二次函数课件沪科版九年级数学上册

21.1二次函数第21章二次函数与反比例函数沪科版数学九年级上册【公开课精品课件】授课教师：********班级：********时间：********2.二次函数的图象和性质（20分钟）图象绘制：以二次函数\(y=x^{2}\)为例，讲解用描点法绘制函数图象的步骤。列表：选取一些\(x\)的值，如\(-3\)，\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，计算出对应的\(y\)值。描点：在平面直角坐标系中，根据列表中的坐标值，描出相应的点。连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到二次函数\(y=x^{2}\)的图象。让学生观察图象的形状，发现它是一条抛物线，且开口向上，对称轴是\(y\)轴（即\(x=0\)），顶点坐标是\((0,0)\)。性质探究：再选取几个不同的二次函数，如\(y=-x^{2}\)，\(y=2x^{2}\)，\(y=-2x^{2}\)等，让学生分组绘制它们的图象，并观察图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及函数的增减性等性质。通过小组讨论和交流，总结出二次函数\(y=ax^{2}\)（\(a\neq0\)）的性质：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上，对称轴为\(y\)轴，顶点坐标是\((0,0)\)。在对称轴左侧（\(x\lt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧（\(x\gt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而增大。当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下，对称轴为\(y\)轴，顶点坐标是\((0,0)\)。在对称轴左侧（\(x\lt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧（\(x\gt0\)），\(y\)随\(x\)的增大而减小。一般形式的二次函数性质：对于一般形式的二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），通过配方法将其化为顶点式\(y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac-b^{2}}{4a}\)。由此得出其对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})\)。然后通过实例，让学生计算一些二次函数的对称轴和顶点坐标，并结合图象分析其性质。3.二次函数的应用（15分钟）例题讲解：例1：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件。后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。设后来该商品每件降价\(x\)元，商店一天可获利润\(y\)元。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求出当\(x\)取何值时，商店可获得最大利润，最大利润是多少？分析：利润\(y=(\)售价\(-\)进价\()\times\)销售量。售价为\((100-x)\)元，进价为80元，销售量为\((100+10x)\)件。所以\(y=(100-x-80)(100+10x)\)，化简得\(y=-10x^{2}+100x+2000\)。这是一个二次函数，对于二次函数\(y=-10x^{2}+100x+2000\)，\(a=-10\lt0\)，抛物线开口向下，有最大值。根据对称轴公式\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2\times(-10)}=5\)。当\(x=5\)时，\(y_{max}=-10\times5^{2}+100\times5+2000=2250\)（元）。解答过程详细板书，让学生理解如何将实际问题转化为二次函数问题，并运用二次函数的性质求解。练习巩固：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。设果园增种\(x\)棵橙子树，果园橙子的总产量为\(y\)个。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求出当\(x\)取何值时，果园橙子的总产量最大，最大产量是多少？让学生独立完成，然后请一位同学上台板演，教师进行点评和纠正。（二）反比例函数部分1.反比例函数的概念（10分钟）情境引入：展示一些生活中反比例关系的实例，如当路程一定时，速度与时间的关系；当矩形面积一定时，长与宽的关系等。提出问题：这些实例中两个变量之间的关系有什么共同特点？如何用数学式子来表示这种关系？概念讲解：给出反比例函数的定义：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k\neq0\)）的函数，叫做反比例函数。其中\(x\)是自变量，\(y\)是函数，自变量\(x\)的取值范围是不等于\(0\)的一切实数。强调\(k\neq0\)以及\(x\neq0\)这两个条件。举例判断：给出一些函数表达式，如\(y=\frac{3}{x}\)，\(y=-\frac{2}{x}\)，\(y=\frac{1}{2x}\)（可化为\(y=\frac{\frac{1}{2}}{x}\)，是反比例函数），\(y=\frac{x}{3}\)（不是反比例函数，是正比例函数）等，让学生判断哪些是反比例函数，加深对概念的理解。2.反比例函数的图象和性质（20分钟）图象绘制：以反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)为例，讲解用描点法绘制图象的过程。列表：由于\(x\neq0\)，选取一些\(x\)的值，如\(-4\)，\(-2\)，\(-1\)，\(-\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{2}\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)，计算出对应的\(y\)值。描点：在平面直角坐标系中描出这些点。连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)的图象。让学生观察图象，发现它由两条曲线组成，分别位于第一、三象限，且关于原点对称。性质探究：再选取几个不同的反比例函数，如\(y=-\frac{3}{x}\)，\(y=\frac{5}{x}\)等，让学生分组绘制图象，并观察图象的位置、增减性等性质。通过小组讨论和交流，总结出反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的性质：当\(k\gt0\)时，图象分别位于第一、三象限，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。当\(k\lt0\)时，图象分别位于第二、四象限，在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。渐近线性质：引导学生观察反比例函数图象与坐标轴的关系，发现当\(x\)的值越来越大（或越来越小）时，图象越来越接近\(x\)轴（\(y=0\)）；当\(y\)的值越来越大（或越来越小）时，图象越来越接近\(y\)轴（\(x=0\)），但永远不会与坐标轴相交。\(x=0\)和\(y=0\)分别是反比例函数图象的渐近线。3.反比例函数的应用（15分钟）例题讲解：例2：一个矩形的面积为24\(cm^{2}\)，设它的长为\(xcm\)，宽为\(ycm\)。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求当\(x=6cm\)时，\(y\)的值。分析：根据矩形面积公式\(S=xy\)，已知\(S=24\)，所以\(y=\frac{24}{x}\)，这是一个反比例函数。当\(x=6\)时，\(y=\frac{24}{6}=4(cm)\)。解答过程详细板书，让学生理解如何根据实际问题建立反比例函数模型并求解。练习巩固：某工厂现有原材料600吨，平均每天用去\(x\)吨，这批原材料能用\(y\)天。求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并求当\(x=30\)时，\(y\)的值。让学生独立完成，然后同桌之间互相检查和交流5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理9布置作业学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.4.通过观察、操作、交流、归纳等数学活动，加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学生学好数学的愿望与信心.回顾与思考什么叫函数在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应.这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系.对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数，其中x叫自变量，y叫因变量.目前我们已经学习了哪几种类型的函数？一次函数：y=kx+b(k≠0)正比例函数：y=kx(k≠0)有二次函数吗？喷泉投篮彩虹桥这些美丽的弧线会与某种函数有联系吗？思考问题①如图，某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？“水面面积”与“矩形水面的长”有什么关系？水面面积=一条边长×另一条边长xm(20–x)mSmS=x(20–x)此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.S=–x2

