.重庆•九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图1,已知抛物线y=-；/+版+。经过

(I)求抛物线的解析式;

(2)如图2,当点A位于x轴的上方，过点A作/1P1/B交直线y=+：于点尸，以AP,AB为邻边

构造矩形租8Q.求该矩形周长的最小值，并求出此时点A的坐标；

(3)如图3,点M是A8的中点，将抛物线先向右平移2个单，‘立，再向上平移1个单位得到新的抛物

线.设新抛物线的顶点为。.点N是平移后的新抛物线上一动点.当以。、M、N为顶点的三角形

是等腰直角三角形时，直接写出所有点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标过程写出来.

11.(2022春・重庆•九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+

bx+4与x轴交于点力(-6,0),8(4,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图1,点。与点C关于抛物线的对称轴对称，连接交)，轴于点G,作直线O。，点P为线段

8。上方的抛物线上任意一点，过点P作PE〃y轴交8。于点E,过点尸作PF1直线0。于点F.当

PE+^P/为最大时，求这个最大值及此时点〃的坐标；

(3)如图2,连接BC、BD,将40CD绕点。顺时针旋转a(0。<a<90。)得到△0C7)',使得

将线段。。沿射线C'O平移得到。'D〃，连接AO',W,请问在平移过程中，是否存在△407)〃是以△

为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出。〃的坐标，若不存在，请说明理由.

12.(2020春.重庆.九年级重庆八中校考阶段练习)如图，抛物线)，=4f-*+c与x轴交于A,3两

备用图

(1)求抛物线的解析式;

（2）若点£是抛物线上位于x轴下方的一点，且立4旗=248。，求E的坐标;

（3）若点P是），轴上一点，以尸、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标.

13.（2022秋・重庆•九年级西南大学附中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Q严+bx+

C（Q。0）的图象开口向上,对称轴为直线x=土百，与x轴交于人、8两点，其中〃点的坐标为（2g,0）,

与y轴交于点C，且08=。。，连接AC.

图1

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1,P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PEJ.X轴交直线AC于点区过点4作4F1/1C

交直线尸E于点F,若曾，求点尸的坐标；

（3）如图2,点。是抛物线,y的顶点，将抛物线,，沿着射线AC平移得到〃为抛物线/的顶点，过

D'作D'Mlx轴于点M.在平移过程中，是否存在以。、》、M为顶点的三角形是等腰三角形？若

存在，直接写出。'的坐标；若不存在，请说明理由.

14.（2022秋・重庆•九年级重庆八中校考期末）如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=

2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

(1)求点A的坐标；

(2)如图1,连接AC,点。为线段AC下方抛物线上一动点，过点。作。£〃丫轴交线段AC于E点，

连接EO,记△4DC的面积为&,△AE。的面积为S2,求工一52的最大值及此时点。的坐标；

(3)如图2,将抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点

M为新抛物线的顶点，当dAMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标.

15.(2022秋•重庆九龙坡•九年级重庆实验外国语学校校考期末)如图1,在平面直角坐标系中，抛

物线y=一¥X2+§%+。与工轴交于点4和点儿与y轴交于点C(0,遮)，经过点C的直线与抛物线交

JO

于另•点E(4,m),点G为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

图1图2图3

(1)求直线CE的解析式；

(2)如图2,点。为直线CE上方抛物线上一动点，直线CE与“轴交于点P,连接PF,PC.当四边形。CP/

的面积最大时，求点P的坐标以及四边形。CPF面积的最大值.

(3)如图3,连接CD,将(1)中抛物线沿射线DC平移得到新抛物线XV经过点D,y'的顶点为点M.在

新抛物线/上是否存在点N,使得AMG/V是以MG为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点N的

坐标：若不存在，请说明理由.

16.(2021秋・重庆•九年级重庆南开中学校考阶段练习)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线)，=-

V+bx+c与x轴交于点A(-V3,0),点6(2V3,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式以及点。的坐标；

(2)点P为直线8c上方抛物线上的一点，过。作尸。〃)，轴，交BC于点、D,作PE//AB交BC于E,

EF平分NPED并交PD于E求△PFE周长的最大值以及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，当△PFE周长取得最大值时，过点乃作。轴尸点△PQE沿射线"

平移后得到△PDE，当以点M,D',£为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标.

