甘肃省2025届高三下学期3月月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页甘肃省2025届高三下学期3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数−1+(1−aA.a>−1 B.a<−1或a2.设集合A={x|y=3A.R B.{−1,0,13.某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为W0(单位：mg/L)，测得污水通过长度为l(l0123WW0.50.250.125研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是(

)A.W=W0+0.5l B.W4.高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体均分为(

)A.81.8 B.81.5 C.81.1 D.80.85.从1−9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是(

)A.84 B.120 C.504 D.7206.若α∈(0,π4)A.210 B.−210 7.已知梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2A.[0,17] B.[−8.已知A是抛物线y2=16x上一点，F为抛物线的焦点，直线x4+yb=1与y轴交于点P，A.b24+b2 B.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知双曲线方程为x29−yA.双曲线的渐近线方程为y=±34x

B.双曲线的离心率是73

10.函数f(x)=A.f(x)的最小正周期是2π

B.f(x)的值域是[−311.若自变量x表示时间，在长为定值T的时间周期[u,u+T]中，函数yA.若f(x)=3x，x∈(0,+∞)，则g(u)为减函数

B.若f(x)=3x，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是______．13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=20，S7=56，则数列14.如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的14圆周，内弧半径为12米，路宽为3米，两人均从外弧A点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点C，又沿内弧CB跑至点B处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上D点处，再沿外弧DE跑至点E处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是______(填“甲”或“乙”)，两人跑动距离之差的绝对值约为______米.(结果精确到0.1米，参考数据si四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分．

(1)依据频率分布直方图，完成以下2×2成绩不低于总体均分成绩低于总体均分合计每天整理错题未每天整理错题合计(2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关．α0.100.010.001χ2.7066.63510.82816.(本小题15分)

正四面体P−ABC的三条棱PA，PB，PC是圆锥PO的三条母线，点A，B，C在圆锥PO的底面内，过PA且与圆锥PO底面垂直的平面与圆锥侧面交于PD(不同于PA)．

17.(本小题15分)

数列{an}满足an+12=1an，a1=2，数列{bn}满足bn=lna2n−1(18.(本小题17分)

设O为坐标原点，点P(2,4)，A，B为椭圆x24+y22=1上的两个动点，OP=λ(OA19.(本小题17分)

函数f(x)=(1+x)r−m−1(x>−1，且r>0)．

(1)r≠1时，判断答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵复数−1+(1−a2)i在复平面内对应的点的坐标为(−1,1−a2)，

且复数−1+(2.【答案】B

【解析】解：函数y=31−x中，x∈R，

则集合A=R，

所以A∩B3.【答案】D

【解析】解：由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0,3]；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过(0,W0).

对于A，函数W=W0+0.5l单调递增，不符合条件；

对于B，l=0时，W=0，函数W=0.5W0l的图象不过(0,W04.【答案】C

【解析】解：因为22名男生和18名女生，男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，

故本次比赛高一年级的总体均分x−=2240×82+18405.【答案】A

【解析】解：从9个数字中选择3个不同的数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，

即这3个数无需再排序，故满足条件的三位数的个数是C93=84(个)．

故选：A．

从96.【答案】C

【解析】解：因为α∈(0,π4)，

所以cos(α+π4)=1−sin27.【答案】D

【解析】解：如图所示建立平面直角坐标系，

则A(−2,0),B(2,0),C(1,3)，D(−1,3)，

设M(x,3)(−1≤8.【答案】B

【解析】解：因为A是抛物线y2=16x上一点，F为抛物线的焦点，直线x4+yb=1与y轴交于点P，

所以F(4,0)，P(0,b)，设A(y216,y),O为坐标原点，

所以PA=(y216,y−b),PF9.【答案】CD【解析】解：双曲线x29−y216=1，得：a2=9，b2=16，c2=25，

对于选项A：ba=43双曲线的渐近线方程为y=±43x，故A选项错误；

对于选项B：离心率为e=ca=53，故B选项错误；

对于选项C：双曲线的虚轴长是2b10.【答案】AB【解析】解：对A：f(x+2π)=2cos(x+2π)+sin(2x+4π)=2cosx+sin2x=f(x)，

