初中数学自主招生难度讲义-8年级专题21梯形

专题21梯形

阅读与思考

梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直

角梯形等相关概念及性质.

解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅

助线的方法有：

（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；

（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；

（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；

（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．

如图所示：

例题与求解

【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为a，b，那么

AB的长是___________.（荆州市竞赛试题）

解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．

【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的

平行四边形．

（1）求四边形ABCD四个内角的度数；

（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；

（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图．

（山东省中考试题）

解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关

系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干

种图形．

【例3】如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形的面

积是49cm2，求梯形的高.

（内蒙古自治区东四盟中考试题）

解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．

【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段

AD上，问：满足条件∠BPC＝900的点P有多少个？

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：根据AB＋DC＝AD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形．

【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，

Q分别为OD，OA，BC的中点．

（1）求证：△PQS是等边三角形；

（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；

（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.

【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是

EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．

（山东省竞赛试题）

解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝

PF的图形．

能力训练

A级

1.等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.

（天津市中考试题）

2.如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至

DE，连接AE，则△ADE的面积为______________.（宁波市中考试题）

3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝600，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个

等腰梯形的腰长为______________.

如图，梯形中，，是中位线，是边上任一点，如果2，那

4.ABCDAD//BCEFGBCSGEF22cm

么梯形ABCD的面积为__________.（成都市中考试题）

5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高h和中位线的长m之间的关系是()

A．m＞hB．m＝hC．m＜hD．无法确定

6.梯形ABCD中，AB//DC，AB＝5，BC＝32，∠BCD＝450，∠CDA＝600，则DC的长度是()

21

A.73B．8C.9D.83E.833

32

（美国高中考试题）

7．如图，在等腰梯形ABCD中，AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数是()

A.300B.450C.600D.900

（陕西省中考试

8．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝DC＝5，点P在BC上移动，则

当PA＋PD取最小值时，△APD中边AP上的高为()

248

A．17B．17C．17D．3

171717

（鄂州市中考试题）

9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，

BG⊥CD，垂足分别为E，F，G．求证：PE＋PF＝BG．

（哈尔滨市中考试题）

10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G．

1

求证：GF(BCAD)．

2

11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O．

求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形；

（2）EF2BC22BE2．（深圳市中考试题）

12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB

＝4，BC＝6，∠B＝600．

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC

于点N，连接PN，设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；

若改变，请说明理由．

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所

有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．（江西省中考试题)

B级

1.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，延长BD到E，使DE＝DB，作

EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF＝__________.

（山东省竞赛试题）

2.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝10cm，AC与BD相交于G，且∠AGD＝600，设E

为CG中点，F是AB中点，则EF长为_________.

（“希望杯”邀请赛试题）

3.用四条线段：a14,b13,c9,d7作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位

线的长的最大值为_________.（湖北赛区选拔赛试题）

4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO＝3：2，则两条对角线将梯形

分成的四个小三角形面积之比为（安徽省中考试题）

SAOD:SDOC:SCOB:SAOB_________.

第4题图第5题图第6题图

5.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，若△DEC的面积为S，则四边形ABCD的

面积为()

579

A．SB．2SC．SD．S

244

（重庆市竞赛试题）

6.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝200，∠C＝700，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，

DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF的值为()

1

A．4B．4C．5D．6

2

（全国初中数学联赛试题）

7.如图，梯形ABCD中，AB//DC，E是AD的中点，有以下四个命题：①若AB＋DC＝BC，则∠BEC

＝900；②若∠BEC＝900，则AB＋DC＝BC；③若BE是∠ABC的平分线，则∠BEC＝900；

④若AB＋DC＝BC，则CE是∠DCB的平分线.其中真命题的个数是()

A．1个B．2个C．3个D．4个

（重庆市竞赛试题）

8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB//CD，∠ABC＝900，AB＝9cm，BC＝8cm，CD＝7cm，M是

AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于()

A．1cmB．1.5cmC．2cmD．2.5cm

（“希望杯”邀请赛试题）

如图，在梯形中，，是腰的中点，⊥求证：

9.ABCDAB//DCMBCMNAD.S四边形ABCDMNAD

（山东省竞赛试题）

10.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，

设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.