17.(2021秋・重庆•九年级重庆实验外国语学校校考开学考试)己知，如图直线％与直线%分别与％轴

(1)求直线。与直线。的解析式；

(2)点。是线段4?上的一动点，过点。作。E〃力C交8c于E,连接DC,当dCDE的面积最大时，求

点。的坐标；

(3)取在(2)中/COE的面积最大时的点D,在宜线。与直线，2上取点M、N,以点。、M、N为顶

点构成的4OMN能否构成等腰直角三角形，若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由.

18.(2021春・重庆•九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线

y=-申3+2交x轴于A、8,交y轴于点C.

(1)求A/BC的面积;

(2)。为抛物线的顶点，连接BD,点尸为抛物线上点C、。之间一点，连接CP,DP,过点尸作PM//BD

交直线BC于点M,连接DM,求四边形CPDM面积的最大值以及此时尸点的坐标：

(3)将抛物线沿射线BC方向平移3而个单位后得到新的抛物线y'=ax2+bx+c(aH0)),新抛物

线V与原抛物线的交点为E,在原抛物线上是否存在点Q,使得以从E,Q为顶点的三角形为直角

三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由.

19.(2021春・重庆•九年级重庆市巴川中学校校考阶段练习)抛物线'=-12+m：+九与工轴交于4、

8两点，与y轴交于。点，抛物线的对称轴交x轴于点。，已知皿一1,0)，C(0,2)

(I)求抛物线的表达式；

(2)如图1,点尸是线段8c上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q,当点P运动

到什么位置时，四边形CDBQ的面积最大？求出四边形CDBQ的最大面积及此时P点的坐标.

(3)如图2,设抛物线的顶点为将抛物线沿射线CB方向以每秒遥个单位的速度平移f秒，平移

后的抛物线的顶点为M，，当是等腰三角形时，求I的值.

20.(2021春•重庆沙坪坝•九年级重庆一中校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁二夕2

・X■汶x轴于A、8两点（点A在点8左侧）.一次函数），=》+〃与抛物线交于4、。两点，交），

（2）点£是线段CQ上任意一点，过点E作£〃_!_），轴于点F,过点£作£P_LAO交抛物线于点P.点

P位于直线人。下方，求心尸曰4七厂的最大值及相应的尸点坐标；

4

（3）将抛物线沿射线A。方向平移与个单位长度得到新抛物线丁,新抛物线与原抛物线交于点K."、

N是直线A。上两动点（M在N的左侧），满足MN=3遍.是否存在以M、N、K为顶点的直角三角

形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.

二轮复习【中考冲刺】2022・2023年中考数学重要考点

名校模拟题分类汇编专题11

——二次函数与三角形综合(重庆专用)

1.(2022秋•重庆沙坪坝•九年级重庆南开中学校考期末)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y-

|x2+bx+c与直线48交于点4(0,-4),B(4,0).

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P为直线48卜.方抛物线上的一动点，过点P作PM148交88于点M,过点P作y轴的平行线交x轴

于点N,求+PN的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2,将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线y',新抛物线/与y轴

交于点F,点M为y轴左侧新抛物线y'上一点，过M作用可〃丫轴交射线BF于点N,连接当△FMN

为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点M的横坐标.

【答案】(1)丫=：/一%-4

叫P&Y)

(3)符合条件点M的横坐标分别为一5、-10,—［、一答

【分析1(I)用待定系数法把71(0,-4),B(4,0)代入y=：/+bx+cnnt.

(2)设直线48的解析式为y=kx+b,把4(0,-4),8(4,0)代入可得，求出直线的解析式为y二

x-4,求出PC=&PM,当m二决寸，&PM+PN最大值为*

(3)求出左平移4个单位，再向上移3个单位的函数表达式y'=：乃2+3%+3,把N/7,MN,MF表

示出来，分情况讨论即可.

