数学归纳法课件-高二下学期数学北师大版选择性

*§5数学归纳法南阳市五中要点数学归纳法(1)概念：用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．(2)步骤：①证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立；②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．根据①②可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设．(

)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(

)(3)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(

)(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(

)×××√

答案：D

3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(

)A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1答案：D解析：因为将式子：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1中n用k＋1替换得：当n＝k＋1时，有1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.故选D.

用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)n＝n0时，等式的结构．(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．

用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等．

(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．

2．“归纳—猜想—证明”解决的主要问题(1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和．(2)由一些恒等式，不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．(3)给出一些简单命题(n＝1，2，3……)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．提醒：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功．③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明．跟踪训练3

设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n·an}的前n项和Sn.解析：(1)由题知，a2＝5，a3＝7.猜想an＝2n＋1.证明如下：①当n＝1时，显然成立．②假设当n＝k(k∈N＋)，ak＝2k＋1(k∈N＋)成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时也成立，由①②知an＝2n＋1，猜想成立．(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