2025年湖南省株洲十三中高考数学模拟试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年湖南省株洲十三中高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2x≤3}，B={x|x=2n−1,n∈N}，则A∩B=A.{−1,0,1} B.{−1,1} C.{1} D.⌀2.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是(

)A.f(x)=−x3 B.f(x)=x+1x C.3.已知复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限，且z2z1=2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为2cm，则大轮每秒转过的弧长是(

)A.12πcm

B.6πcm

C.π10cm

5.已知等差数列{an}的公差不为0，前n项和为Sn，若S5=10(A.an=2n−10 B.数列{|an|}最小项是|a5|

C.S6.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为23，则甲第一局获胜并最终以4：1获胜的概率为(

)A.16243 B.64243 C.16817.已知点P为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左，右焦点.若半径为b的圆M与F1P的延长线切于点Q，与FA.22 B.32 C.8.已知函数f(x)=ex|x|，若方程[f(x)−e][f(x)+e+a]=0恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是A.(−∞,−e) B.(−∞,−2e) C.(−∞,−2e)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=23sinxcosx+2sinA.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)的最大值为2

C.函数f(x)的图象关于点(π6,1)对称

D.函数y=f(x)的图象向左平移π10.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=AA1，BC⊥AB，E，F，G，H分别为BB1，A.AB1⊥EG

B.EG，FH，AA1三线不共点

C.AB与平面EFHG所成角为45°

D.设11.在如图所示8×8的方格图中，去掉以下哪一个方格，剩下的方格图能用总共21个3×1或1×3的矩形方格图完全覆盖(

)A.① B.② C.③ D.④三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知α，β满足tanαtanβ=3,sin(α−β)=113.已知a，b，c成等差数列，若直线l：ax+by+c=0与曲线y=ex−1+lnx−3相切，则b+ca14.从1，2，3，…，20中任意选取四元数组(a1,a2,a3,四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积S=14(b2−ab)tanC．

(1)证明：C=2A；

(2)若CD为∠ACB的平分线，交AB于点D，且a=16.(本小题12分)

已知抛物线C：x2=2py(p>0)，过点A(p,0)的直线l交抛物线C于M，N两点，且点A到抛物线C的准线的距离为12．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知O为坐标原点，直线l的斜率为k(k≠0)，△OMN的面积为317.(本小题12分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB=2CD=2AD=4，CD⊥AD，AA1⊥BC，E，F分别是棱AB，BC的中点．

(1)证明：BC⊥平面ACC1A1．

(2)若AA1⊥AB，直线A18.(本小题12分)

已知函数f(x)=a+xlnx(a∈R)．

(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线在y轴上的截距为−e，求a的值；

(2)若函数y=f(x)存在唯一极值点，求a的取值范围；

(3)若函数y=f(x)存在极大值，记作ℎ(a)，求证：ln(ℎ(a))+|a|<1．

(参考结论：当x→0+时，xlnx→0−，这里0+表示从0的右边逼近19.(本小题12分)

材料一：英国数学家贝叶斯(1701∼1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设A1，A2，⋯，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪⋯∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，⋯，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)P(B)=P(Ai)P(B|Ai)k=1nP(Ak)P(B|Ak),i=1，2，⋯，n．

材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是⋯，Xt−2，Xt−1，Xt，Xt+1，⋯，那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt+1|⋯,Xt−2,Xt−1,Xt)=P(Xt+1|Xt).参考答案1.B2.C

3.D

4.D

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AD

10.AC

11.AD

12.2313.−514.70

15.16.

17.18.(1)解：函数f(x)=a+xlnx，则f′(x)=lnx−a+xxln2x=xlnx−a−xxln2x(x>0且x≠1)，

则f′(e)=−ae,f(e)=a+e，

∴曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=−ae(x−e)+a+e=−aex+2a+e，

令x=0，则y=2a+e，

由题意得2a+e=−e，解得a=−e；

(2)解：f(x)存在唯一极值点等价于方程xlnx−x−a=0在(0,1)∪(1,+∞)上有唯一解．

设g(x)=xlnx−x−a，x∈(0,1)∪(1,+∞)，

则g′(x)=lnx，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，

∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

又当x→0+时，xlnx→0−，当x→+∞时，g(x)=x(lnx−1)−a→+∞，

∴g(x)在(0,1)上的值域为(−a−1,−a)，在(1,+∞)上的值域为(−a−1,+∞)，

故只需−a≤0，解得a≥0，即实数a的取值范围为[0,+∞)；

(3)证明：设s(x)=xlnx−x−a，

当−1<a<0时，s(0)=−a>0，s(1)=−a−1<0，s(e)=−a>0，

∴存在0<x1<1<x2<e使得s(x1)=s(x2)=0，

即当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(x1,1)∪(1,x2)时，f′(x)<0，

∴f(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上单调递增，在(x1,1)，(1,x2)上单调递减，

∴f(x)存在极大值为f(x1)，极小值为f(x219.解：(1)记事件A为一辆德国市场的电车性能很好，事件B为一辆德国市场的车来自W公司，

由全概率公式知：P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B−)P(B−)，

故所求概率为P(A|B−)=P(A)−P(A|B)⋅P(B)P(B−)=10%−0.25×3%97%≈0.095；

(2)记事件Ai(i=0,1,