【详解】(1)解：把4(0,-4),以物计弋入丫=:标+以+何得，

(—4=c

(0=8+4b+c'

解得c=-4,b=-1,

.*.y=-xz-x-4,

J2

(2)解：设直线4B的解析式为y=kx+b,

把4(0,-4),8(4,0)代入可得,

k=1,b=-4,

工直线力8的解析式为y=x-4,

设P(TH,g一加一4),则

PN=~~m2+m+4,

2

*：OA=OB,

：.WBA=45°,

，乙NCB=45°,

工乙MCP=45。，

又・・・PMSB,

/.PC=&PM,

把P点的横坐标代入y=x-4可得，

y=TH-4,

C(771,TH—4)

:.PC=~~m2+2m,

2

2

:.&PM+PN=-m24-3m+4=-(m-1)+彳

当m=|时，&PM+PN最大值为与.此时，P(|,-y)

(3)把y=-％-4变成顶点式为y=1(x-I)2

•・•左平移4个单位，再向上移3个单位，

"'=)无+3乃一狎(=1+3%+3,

・•・/(0,3),

设过的直线解析式为y=kx+b,

把“0,3),^(今。计弋入得「。：(；。，解得匕=3,k=-：,

的直线解析式y=-^x+3,

设M+3a+3),M和N的横坐标相同，把M的横坐标代入y=-：％+3,

N(a,-qa+3),

・・

.NF=--4a,

MN=|——|a2|»

MF=a?+ga2+3a)2=-al+$a+3)2

I、当NF=MN时，-：a=|一弓。一3标|，

解得：%=—5,a2=0(舍云)，a3=-10,

M2(-10,23)

Ik当NF=MF时，-：Q=-QJ1+GQ+3)2

整理得：4a2+48a4-135=0,

915

当a=V时，M（W）.N（一遍）

当a=—£时，M（—£，—N（—£,胃），此时M、N重合，不合题意，舍去，

IH、当MN=MF时，一?Q-[a2=_Qji+CQ+3）2

整理得：；a=-竺

44

解得Q=-不

当。=谭时，M（卷，黑，

综上所述：符合条件的点M有四个，其横坐标分别为-5、-10,

【点睛】此题考食了二次函数的综合问题，解题关键是熟悉二次困数的基本性质、待定系数法、线

段表示方法.

2.（2022秋・重庆•九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，抛物线y=；/一；％一3与x轴交于A、

24

B两点（点A在点8的左侧），与），轴交于点C.点D在），轴E半轴上，直线4。：y=x+b与抛物线

交于点E.

(1)求线段BC的长度;

(2)如图，点P是线段46上的动点，过点P作)，轴的平行线交抛物线于点Q,求震的最大值:

(3)如图，将抛物线y=_3向左平移4个单位长度，籽△4沿直线BC平移，平移后的△DCA

记为△。七在新抛物线的对称轴上找一点M,当△AC'M是以点4为直角顶点的等腰直角三角形

时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.

【答案】⑴3遍

啮

⑶叭一3,3)或(一3,-2)

【分析】(1)分别求出B、C点的坐标，再求BC的长即可；

(2)设P(t,t+4)(-4<t<14),可求PQ=-92+'+7,CD=7,则尝=一白("5/+萼,

84CD5656

当。=5时,察有最大值左

CD56

(3)求出平移后的抛物线的解析式，设M(—3,m),由题意可得AM=5,设△力CD沿x轴向左平移2a

个单位长度，则沿y轴向下平移Q个单位长度，则4(-4-2a,-a),C'(-2a,-3-a),再由

7(-4-2a+3)2+(m+a)2=5①，J(3—2a尸+(丁+3+十产=5鱼②，联立①@可得；或

｛；;二g，即可求M(-3,3)或(一3,-2).

【详解】(1)解：令y=0,则*/一：工一3二0,

解得％=6或%=-4,

•••A(-4,0),B(6,0),

令％=0,则x=-3,

•••C(0,-3),

BC=3V5：

(2)将点力(-4,0)代入y=x+b,

，-4+匕=0,

解得匕=4,

y—x+4,

•••D(0,4),

y=x+4

-121

｛yV——x—x—Vd

J84

解明蠢4端"

