河北省石家庄市第三十八中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（解析版）

PAGE138中学､润文高级中学2023-2024学年第二学期4月月考高一年级数学测试卷（时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可.【详解】如图，在平行四边形中，且，A：，故A正确；B：，故B正确；C：由，得，故C错误；D：，故D正确.故选：C2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算及几何意义判定选项即可.【详解】因为复数，所以对应的点为，位于第二象限．故选:B．3.已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（）A. B.3 C. D.4【答案】D【解析】【分析】设母线长为，根据题意得到，即可求解．【详解】设母线长为，由题意，可得，解得，即圆锥的母线长为．故选：D.4.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得.【详解】由正弦定理可得，，又，所以，不妨设，所以由余弦定理得．故选：D．5.下列说法正确的是（）A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.三棱锥的四个面都可以是直角三角形C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥【答案】B【解析】【详解】如图所示．对于A，如图①，将两个相同的斜平行六面体叠放，符合条件但不是棱柱，故A错误；对于B，如图②，PA⊥底面ABC，AB是圆O的直径，C是圆上一点，则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形，故B正确；对于C，如图③，延长其侧棱不交于一点，符合条件但不是棱台，故C错误；对于D，如图④，以Rt△ABC的斜边AB为轴旋转得到的是两个对底的圆锥，故D错误．6.已知直线和平面，则“”是“直线与平面无公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系，结合充分，必要条件关系判断.【详解】因为包含和直线与平面相交两种情况，因此若，则直线可以与平面无公共点也可以与平面有一个公共点，因此“”是“直线与平面无公共点”的必要不充分条件.故选：B．7.如图，在梯形中，，设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量基本定理和线性运算计算即可.【详解】因为，，则，故选：A.8.如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（

）A.B.C.四边形的周长为D.四边形的面积为【答案】D【解析】【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关.【详解】如图可知，四边形的周长为，四边形的面积为.故选:D.二､多选题（本体共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知复数z满足，则（）A.z的虚部为-3 B.z在复平面内对应的点位于第二象限C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用复数的乘除运算求解复数，根据复数的性质判断各项正误.【详解】解：由可得，故z的虚部为3，A错误；z在复平面内对应的点为，位于第二象限，B正确；，C正确；，故D错误.故选：BC.10.有下列说法，其中错误的说法为（）.A.、为实数，若，则与共线B.若、，则C.两个非零向量、，若，则与垂直D.若，、分别表示、的面积，则【答案】AB【解析】【分析】由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性质可判断A；根据平面向量数量积的运算律判断C．【详解】解：对于A选项，当时，与可以任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误，对于B选项，如果、都非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错，对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确，若，设，，可得为的重心，设，，，则，，，由，可得，故D正确；故选：AB.11.如图，在正方体中，､､､､､分别是棱､､､､､的中点，则下列结论错误的是（）A.直线和平行，和异面B.直线和平行，和相交C.直线和相交，和异面D.直线和异面，和异面【答案】CD【解析】【分析】利用平行线的传递性可判断出直线和平行，利用三角形全等可证得和相交，由异面直线的定义可判断出和异面，即可得出合适的选项.详解】如下图所示：因为､分别为､的中点，则，同理可证，在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，所以，，延长交直线于点，因为，则，又因为，，所以，，所以，，延长交的延长线于点，同理可证，因为，所以，，即点､重合，所以，､相交，由异面直线的定义结合图形可知，､异面，故AB对，CD均错.故选：CD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知是关于的方程的一个根，则______．【答案】38【解析】【分析】代入方程结合复数的概念及运算法则待定系数计算即可.【详解】将代入方程得，所以，所以.故答案为：3813.已知棱长为的正方体中，为棱上一动点，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】将平面绕翻折到与平面共面，连接交于点，此时取得最小值，利用勾股定理计算出即可.【详解】如图将平面绕翻折到与平面共面（如下平面图形），连接交于点，此时取得最小值，又，，所以，则，即的最小值为.故答案为：14.在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．【答案】或0【解析】【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0或.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知向量与的夹角为30°，.求的值.【答案】，【解析】【分析】首先利用向量数量积求出，然后再利用向量的模的求法求模即可.【详解】.，.【点睛】本题考查了向量的数量积的运算、向量模的计算，需熟记向量的数量积公式以及向量模的求法，属于基础题.16.已知复数，，其中a是正实数．（1）若，求实数a的值；（2）若是纯虚数，求a的值．【答案】（1）2（2）2【解析】【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于的方程组，求解的值；（2）根据复数的除法运算求解，利用复数的定义，构建关于的方程组，求解的值；【小问1详解】解：∵，，，∴，从而，解得，所以实数a的值为2．【小问2详解】依题意得：，因为是纯虚数，所以：，解得：或；又因为a是正实数，所以a＝2．17.已知是三边长且，的面积．（1）求角；（2）求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理计算即可；（2）先根据面积公式求出，结合，得到，进而得到，求出周长．【小问1详解】由余弦定理得，因为，所以；【小问2详解】由三角形面积公式得，即，解得，故，又，故，所以，故，，故的周长为．18.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.（1）求球冠所在球的半径R(结果用h､r表示)；（2）已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】(1)根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式计算即得.(2)根据给定条件结合(1)的结论求出球半径R即可计算作答.【小问1详解】如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高，依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B=h，OO1=R-h，O1A=r，中，，即，整理化简得：，所以球冠所在球的半径R有：.【小问2详解】因球冠底面圆周长，则，又球冠表面积公式为，且，则，由(1)知，即，解得，于是得，球O的表面积为，所以的值是，球冠所在球的表面积是.19.如图是一个正四棱台的石料，上、下底面的边长分别为和，高．（1）求四棱台的表面积；（2）若要这块石料最大限度打磨为一个圆台，求圆台的体积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出侧面