初中数学自主招生难度讲义-9年级专题22与圆相关的比例线段

专题21、专题22－－录入：江阴夏建平（QQ：705269007）

专题22与圆相关的比例线段

阅读与思考

比例线段是初中数学的一个核心问题.

我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们

可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中

又发展为新的形式.

在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.

在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系.

相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系：

1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；

2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

例题与求解

【例1】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F.

3

若DE=CE，AC=85，点D为EF的中点，则AB=.（全国初中数学联赛试题）

4

解题思路：设法求出AE、BE的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.

例1题图例2题图

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，

又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为（）

111

A．1B．C．D．

234

（武汉市中考试题）

解题思路：由切割线定理知BE2=BD·BC，欲求BD，应先求BE.须加强对图形的认识，充分挖掘隐含

条件.

【例3】如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是AB延长线上一点，CD切半圆于D，DE⊥AB于E.已知

AE∶EB=4∶1，CD=2，求BC的长.

（成都市中考试题）

解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.

DBDC2

【例4】如图，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，==.

DPDO3

（1）求证：直线PB是⊙O的切线；

（2）求cos∠BCA的值.

（呼和浩特市中考试题）

解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.

【例5】如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点.延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BF交⊙

O于F，AF交CE于P.

求证：PE=PC.

（太原市竞赛试题）

解题思路：易证PC为⊙O切线，则PC2=PF·PA，只需证明PE2=PF·PA.证△PEF∽△PAE，作出常用辅

助线，突破相关角.

【例6】如图，已知点P是⊙O外一点，PS、PT是⊙O的两条切线.过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、

B两点，与ST交于点C.

1111

求证：=（+）.

PC2PAPB

（国家理科实验班招生试题）

解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.

能力训练

A级

1．如图，PA切⊙O于A点，PC交⊙O于B、C两点，M是BC上一点，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，则

⊙O的半径为.

（青岛市中考试题）

2．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点.如果BD∥CF，BC=25，

则CD=.

（四川省竞赛试题）

（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）

3．如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C、D，OP⊥CD于点P.若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半径为

5cm，则OP=.

（天津市中考试题）

4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线

交于点E，AE=25，那么PE的长为.

（成都市中考试题）

5．如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，则OC的长为（）

A．26B．6C．23D．22

（辽宁省中考试题）

（第5题图）（第6题图）（第7题图）

6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两

圆组成的圆环的面积为（）

A．16πB．36πC．52πD．81π

（南京市中考试题）

7．如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若AB=12，CD=9，则MD=（）

A．3B．33C．6D．63

8．如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=22，则弦心距OF为（）

A．1B．2C．7D．3

（包头市中考试题）

（第8题图）（第9题图）（第10题图）

9．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆.

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若AD=6，AE=62，求DE的长.

（南京市中考试题）

10．如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，

已知：BE2=DE·EA.

求证：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.

（天津市中考试题）

11．如图，△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC.已知⊙O过点C且与AC相交于F，与AB

相切于AB的中点G.求证：AD⊥BF.

（全国初中数学联赛试题）

（第11题图）（第12题图）

12．如图，已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A.连结CO并延长交⊙O于点D、E，连结BD并延

长交边AC于点F.

（1）求证：AD·AC=DC·EA；

（2）若AC=nAB（n为正整数），求tan∠CDF的值.

（太原市竞赛试题）

B级

1．如图，两个同心圆，点A在大圆上，AXY为小圆的割线，若AX·AY=8，则圆环的面积为（）

A．4πB．8πC．12πD．16π

（咸阳市中考试题）

2．如图，P为圆外一点，PA切圆于A，PA=8，直线PCB交圆于C、B，且PC=4，AD⊥BC于D，∠ABC=

sinα

α，∠ACB=β.连结AB、AC，则的值等于（）

sinβ

11

A．B．C．2D．4

42

（黑龙江省中考试题）

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为2，则BF

的长为（）

326545

A．B．C．D．

2255

（南京市中考试题）

4．如图，已知⊙O的半径为12，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD

的值等于（）

A．OM的长B．2OM的长C．CD的长D．2CD的长

（武汉市中考试题）

（第4题图）（第5题图）（第6题图）

1

5．如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于D.若tan∠B=，PC=10cm，求

2

△BCD的面积.

（北京市海淀区中考试题）

6．如图，已知CF为⊙O的直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过F的⊙O的切线交于点P.

（1）若∠P=45°，PF=10，求⊙O半径的长；

⌒

（2）若E为BC上一点，且满足PE2=PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A.求证：点A是BC的中点.

（济南市中考试题）

7．已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC.

（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC2=AE·AB?为什么？

（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系并

说明理由；

（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？

（重庆市中考试题）

（第7题图）（第8题图）

PBPC

8．如图，P为⊙O外一点，PA与⊙O切于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，求证：=.

BDCD

（四川省竞赛试题）

3

9．如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在的直线的解析式分别为：y=x和

4

425

y=x.D、E分别为边OC和AB的中点，P为OA边上一动点（点P与点O不重合），连接DE和CP，

33

其交点为Q．

（1）求证：点Q为△COP的外心；

（2）求正方形OABC的边长；

（3）当⊙Q与AB相切时，求点P的坐标．

（河北省中考试题）

（第9题图）（第10题图）（第11题图）

⌒

10．如图，已知BC是半圆O的直径，D是AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.