•••E(14,18),

设P(£,t+4)(-4<t<14),

PQ〃y轴，

Q(*[2一%-3),

...PQ=t+4_(12_*3)=一*+*7,

•••CD=7,

•••--t2+—1+1=--(t-5)2+—,

CD562856k756

.•.当t=5时，出有最大值之

CD56

(3)•••y=_J.%―3=一±(%_i)2一竺，

Z848k78

・•・平移后的抛物线解析式为y=-

o8

••・抛物线的对称轴为％=-3,

设

v/1(-4,0),C(0,-3),

•••AC=5,

A'Cf=5,

••・△A'C'M是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，

••.AM=5,

设44CD沿工轴向左平移2a个单位长度，则沿y轴向下平移a个单位长度，

•*"A'(^—4—2a,~a),Cr(-2a,-3-a)»

•••，(一4-2a+3乃+(m+a)?=5①，CM=V(3-2a)24-(m4-3+a)2,

•••CM=垃AC,

J(3-2a尸+(卜+3+。尸=5或②,

联立①②可得｛；二;或｛;二1g，

M(-3,3)或(一3,-2).

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性

质，函数图象平移的性质是解题的关键.

3.(2022秋・重庆渝中•九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，抛物线尸〃2+b"c交x轴于4

6

B两点(A在8的左侧)，其中8(26，0),与y轴交于点C(0,-4).

y

(i)求抛物线的解析式：

(2)直线8。与)，轴交于点。，且N/WD=30。，点M是抛物线上在第三象限的一动点，过M作

轴，交直线BO于点P,MQ_L3O于点Q,求V5MQ+PQ的最大值及此时M点的坐标；

(3)将抛物线沿射线。B方向平移4个单位得到新抛物线w，新抛物线“与原抛物线交于点E,在新

抛物线X的对称轴上确定一点F，使得ABE尸是以BE为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件

的点尸的坐标.

【答案】⑴尸那+4%-4：

63

⑵V5MQ+PQ有最大值16,此时M(-2VJ,-4)；

⑶F点坐标为(V5,，阚岳卓)或(岳*?)或(岳(?).

【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)在△PQM中，求出/PMQ=30。，贝i」0MQ+PQ=2PM,求出尸M的最大值时即可求解；

(3)求出平移后的函数解析式尸:①逐上兴再求出点员-6,-；),设分两种情况讨论：当

8斤8/时和当8斤Eb时，根据边长相等列出方程求出机的值即可.

(1)

解：将8(275,0)0(0,-4)代入y=:/+b%+c得:

6

.(c=-4

••(2+2>/3Z>+c=0

-c=-4

解得卜_&，

D=­

3

：.y=^x2+^-x-4i

63

(2)

•・・NA8O=30。，MP〃)，轴，

/.ZMPQ=60°,

VMQXBD,

ZPMQ=30°,

・・・MQ=WMP,PQ=；PM、

：・6MQ+PQ=2PM,

,••08=20,NDBO=30。,

A0D=2,

，。（0,2）,

设直线BD的解析式为产近+/3

ib=2

l2V3k+b=0

b=2

解得:IT

/.y=-yx+2,

设（£,92+当匕4）,则尸（彳?£+2）

o33

61x/31,2A/31厂2

・•.PM=_—1+2--129--1+4=--12--r+6=--(t+2V3)+8

363636

・••当t=・2VJ时，rMff最大值8

•・MMQ+PQ=2PM,

，当t=-2V5时，6MQ+PQ有最大值16,此时M(-2VJ,-4)；

(3)

F点坐标为（V5,字）或（6,-手）或（6,-；+”）或（6,-；-绡）.理由如下:

•・•抛物线沿射线方向平移4个单位，

・••抛物线沿x轴正方向移动25个单位，沿），轴向下平移2个单位，

抛物线乃的解析式为尸弟-拘24

当!’-?%-6=1/+?无_4时，x=-V3,

6363

L9

•・•新抛物线的对称轴为直线x=V5,,设尸(6，加)，

18992

22

BE2=-^F=3+m\EF=12+(m+-),

当BE=8/时，?=3+而，

初犯师而

解得m1=—,血2=---,

.厂AA77一厂VT77

—~)或(百,—~)；

当BE=EF时，詈=12+(m+\)：

喇旦巾-94ml9一9g

解得：mi-»m2-

.・・/，*写）或（VM.等）

综上所述：/点坐标为（6，手）或（岳苧）或（岳9组）或（V5,；W）.

