初中数学自主招生难度讲义-7年级专题09含绝对值符号的一次方程（解析版）

专题09含绝对值符号的一次方程

阅读与思考

绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的

基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：

1．形如|axb|c(c0)的最简绝对值方程

这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：axbc或axbc．

2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程

这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．

解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与

绝对值相关的知识、技能与方法．

例题与求解

【例1】方程|x5|2x5的解是__________．

（四川省竞赛试题）

解题思路：设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解．

【例2】方程|x1||x3|4的整数解有（）．

A．2个B．3个C．5个D．无穷多个

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解．

【例3】已知：有理数x、y、z满足xy0，yz0．并且|x|3，|y|2，|z1|2．求xyz

的值．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

解题思路：本题关键在于确定x、y、z的符号．三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论．

【例4】解下列方程：

（1）|x|3x1||4；

（天津市竞赛试题）

（2）|x3||x1|x1；

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

（3）|x1||x5|4．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨

论法是解多个绝对值方程的有效手段．

【例5】已知|x2||1x|9|y5||1y|，求xy的最大值与最小值．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：已知等式可化为：|x2||x1||y1||y5|9，再根据绝对值的几何意义来

探求x、y的取值范围，进而可得xy的最大值与最小值．

【例6】当1m0时，试判定关于x的方程|1x|mx的解的情况．

（上海市竞赛试题）

解题思路：由于1m0，且|1x|0，就有x0，进而计算．

能力训练

A级

1．方程|5x6|6x5的解是_______________．

（重庆市竞赛试题）

13|x|

2．方程|y2||2y|0的解是_______________，方程3(|x|1)1的解是

355

_______________．

3．已知|3990x1995|1995，那么x__________．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

4．巳知|x|x2，那么19x993x27的值为__________．

（“希望杯”邀请赛试题）

．若方程23的解分别是、，则．

5|1002x1002|1002x1x2x1x2__________

（“希望杯”邀请赛试题）

6．满足(ab)2(ba)|ab|ab（ab0）的有理数a和b，一定不满足的关系是（）．

A．ab0B．ab0C．ab0D．ab0

7．有理数a、b满足|ab||ab|，则（）．

A．ab0B．ab0C．ab0D．ab0

8．若关于x的方程|2x3|m0无解，|3x4|n0只有一个解，|4x5|k0有两个解，

则m，n，k的大小关系是（）．

A．mnkB．nkmC．kmnD．mkn

（“希望杯”邀请赛试题）

9．方程|x5|x50的解的个数为（）．

A．不确定B．无数个C．2个D．3个

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

10．若关于x的方程||x2|1|a有三个整数解，则a的值是（）．

A．0B．2C．1D．3

（全国初中数学联赛试题）

11．解下列方程：

11

（1）42|x1|3；（2）|x1|x3；（3）|x|2x1||3；

22

（五城市联赛试题）

（4）|2x1||x2||x1|．

（全国通讯赛试题）

12．求关于x的方程||x2|1|a0（0a1）的所有解的和．

（陕西省竞赛试题）

B级

1．关于x的方程|a|x|a1|x的解是x0，则a的值是__________；关于x的方程

|a|x|a1|x的解是x1，则有理数a的取值范围是__________．

2．若0x10，则满足条件|x3|a的整数a的值共有__________个，它们的和是__________．

（“希望杯”邀请赛试题）

3．若a0，b0，则使|xa||xb|ab成立的x的取值范围是__________．

（武汉市选拔赛试题）

|a|1

4．已知|a|a0且a1，那么__________．

|a1|

5．若有理数x满足方程|1x|1|x|，那么化简|x1|的结果是（）．

A．1B．xC．x1D．1x

6．适合关系式|3x4||3x2|6的整数x的值有（）．

A．0B．1C．2D．大于2的自然数

7．如果关于x的方程|x1||x1|a有实根．那么实数a的取值范围是（）．

A．a0B．a0C．a1D．a2

（武汉市竞赛试题）

8．巳知方程|x|ax1有一个负根，而没有正根，那么a的取值范围是（）．

A．a1B．a1C．a1D．a1

（全国初中数学联赛试题）

9．设a、b为有理数，且方程||xa|b|3有三个不相等的解，求b的值．

（“华罗庚金杯”邀请赛试题）

10．当a满足什么条件时，关于x的方程|x2||x5|a有一解？有无数多解？无解？

（江苏省竞赛试题）

2003a2004|b|

11．用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数a、b（a0，a1），有ab，

a2a

已知2004x2，求x的值．

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

专题09含绝对值符号的一次方程

例1x＝－10提示：x－5＝±（－5－2x），解得x＝－10或x＝0（舍去）．

例2C提示：用数轴表示，方程中未知数x表示到－1与3的距离之和等于4的整数值，分别是－1，

0，1，2，3．

例由得，∴，．

3z12z12z11z23

又x，y异号，y，z同号，

故当y＝2，x＝－3时，z＝1，即x＋y＋z＝0；

当y＝－2，x＝3时，z＝－3，即x＋y＋z＝－2．

综上可知x＋y＋z的值为0或－2．

53

例4（1）x或x

42

（2）提示：当x＜－3时，原方程化为x3x1x1，解得x＝－5；

当－3≤x＜1时，原方程化为x3x1x1，解得x＝－1；

当x≥1时，原方程化为x3x1x1，解得x＝3；

故原方程的解是x＝－5，－1，3．

例5提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1且－1≤y≤5时，

有x2x1y1y59，

故当x=－2,y=－1时,x+y有最小值为－3;当X=1时,y=5时,x+y有最大值为6.

例6分2种情况考虑:

x10x1

①②

x1mx1xmx

11

当且仅当m≠1时,其解为x，这是m满足的条件为1，即0≤m<1,不符合-1≤m<0的条件,

1m1m

故应舍去.

同理,有②得m>0时,方程有唯一的解.但不符合-1≤m<0.故方程无解.

A级

1．x=11提示:原方程可化为5x+6=6x-5或5x+6=5-6x.分两种情况讨论.

39310

2．y或x

2557

3．0或-1

4．5

5．2004提示:x=1002+1002²x=1002-1002²

6．A提示:a<b

₁₂

7．C

8．A

9．B

10．C提示:用筛选法

11．⑴ｘ=-1或ｘ=-3

⑵ｘ=4

4

⑶x或ｘ=2

3

11

⑷提示:X<-1;-1x，x2,X≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到

22

1

x2时,原方程化为(2x1)(x2)x1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足

2

1