山东省齐鲁名校大联考2022-2023学年高三下学期第二次学业质量检测数学试题 附答案

齐鲁名校大联考2023届山东省高三第二次学业质量联合检测数学本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数在复平面内的对应点为，则（）A． B． C． D．2．设集合，则的所有子集的个数为（）A．3 B．4 C．8 D．163．设随机变量，且，，则（）A．0.25 B．0.3 C．0.5 D．0.754．抛掷一枚质地均匀的骰子3次，则向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为（）A． B． C． D．5．已知等边三角形的边长为1，动点满足．若，则的最小值为（）A． B． C．0 D．36．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师·托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且。．若，则圆的半径为（）A．4 B．2 C． D．7．已知正方体的棱长为3，点满足．若在正方形内有一动点满足平面，则动点的轨迹长为（）A．3 B． C． D．8．设，，，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线：和圆：（），则（）A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为C．当时，双曲线与圆没有公共点D．当时，双曲线与圆恰有两个公共点10．已知函数．若曲线经过点，且关于直线对称，则（）A．的最小正周期为 B．C．的最大值为2 D．在区间上单调递增11．在数列中，若对于任意，都有，则（）A．当或时，数列为常数列B．当时，数列为递减数列，且C．当时，数列为递增数列D．当时，数列为单调数列12．已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出曲线过点的一条切线方程______．14．已知椭圆：，直线：交于，两点，点，则的周长为______．15．设奇函数的定义域为，且对任意，，都有．若当时，，且，则不等式的解集为______．16．已知三棱锥的体积为6，且．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则三棱锥的体积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列满足，．（1）求的通项公式；（2）若，数列满足，，，，求的前项和．18．（12分）在中，，是边上一点，．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．19．（12分）为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1～4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．月份1月份2月份3月份4月份报名人数/人3.556.57录用人数/人0.20.330.40.47（1）求出关于的经验回归方程；（2）假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴．（ⅰ）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；（ⅱ）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为，．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求的取值范围．附：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为；；，．20．（12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．（1）证明：平面平面；（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值．21．（12分）已知为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为，的面积为1．（1）求的方程；（2）过点作一条直线，交于，两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知，函数，．（1）若和的最小值相等，求的值；（2）若方程恰有一个实根，求的值．参考答案及解析2023届山东省高三第二次学业质量联合检测·数学一、选择题1．D【解析】由题意，得，所以．2．C【解析】由题意，得，故集合的所有子集的个数为．3．A【解析】由已知得，，故由正态曲线的对称性可得．4．D【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子3次共有个不同的结果，设“向上的点数为3个互不相同的偶数”为事件，则事件共包含个不同的结果，故所求概率．5．B【解析】因为，所以，得，则，整理得，得，故的最小值为．6．B【解析】由托勒密定理，得．因为，所以．设圆的半径为，由正弦定理，得．又，所以．因为，所以，所以，，则，故．7．C【解析】在和上分别取点，，使得，，连接，，，，则．又平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以平面平面．又平面平面，故动点的轨迹为线段，其长度为．8．A【解析】当时，由三角函数线及几何知识可得，所以．又，所以，即，故．二、选择题9．ACD【解析】由已知得，，则，所以双曲线的离心率，故选项A正确；双曲线的渐近线方程为，即，故选项B错误；因为圆心到双曲线的渐近线的距离为，所以当时，圆与双曲线的渐近线相切，此时双曲线与圆没有公共点，故选项C正确；设双曲线上的点的坐标为，则圆心到点的距离为，所以圆心到双曲线上的点的距离的最小值为，且双曲线上只有两个点到圆心的距离为，所以当时，双曲线与圆恰有两个公共点，故选项D正确．10．ABD【解析】由曲线关于直线对称，得，则，所以．又，所以，解得，则，，故选项AB正确、选项C错误；当时，，所以在区间上单调递增，故选项D正确．11．ABC【解析】由，得，当时，；当时，，故选项A正确；又，，当时，得，同理可得，…，．又可得，即，则数列为递减数列，且，故选项B正确；当时，，即．又，故，所以，同理可得，…，，所以，即，则数列为递增数列，故选项C正确；当时，，则．又，其符号不能确定，所以的符号不能确定，故选项D错误．12．BCD【解析】由，得．由是奇函数，得，即，所以，即，所以，故选项A错误；由，得，由，得，所以，故选项B正确；由，，得，故选项C正确；由，，得，则，故选项D正确．三、填空题13．或（写出其中的一个答案即可）【解析】因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程符合题意．因为，所以曲线在点处的切线方程为，即．因为当或时，；当时，，所以函数在处取得极大值2．又极大值恰好等于点的纵坐标，所以直线也符合题意．14．【解析】设，分别是的左、右焦点，由已知得，，则，所以，．因为，所以为等边三角形．又直线经过点且倾斜角为30°，所以直线垂直平分，则，，故的周长等于的周长，即为．15．【解析】设，则，所以，故，即，所以在区间上单调递减．又是上的奇函数，所以在区间上单调递减．由，得，，所以当时，．由，得，．由，得，则，．因为可化为，所以或．16．3【解析】由已知得，，．设点到平面的距离为，则．又，所以，，两两垂直．取的中点，连接并延长至点，使，连接，则的中点即为球心．因为点到平面的距离等于点到平面的距离的，而点到平面的距离等于点到平面的距离，所以．四、解答题17．解：（1）由，得，．因为，所以，解得．又由，得，而，所以数列为等比数列，所以，故．（2）由已知得数列的各项依次为，，，，，，，，…，所以．因为，，所以．18．解：（1）由，，得，．在中，由正弦定理，得；在中，由正弦定理，得；在中，由正弦定理，得，所以．（2）由，得．设，则，，所以，，，则，故．设，则．因为，所以，则．设，，则．因为当时，，所以函数在区间上单调递增．因为，，所以，故的取值范围为．19．解：（1）由题意得，，所以，故关于的经验回归方程为．（2）（ⅰ）将代入，得，所以（万元），故估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额为1060万元．（ⅱ）设小王和小李两人中被录用的人数为，则的可能取值为0，1，2，则，，，所以，则，解得．又所以，则．故的取值范围是．20．（1）证明：如图，取的中点，连接．因为为等边三角形，所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以．因为，，，平面，所以平面．又平面，所以．因为是的中点，所以．又，，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：如图，连接，因为，，是的中点，所以四边形是平行四边形．由（1）知平面，而平面，所以，所以，所以，，两两垂直．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图．设，则，，，所以，，，，，，则，，，．设平面的法向量为，则即令，得，所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为，则即令，得，所以平面的一个法向量为．因为，所以平面与平面夹角的余弦值为．21．解：（1）由题意知，设点的坐标为，则直线的斜率为．因为直线的斜率为，所以，即，所以的面积，解得或（舍去），故的方程为．（2）假设存在点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方．由（1）得，抛物线的准线的方程为．设直线的方程为，，，，联立得，所以，，．因为，，所以，解得或．故存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方，其坐标为或．22．解：（1）函数的定义域为，．令，得．因为当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，有极小值，且极小值也是最小值，则．函数的定义域为，，