（全国初中数学联赛试题）

11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.

（“东方航空杯”上海市竞赛试题）

k

12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数y(k0,x0)的图象经过矩形OABD的边BD的

x

1

三等分点（DFBD）交AB于E，AB＝12，四边形OEBF的面积为16.

3

（1）求k值.

（2）已知C(13,0)，点P从A出发以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时出发，以

1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运

动开始，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.

（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线

把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理

由.

专题21梯形

例1a＋b

例2⑴上底角为120°，下底角为60°；

⑵梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长；

⑶能拼出菱形，以下图形供参考：

例37cm提示：过A作AE∥BD交CB延长线于E，则S△AEC＝S梯形ABCD.

例4(1）如图a，若E为AD中点，则∠BEC＝90°且CE,BE分别平分∠BCD，∠ABC；

⑵如图b，在BC上取一点M，使AB＝MB，连结AM,DM，则∠AMD＝90°；

⑶如图c，将a，b组合，则四边形GEHM为矩形.

图a图b图c

∴当P为AD中点时，可以证明∠BPC＝90°；在AD上截取AP＝AB，可以证明∠BPC＝90°，故满足条

件∠BPC＝90°的点P有2个.

例5⑴连结SC,PB.∴△OCD,△OAB均为等边三角形，S，P，Q分别为OD,OA,BC中点，

11

∴SQ＝BC＝AD＝SP＝PQ.故△SPQ为等边三角形.

22

1133

⑵∵SB＝DO＋OB＝,CS＝3,BC＝7.

222

17372493

∴△SPQ的边长SQ＝BC＝.∴S△SPQ＝×()＝.

224216

3a

(3）设CD＝a，AB＝b(a<b),BC2＝SC2＋BS2＝(a)2＋(b＋)2＝a2＋b2＋ab.

22

322S△AODb3

∴S△SPQ＝(a＋ab＋b).又＝，则S△AOD＝ab.

16S△CODa4

S△AODb3S△PQS73223

又＝,则S△AOD＝ab.∵＝,∴8×(a＋ab＋b)＝7×ab.

S△CODa4S△AOD8164

a1

即2a2－5ab＋2b2＝0，化简得＝.故CD：AB＝1:2.

b2

例6如图，分别过E,F,C,P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ就是点P到AB的距离，且

1

有ER∥PQ∥CT∥FS，故四边形ERSF为直角梯形，PQ＝(ER＋FS).

2

易证Rt△AER≌Rt△CAT，Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER＝AT，FS＝BT，又AT＋BT＝AB＝ER＋FS，

1

故PQ＝AB.

2

A级

1.60°2.33.6cm4.82cm25.B6.D7.C

8.C提示:如图，作点D关于直线BC的对称点D'，连结DD'交BC于E，连结AD'交BC于P，过D作

DF⊥AP于F,故PA＋PD此时最小.

由BE＝AD＝2，EC＝3，则可得：DE＝4，∴DD'＝8,则AD'＝217.

8

又∵AD'·DF＝AD·DD',则DF＝17.

17

9.提示：过P点作PQ⊥BG于Q，证明PE＝BQ.

1

10.提示：连结DF并延长交于BC于H，则GF＝BH，AD＝CH.11.略

2

12.⑴3

⑵①当点N在线段AD上运动时，△PMN形状不发生改变，其周长为3＋7＋4.

②当点在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但DMNC恒为等边三角形，过E作EGBC于

G。

当PM=PN时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2；

当PM=MN时，x=EP=GM=6-1-3=5-3；

当PN=MN时，x=EP=GM=6-1-1=4

B级

1.42.5cm

3.10.5提示：以7，14作两底的梯形中位线最长

4.6：4：6：95.B6.A7.D

8.C提示：连结AN，DN，则AB2+BN2=CN2+DC2，而CN=BC-BN

提示：连结