2024-2025学年北京市朝阳区高三下册3月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年北京市朝阳区高三下学期3月月考数学检测试题本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据补集的概念及交集的运算可得结果.【详解】∵，∴，∵，∴.故选：D.2.已知复数z满足＝i，则z的虚部为（）A.4i B.4 C.1 D.﹣1【正确答案】B【分析】对＝i去分母化简求出复数z，从而可得其虚部【详解】解：由复数＝i，得，所以复数z的虚部为4故选：B此题考查复数的运算，考查复数的有关概念，属于基础题.3.已知向量若，则（）A. B.1 C. D.4【正确答案】C【分析】根据即可得出，解出即可.【详解】，∴∴.故选：C.4.已知且满足，则下列关系式恒成立的是（）.A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用不等式的性质，以及对数函数的性质、幂函数的性质、正弦函数的图象性质求解.【详解】对A，取，则，A错误；对B，取，则，即，B错误；对C，取，满足，但，C错误；对D，因为幂函数在定义域上单调递增，且，所以，D正确；故选：D.5.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则（）A. B.1 C.2 D.6【正确答案】A【分析】根据等比数列的定义结合前n项和可得，再结合等比中项可得，即可得结果.【详解】因为数列为正项等比数列，即，可得首项，公比，若，即，可得，则，即，且，即，可得，即，所以.故选：A.6.已知角是的内角，则“”是“”的（）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】在三角形内，先利用“大角对大边”由得到，进而利用正弦定理即可进行证明.【详解】在三角形中，成立等价于，由正弦定理：，充分性：若成立，大角对大边，则成立，由上面正弦定理形式得出，满足充分性；必要性：若成立，由上面正弦定理形式得出，大边对大角，则成立，满足必要性；所以“”是“”的充要条件．故选：C7.已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于两点，为的中点，若，则的最大值为（）A. B. C.1 D.【正确答案】A【分析】利用数形结合方法与转换法，从而可求解.【详解】因为，所以设，的方程为：，具体如下图所示：连接，因为，直线与相切，所以，，连接，因为为的中点，所以，设，，则；当点和点在轴同侧时可得：，又因为，所以，当时有最大值，所以：的最大值为：；当点和点在轴异侧时可得：，又因为，所以，当时有最大值，所以：的最大值为.综上可知：则的最大值为.故选：A.8.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（）A. B.1 C.3 D.2【正确答案】B【分析】根据推出，设圆柱底面半径为r，再根据圆柱的侧面展开图推出，利用圆柱的斜截面椭圆及离心率求出r即可.【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得．设圆柱底面半径为r，则，所以，设椭圆长轴长为，短轴长为，因为离心率为，得，则，即，所以，得，又由勾股定理得，解得，故．故选：B.9.已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（）A B.C. D.【正确答案】C【分析】转化为的图象与函数的图象只有一个交点，同一坐标系内作出两函数图象，求出函数切线得到极端情况，数形结合得到答案.【详解】因为函数仅有一个零点，所以函数的图象与函数的图象只有一个交点.函数恒过定点，，同一坐标系内作出两函数图象，如图所示，两个函数图象已经有一个交点.时，，其导函数，当直线与函数在处相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.时，，其导函数，当直线与函数在处相切时，只有一个交点，此时，解得，则当时，有两个交点.综上，要使函数仅有一个零点，则实数的取值范围是.故选：C.10.设集合最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（）A.15 B.16 C.17 D.18【正确答案】B【分析】根据题设描述只需保证各集合中（）尽量小，结合已知及集合的性质有最大时，进而分析的取值.【详解】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，要使最大，则各集合中（）尽量小，可知集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续，不妨设，可得，可得，解得：或（舍去），所以的最大值为16.故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若二项式展开式中的常数项为160，则______．【正确答案】2【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出.【详解】由题二项式展开式的通项公式为：，所以当时的项为常数项，解得.故2.12.设，分别是双曲线的左，右焦点．则双曲线的渐近线为________，若点在双曲线上，且，则________．【正确答案】①.②.【分析】根据方程可求，进而可得渐近线方程，根据向量加法结合垂直关系分析求.【详解】由双曲线方程可知：，且焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线为；因为，即，所以.故；.13.在正四棱锥中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱锥的体积是_______．【正确答案】32【分析】根据正四棱锥的结构特征结合线面夹角可得，，进而可求体积.【详解】设，连接，可知平面，则侧棱与底面所成角大小为，由题意可得：，即，解得，则，所以该正四棱锥的体积.故32.14.如图，是边长为1的正三角形．曲线，，是分别以，，为圆心，，，为半径画的圆弧，称曲线为螺旋线旋转一圈，然后又以为圆心，为半径画弧，…，如此下去，可以得到一个优美的螺旋线.那么曲线的长度为________，画到第八圈，得到的螺旋线的总长度为________．【正确答案】①.②.【分析】根据题意结合扇形弧长公式求曲线的长度，分析可知第n个的圆弧的半径为，圆弧长为，结合等差数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：，所以曲线的长度为，又因为圆弧的半径依次为，圆心角均为，即第n个的圆弧的半径为，圆弧长为，所以第八圈得到的螺旋线的总长度为.故；.15.已知曲线．给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②曲线恰好经过6个整点（即横，纵坐标均为整数的点）；③曲线上任意一点到原点的距离都不超过；④曲线所围成的区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是________．【正确答案】①②③【分析】对于①：根据方程研究对称性即可；对于②：由基本不等式可得，进而可知，结合对称性找出整点；对于③：根据分析判断即可；对于④：根据整点分析可知：曲线位于x轴上方部分的面积大于梯形的面积，再结合对称性分析判断.【详解】对于①：将方程中的y换成，可得，即，方程不变，所以曲线关于轴对称，故①正确；对于②：由于曲线，根据对称性可令，则，解得，当且仅当时，等号成立，可知，当时，；当时，；当时，；所以曲线恰好经过6个整点，故②正确；对于③：因为，即，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故③正确；对于④：由②可知：曲线过点，可知梯形的面积为，若，可得，即，当时，假设，则，不满足方程，可知当时，；当时，可得，因为，即，可得，整理可得，据此结合图象可知：曲线位于x轴上方部分的面积大于梯形的面积，结合对称性可知曲线C所围成的区域的面积大于3，故④错误；故①②③.