故2π为f(x)的周期，

显然，没有比2π更小的正周期，故A正确；

对B：由A可知只需考虑f(x)在[π6,13π6]的值域，

由于f(x)=2cosx+sin2x，x∈[π6,13π6]，

故f′(x)=−2sinx+2cos2x=−2sinx+2(1−2sin2x)，

即f′(x)=−4sin2x−2sinx+11.【答案】AD【解析】解：函数y=f(x)的增长率为g(u)=f(u+T)−f(u)f(u)，

对于函数f(x)=3x，x>0，g(u)=3u+3T−3u3u=Tu，u>0，T为定值，

所以g(u)为(0,+∞)上的减函数，故A正确；

对于函数f(x)=3x,x∈(0,+12.【答案】1：1

【解析】解：根据题意可知，平面截正方体，截面形状为正六边形，

如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

E，F，G，H，I，J分别是AB，BC，CC1，C1D1，A1D1，AA1的中点，13.【答案】n2【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，则S5=5a1+5×42d=5a1+10d=20S7=7a1+7×62d=7a1+21d=56，

解得a114.【答案】甲

2.4

【解析】解：如图所示，连接OC、OD，

可知OC⊥AD，OA=OD，

则∠AOC=∠DOC，AC=CD，

在Rt△AOC中，cos∠AOC=OCOA=1215=0.8，

所以sin∠AOC=1−cos2∠AOC=0.6，

所以15.【答案】答案见解析；

有关．

【解析】(1成绩不低于总体均分成绩低于总体均分合计每天整理错题14620未每天整理错题51520合计192140(2)根据题意可知，学生3次数学考试成绩的总体均分为115分，

假设H0：数学成绩不低于总体均分与每天整理数学错题无关，

计算可得χ2=40(14×15−5×6)216.【答案】证明见解答；

3333【解析】解：(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABC，PO⊥平面ABC，P∈平面PAD，

所以PO⊂平面PAD，且O∈AD．

又因为BC⊂平面ABC，所以PO⊥BC，

因为△ABC为正三角形，所以O为△ABC中心，所以AO⊥BC，所以AD⊥BC，

因为PO⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PO∩AD=O，

所以BC⊥平面PAD．

(2)设AD∩BC=M，则M是BC的中点．

以O为坐标原点，BC的平行线为x轴，AD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正四面体的棱长为1，

则A(0,−33,0)，B(12,36,0),C(−12,36,0)，D(0,33,017.【答案】证明见解答，bn=41−n【解析】解：(1)证明：因为an+12=1an，且an>0，

所以lnan+12=ln1an，所以2lnan+1=−lnan，所以lnan+1lnan=−12，

所以数列{lnan}是以ln2为首项，−12为公比的等比数列，

所以lnan=l18.【答案】证明过程见解析；

36【解析】解：(1)证明：点P(2,4)在椭圆外，A、B为椭圆上的两个动点，

设A(x1,y1)、B(x2,y2)，

此时OP=λ(OA+OB)=λ(x1+x2,y1+y2)(λ∈R)，

则x12+2y12=4①x22+2y22=4②，

①−②得(x1+x2)(x1−x2)+2(y1+y2)(y1−y2)=0，

即y1−y2x1−x2=−x1+x22(y1+y2)，

因为直线OP的斜率为y1+y2x1+x2=4−02−0=2，

所以直线AB的斜率为y1−y2x1−x2=−14，

所以直线AB的一个方向向量为(119.【答案】答案见解析；

2cos2【解析】解：(1)因为函数f(x)=(1+x)r−m−1(x>−1，且r>0)，

所以f′(