+20x解：设矩形水面的一条边长为xm.问题②有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个，问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？玩具总数=总人数×每人每天装配玩具数15+x190–10xy解：设增加x人.y=(15+x)(190–10x)此式表示了增加的人数x与装配玩具总数y之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.y=–10x2

+40x+2850观察下边两个函数关系式，他们有什么特点呢？y=–10x2

+40x+2850S=–20x2

+20x函数表达式都是自变量的二次式思考你能给这类特殊的函数下个定义吗？二次函数一般地，表达式形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量.归纳注意：(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；(2)等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；(3)a，b，c是常数，且a≠0.S=–x2

+20x思考这里的x表示的是矩形的一个边长问题①如图，某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？在这个函数关系式中，自变量x的取值有什么限制呢？解：设矩形水面的一条边长为xm(面积用S表示).x＞0长40m的围网x＜20所以x的取值范围是：0＜x＜20二次函数自变量的取值范围：一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.做一做

下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)√√×合并后a=0√××典型例题关于x的函数是二次函数，求m的值.若是二次函数，须满

足什么条件？等号右边的整式要含有二次项二次项系数不等于0m2–m=2m+1≠0解：由题意可得，m2–m=2，m+1≠0.

解得，m=2.

所以m=2时函数是二次函数.返回⑤2．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则(

)A．m≠－2

B．m≠2

C．m≠3

D．m≠－3B返回返回C3．关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是(

)A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10C．一次项是100 D．常数项是200004．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时球距离地面的高度h(m)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间是(

)A．5sB．10sC．1sD．2sD【点拨】令h＝0，得10t－5t2＝0，解得t＝0(舍去)或t＝2，∴球弹起后又回到地面所花的时间是2s．故选D.返回5．如图，它是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是________．返回11返回6．[2025池州十一中模拟]已知二次函数y＝3(x－1)2＋2.(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；(2)当x＝6时，求y的值；(3)当y＝77时，求x的值．【解】y＝3(x－1)2＋2＝3x2－6x＋5，其中a＝3，b＝－6，c＝5.当x＝6时，y＝3×(6－1)2＋2＝77.当y＝77时，3(x－1)2＋2＝77，解得x＝6或x＝－4.7．[2025合肥包河区模拟]据安徽省统计局公布的数据，初步核算2023年安徽省生产总值为4.71万亿元，若设2025年安徽省生产总值为y万亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是(

)A．y＝4.71x2 B．y＝4.71(1＋2x)C．y＝4.71(1＋x)2 D．y＝4.71(1－x)2C返回8．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，销售单价是13.5元，销售量是500件，而销售单价每降低1元就可多售出200件，当销售单价为x元(7.5<x<13.5)时，获取利润y元，则y与x之间的函数关系式为(

)A．y＝(x－7.5)(500＋x)B．y＝(13.5－x)(500＋200x)C．y＝(x－7.5)(500＋200x)D．以上答案都不对返回D9．若函数y＝(m－2)xm2－2是二次函数，则m的取值情况是(

)A．m＝±2 B．m＝