（1）求证：AC·BC=2BD·CD；

（2）若AE=3，CD=25，求弦AB和直径BC的长.

（天津市竞赛试题）

11．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，AD⊥OP，垂足为D.

证明：AD2=BD·CD.

（全国初中数学联合竞赛试题）

专题22与圆相关的比例线段

例1设CE=4k，则DA=DF=3k,AF=AC=，由，即=3k10k,得,而AE=

2

223222

85𝐹=𝐹∙𝐹85∙�=3��−��=

=8，又BE===16，故AB=AE+BE=24.例2C例31提示：设EB=x，则AE=4x.设CB=y，则

2

2��∙��12�

36�−320��8

由，，，得4=y(y+5x)，.例4（1）联结OB，OP，

2222222

可证��明=B�D�C∙∽��△PA�E�，有=��∙𝐶��.+又�∵�OC=为��ABD的中位线，∴4O�C+∥(A�D+，�则)C=E4⊥OC，知CE为☉O的切线，

2

故△,有��,即=�P�E=∙P�C�.△

222

𝐹=𝐹∙����=𝐹

例6解法一：如图1，过P作PH⊥ST于H，则H是ST的中点，由勾股定理得

222222

.又由切割线定𝐹理和=相𝑃交+弦�定�理=，�有�−��+��=

222222

𝑃−��+��=𝑃−��−����+��=𝑃−��∙��𝐹=𝐹∙𝐶−

，∴，即.解法

22𝐹∙𝐶1111

��∙��=𝐹∙𝐶−𝐹−𝐹𝐶−𝐹=2𝐹∙𝐶−𝐹+𝐶𝐹+𝐹𝐹=𝐹+𝐶𝐹=2𝐹+𝐶

二：如图2，联结PO交ST于D，则PO⊥ST.联结SO，作OE⊥PB于E，则E为AB的中点，于是.∵C，

𝐹+𝐶

��=2

E，O，D四点共圆，∴.∵RtSPD∽RtOPS，∴，∴，即

2𝐹+𝐶111

𝐹∙��=𝐹∙𝑃△△𝑃=𝐹∙𝐶𝐹∙2=𝐹∙𝐶𝐹=2𝐹+

.

1

𝐶

A级1.2.提示：BDE≌△CFE，DE=EF，OF=FE=ED，设OF=x，则OA=OD=3x，AE=5x，由，

226△��∙��=��∙𝐹

得，∴.3.4cm4.45.D6.B7.A8.C9.(1)略(2)，AED∽△

22

22��

5=�∙5�,�−1��=��+��=6��=��=12△

ABE，=.设DE=，BE=2x，而，解得x=.∴DE=.10（.1）略（2）

����22222

��=��22���+��=��62∙6=23𝐹=𝐶∙

.可得PB=BD=PD，∴PB=PD=DC，∴又∵

2112

𝐹,𝐹=𝐹,𝐹=��,𝐶+��=𝐶∙2𝐶+��222��=��∙��.

BDCD=ADDE，∴.11.作DE⊥AC于E，则AC=AE，AG=DE.由切割线定理得

2552

∙∙2��=��∙��42��=��∙��=��∙

，故,即.∵AB=5DE，∴,于是.又∠BAF=∠AED=90°，∴

525252����

4��4��=��∙4��5��=��∙����∙𝐹=��∙����=𝐹

△BAF∽△AED，于是又∠ABF=∠EAD.

∵∠EAD+∠DAB=90°，∴∠ABF+∠DAB=90°，故AD⊥BE.

ADEA

12.⑴如图，连接AD，AE.∵∠DAC=∠DAE，∴△ADC∽△EACADACDCEA.⑵∵

DCAC

ADADDCDC

∠CDF=∠1=∠2=∠DEA，∴tan∠CDF=tan∠DEA=.由⑴知=，故tan∠CDF=.由圆的切割线定理知

AEAEACAC

AC2DCEC，而EC=ED+DC，则AC2DCDCED.又AC=nAB，ED=AB，代入上式得

114n2

n2AB2DCDCAB，即DC2ABDCn2AB20，故DC=.显然，上式只能取加号，于是

2

DCDC14n21

tanCDF=.

ACnAB2n

B级

ADCD1AC

1.B2.B3.C4.A5.提示：tanB=.设AD=x，则

CDDB2BC

PAAC1

CD=2x，DB=4x，AB=5x，由△PAC∽△PCB得，=，∴PA=5，又PC2PAPB，即102=555x，

PCCB2

1

解得：x=3，∴AD=3，CD=6，DB=12，∴SCDDB36.

BCD2

6.⑴略.⑵连接FB，证明PF=PE，∠BFA=∠AFC.

7.⑴能.连接BC，作∠ACE=∠B，CE交AB于E.⑵PB与⊙O相切.⑶C是PE的中点.

PCPOPO

8.连接OA、OB、OC，则PA2PDPOPBPC，于是，B、C、O、D四点共圆，有△PCD∽△POB，则=

CDOBOC

POPBPBPC

①，又由POC∽△PBD得②，由①②得.

OCBDBDCD

9

9.⑴略⑵A（4,3），OA=5.⑶P（3，）.

4