【点睛】本题考杳二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，

等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关犍

4.（2022春・重庆北暗・九年级西南大学附中校考期中）如图1,抛物线y=。/+6%+<:（。*0）与直

线y=一：无+4的交点分别位干x轴、），轴卜的两点.与x轴的另一交点为。（一2,0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2,连接BC,点尸为A8上方抛物线上〜动点,过点P作PQHBC交AB于点Q,过点P作户R1x

轴交4B于点R,求△尸QR周长最大值及此时点尸的坐标；

（3）在（2）问条件下，当APQR面积最大时，将APQR绕点A顺时针旋转"。（0V几<90）,当旋转

过程中，PRJ■力8时，记此时三角形为APiQiRi，再将APiQiRi沿直线A6进行翻折得到AP2Q2R2,将

AP2Q2&沿直线A4进行平移，在平移过程中，若点P?恰好在抛物线上，记此时的三角形为AP3Q3R3,

请直接写出此时尸3的坐标.

【答案】（l）y=-g/+gx+4

（2）aPQR周长最大值为竺萨，此时点尸（|彳）

/3+2n14后、1/3-2遍1,4布、

（3）P3（F—，---丁）或（一^，--+—）

【分析】（1）由直线y=-+%+4与x轴、），轴分别交于4、B两点，可先求出点A,B的坐标，再将

A,B,C三点坐标代入抛物线解析式即可得出结论；

（2）过点。作QMLPR于点M,可得，AOBCsAMPQ,AOBAS^MRQ,进而可得△PQR的周长

为PQ+QR+PR,设点P的横坐标为，，表达PR的长，利用二次函数的性质可得出其最大值，进而可

得出结论；

（3）过点P作x轴的垂线，过点R作x轴的平行线交于点N,则△RP/NS/\84。，所以RP/：PW：

RN=BA：OA：OB=5：3：4,将△P/Q/R/沿直线48进行翻折得到△PzQWz，可得点R是P/,巴的中

点，进而可得P2的坐标；由平移可得P2P3〃AB,所以直线P2尸3的解析式，联立一次函数与抛物线

的解析式，可得出。3的坐标.

（1）

由题意可知，直线y=—：x+4与x轴、），轴分别交于A、8两点，

*5

・"（3,0）,B（0,4）,

将A（3,0）,B（0,4）,C（-2,0）代入抛物线广加+bx+c（"（）），

9a+3b+c=0

得，c=4

4a—2b+c=0

解得〈b-

3

、c=3

，抛物线的解析式为：y=+4.

(2)

由(1)知0C=2,OB=4,Q4=3,

如图，过点Q作QM_LPR于点M,

，NBOC=NQMP=90。,

VBC/7PQ,PR〃y轴,

AZOBC=ZQPR,

AAOBC^AMPQ,

：.OC；OB=MQ；PM=2；4；

•・・PR〃y轴，

・・・NOBA=NQRP,

/.△OBA^AMRQ,

：,OB：OA=MR：QM=4：3,

设QM=3m,贝I]PM=2QM=6m,RM=4〃i,

:.QR=5in,QP=3店m,PR=\0m,

AAPQR的周长为PQ+QR+PR=15m+3V5m=(15+3追加=竺祥「死

若求△PQ/?的周长的最大值，求出刊？的最大值即可；

设点P的横坐标为3贝斤(。-“2+?+4),R«,_(+4),

2,2,,4、22c2,3、)3

P/?=--12+-1+4--14-4)=--12+2t=--(t--)2+

.••当时，PR的最大值为支

此时点PG，9,△PQR周长最大值竺争乂t=竺萨

(3)

由(2)设QM=3m,贝ijPM=2QM=6m,RM=4〃i,

:,QR=5m,QP=3\[5m,PR=\0m,

AAPQR的面积为2PRXQM=-PRx—PR=-PR2

2233

若求△PQR的面积的最大值，求出尸R的最大值即可；

由⑵可知当r=|时，PR的最大值为去

此时点P(|1)，则R(1,2),PR-*

将△PQR绕点R顺时针旋转〃。（0V〃<90）,当旋转过程中，PR_LAB时，记此时三角形为△PQR/,

过点尸作x轴的垂线，过点R作x轴的平行线交于点N,

贝SRPiNs/XBAO,

ARPI：PiN：RN=BA：OA：OB=5：3：4,

：.P,N=-,RN上,

105

，呜，汾

•・•将AP/Q/Q沿直线AB进行翻折得到△PzQzR?，

，点R是P/,P2的中点，

,••。2舄，》

・•・由平移的性质可知，P22〃AB,

工直线P2P3的解析式：y=-lx+l„

令一］x+|=-1x2+|x+4,

解得比=学或X=手.