三、解答题共6小题，共85分.16.在△ABC中，已知（1）求角A；（2）若求的面积．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，再根据余弦定理求出角；（2）已知、和角，先根据余弦定理求出的值，再利用三角形面积公式求出面积.【小问1详解】根据正弦定理将边角互化，得到.化简可得，即.再根据余弦定理，因为，所以.【小问2详解】已知，，，根据余弦定理，可得.即，整理得.解得或（边长不能为负舍去）.最后根据三角形面积公式，可得.17.无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表：测试结果真实路况传感器1传感器2传感器3有障碍无障碍无法识别有障碍无障碍无法识别有障碍无障碍无法识别无障碍415111548120有障碍4010104551045105假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．（1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率；（2）从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望；（3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明）【正确答案】（1）（2）分布列见解析，（3）答案见解析【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，随机变量的取值集合为，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；（3）计算出三个传感器判断无障碍的概率，比较大小后可得出结论.【小问1详解】80个路段中，传感器1判断正确的路段有个．设“传感器1对该路况判断正确”为事件，则.【小问2详解】80个路段中共有60个有障碍的路段．60个有障碍的路段中，传感器1判断正确的路段有40个，错误的有个，传感器2判断正确的路段有45个，判断错误的路段有个的取值集合为．，，，故的分布列为随机变量的数学期望【小问3详解】可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于．分析：共有20个无障碍地路段，传感器1判断无障碍的有15个，由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器1判断无障碍的概率为．传感2判断无障碍的有15个，由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器2判断无障碍的概率为．若传感器3在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为1．小汽车在无障碍的道路上减速的概率：．故可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于．18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，为上一点，且满足．（1）设平面平面，求证：；（2）若已知点到平面的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知．求直线与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；【正确答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）可证∥平面，结合线面平行的性质定理证明线线平行；（2）若选①：根据面面垂直的性质定理可证平面，建系标点，利用空间向量求线面夹角；若选②：根据线面垂直的判定定理可证平面，建系标点，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为四边形为菱形，则∥，且平面，平面，可知∥平面，又因为平面平面，平面，所以∥.【小问2详解】设，连接，可知为的中点，由可得.若选①：因为平面平面，平面平面，平面，可得平面，可知，又因为四边形为菱形，则，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，又因为为中点，，则，，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；若选②：因为，可得，且，平面，可得平面，可知，又因为四边形为菱形，则，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，又因为为中点，，则，，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.已知椭圆，且过，两点．（1）求的方程；（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点与点关于点对称．证明：直线恒过点．【正确答案】（1）（2）证明见详解【分析】（1）设椭圆的标准方程为，由已知条件求出的值，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，可得出椭圆的标准方程，求出的值，即可求出该椭圆的离心率；（2）分析可知，直线的斜率存在，先利用特殊位置猜想出直线过轴上的一个定点，设直线的方程为，、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，可求出点的坐标，由已知条件求出点的坐标，求出直线的方程，然后令，可求出直线所过定点的坐标.【小问1详解】设椭圆的标准方程为，由题意，代入点得，，解得，所以椭圆E的标准方程.【小问2详解】若直线的斜率不存在，此时直线与椭圆相切，不合乎题意，所以，直线斜率存在.当的斜率为时，的方程为，此时、，直线的斜率为，则直线的方程为，令得，由题意可得：，此时直线的方程为过点，当过椭圆的右顶点时，直线的方程为，此时、，直线的方程为，令得，由题意可得，，此时直线的方程，故直线过轴上一个定点.设直线的方程为，、，与椭圆方程联立得：，，可得，由韦达定理可得，，在直线的方程为中，令得，由题意可得得，，，直线的方程为，令，可得，所以直线过定点.20.设函数，其中．函数是函数的导函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，函数有且仅有一个零点，且；（3）若，讨论函数的零点个数（直接写出结论）．【正确答案】（1）.（2）证明见解析.（3）①当时，有1个零点；②当时，有2个零点.【分析】（1）运用导数几何意义求切线的斜率，进而求得切线方程.（2）令，令，研究的单调性及运用零点存在性定理即可证明.（3）分类讨论与时，运用导数的符号来研究原函数的单调性及图象即可求得结果.【小问1详解】当时，，则，，所以，所以，即：，所以在点处的切线方程为.【小问2详解】证明：∵的定义域为，，，则（），令（），则，又∵，，∴，∴在上单调递减，又∵，，，∴，，即：，∴，，∴在上有唯一零点，且，即：有且仅有一个零点，且.【小问3详解】①当时，的定义域为，则，∴由零点存在性定理知，在上单调递增，又∵，，∴在上有唯一零点.②当时，由（2）知，在上单调递减，且有且仅有一个零点，，∴，即：，∴，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，又∵，，令（），则，∴在上单调递减，又∵，∴，即：，∴由零点存在性定理知，在上有2个零点.综述：①当时，有1个零点；②当时，有2个零点.21.已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求证：；（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