."（手，->竽）或古乎,W+竽）.

【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四

边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知待定系数法求得二次函数的解析

式.

5.（2022•重庆九龙坡・重庆实验外国语学校校考三模）如图I,在平面直角坐标系中，抛物线y=QM+

立+2（“工0）与不轴交于4B两点，与），轴交于点C,对称轴交抛物线于点Q,交x轴于点M.其

中点4（-2,0）,点8（4,0）.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,连接BC,在第一象限的抛物线上有一点P,且点P位于对称轴右侧，过P作于

点。，PE_LMQ于点E,求述PD+PE的最大值及此时点。的坐标.

(3)将抛物线向右平移2个单位长度后得到新抛物线力,新抛物线力与原抛物线相交于点M在新抛

物线力的对称轴上有一点，，点/为％与x正半轴的交点，若是以AW为腰的等腰三角形，

请直接写出点”的坐标，并写出求解其中一个”点的过程.

【答案】(l)y=-[%2+gX+2

(2)最大值为玄P(3,J

(3)点”的坐标(3,2+的百)或(3,2-4q)或(3,-1)；见解析

【分析】(1)用待定系数法把71(-2,0),8(4,0)代入即可求出.

(2)过点P作y轴平行线交BC于点H,由点B,C的坐标可求出直线BC的解析式，设

P(m,-M+如+2),一如+2),由PD1BC,PH||OC,

得出〜ABOC,3=瞿=提，从而推出遍PD=2R”，进而建立函数模型遥PD+PE=

PHBL2V5

2PH+PE=一如24-3m_l=-1(^2-3)2即可得出结果.

(3)由原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线yi=-12+9,从而得出乂尸的坐标,设9(3,九)，

42

以M/为腰的等腰二角形，有两种情况①HN=NF,®〃N=HF,利用勾股定埋可建立方程，解出即

得到结果.

(I)

抛物线y=ax2+6%+2与x轴交于点4(-2,0),点B(4,0),

.[0=16a+4b+2

••(0=4"2匕+2'

・•・该抛物线的解析式y=-；x2+^x+2.

(2)

(2)如图所示：过点P作y轴平行线交8c于点H,

--yec=-2X+2，

设P(m,—：巾2++2),H—+2),

vPD1BC,PH//OC,

PDHBOC,

,PD_OB_4

••PH-BC-2建’

：,V5PD=2PH,

：2

-PH=-4-m+m,PE=m-l,

:•炳PD+PE=2PH+PE=--m2+3m-1=--(m-3)2+

2272

V--<0,1<m<4,

2

・•・当m=3时,y/SPD+PE的最大值为夕

・・・P(3,*

(3)

(3)点”的坐标(3,2+4^)或(3,2-JT可或(3,-1).

•・•原抛物线为y=--x2+^x+2=--(x-I)2+-,

4244

・•・原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线%=

•・•新抛物线为与原抛物线相交于点M点b为yi与x正半轴的交点,

N(2,2),尸(6,0),

•・•”为新抛物线对称轴上一点，

设”（3,h）,

设NH=NF时，则NH2=N?2,

,・,1+（九一27二20,

：.h=2±719,

AW（3,2±V19）.

设NH=，尸I时，W\NH2=HF2,

:.l2+（2-h）2=32+h2,

•••h=-1,

•••W（X-1）.

故点H的坐标为：（3,2+旧）或（3,2-旧）或（3,-1）.

【点睛】本题是二次函数综合题，主:要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，建模思想求最值

问题，等腰三角形腰的不确定性，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的

坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

6.（2022•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考三模）如图1,抛物线y=。/+/^+2（。W0）交大轴于点

4（一1,0）,点B（4,0）,交），轴于点C.连接8C,过点A作/4D〃8c交抛物线于点。（异于点A）.

（1）求抛物线的表达式：

（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE〃y轴，交4。于点E,过点E作EG_LBC于点

G,连接PG,求aPEG面枳的最大值及此时点。的坐标；

（3）如图2,将抛物线丁=。/+6%+25工0）水平向右平移；个单位，得到新抛物线力,在yi的对称

轴上确定一点使得AZ?。例是以8。为腰的等腰二角形，请写出所有符合条件的点用的坐标，并

任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

【答案】（l）y=—g/+gx+2

（2）当m=2时，即尸（2,3）时，5”EG有最大值3

（3）所有符合条件的点M的坐标为M（3,-3）或M（3,-3+逐）或M（3,-3-遍），求解过程见解析

【分析】（1）根据交点法设抛物线的解析式，然后和。工2一3”一4a比较相同项系数，即可解答,

(2)连接AC,过G作G，1PE于”，在即A40C中，根据勾股定理求出4c长，在RsBOC中,

根据勾股定理求出BC长，然后根据勾股定理逆定理求出aABC为直角三角形，再证明四边形AECG

是矩形，得出4C=GE,利用44S证明A40C三AGHE,得出G"=OA=1,从而推出5”.=[2从

设P(m,-[m2+gm+2)(0<mv4),再求出直线4。的解析式，则可表示出E点坐标，再根据

两点间距离表示出PE的长，最后根据二次函数的性质求面积的最大值即可：

(3)根据平移的性质求出新抛物线的对称轴，联直线人D和抛物线的解析式求出。点的坐标，设

M用两点间距圈公式表示出△/?/»/的=边,然后分和A/NMD两种情况讨论.分别

求出M点坐标，即可解答.

【详解】(1)解：•・•抛物线过点A,B,设抛物线为、=矶％+1)(%-4),

ax2+bx+2=ax2—3ax-4a,

解得：a=—5

，抛物线为y=+g%+2：

在RSBOC中，80=4,0C=2,

：.BC=V42+22=2\/5,

在"BC中，

'：AC+8(72=5+20=25=AB2,

：,AC1BC,

又，：GE1BC,AD//BC,

J四边形AEGC为矩形，AC=GE,

'：GH//AO,CO//EH,

：,LAOC=AGHEQ4/1S),

：,GH=AO=1,

：^PEG=\PEGH=\PE,

设P(m,—1m24-1?n4-2)(0<m<4),

VBC：y=-^x+2,AD//BC,

・，・AD：y=E(m,一纲-J,

PE=—Tn2+2m+：,

22

-FPEG=：PE=~^m2+m+£

V-^<0,开口向下，

当m=2时，即P(2,3)时，有最大值*

(3)抛物线原对称为直线x=£

平移后新对称轴为直线x=3,

联立y=_：%一$

12।3f

一二+二1

/y=2x2x+2,

解得D(5,-3),

设M(3,m),5(4,0),

MD2=m2+6m+3,BM2=m2+1,BD2=10,

当=时，m2=9,m=3或-3,

但m=3时，B,。，“三点共线，舍去，

故ni]=-3»

当3。=MD时，m2+6m+3=0,

加2,3=-3±V6,

综上，M(3,-3)或M(3,-3+遍)或M(3,-3一遍).

【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及的知识点有：利用交点法求二次函数解析式，二次函数和

三角形面积的综合，二次函数和等腰三角形的综合，两点间距离公式，三角形全等的判定，矩形的

判定，以及二次函数的平移，以及方程思想的应用，综合性较强，有一定难度.

7.(2022.重庆.西南大学附中校考模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+：x+c

与x轴交于点4(3,0)、B(-1,0)两点，与y轴交于点C,连接AC.

图1图2

(1)求抛物线的解析式:

(2)点P为线段AC上方抛物线上一动点，过点尸作PQ1”轴交AC于点Q,求PQ+等CQ的最大值

及此时点。的坐标；

(3)如图2,将抛物线沿射线CA方向平移半个单位，得到新抛物线y',M是新抛物线/的对称轴上

一点,在(2)问的条件下，若AAPM是以4P为腰的等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点M

的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

【答案】(19=一1%2+；X+2：

(2)PQ+等CQ的最大值为/此时，P(2,2)；

(