回顾与思考（四）三角形

小结与复习

第四章三角形考点精讲当堂练习课堂小结要点梳理目录要点梳理教学目标教学重点一.三角形的有关性质1.由不在同一直线上的三条线段首尾_________所组成的图形叫作三角形.以点A，B，C为顶点的三角形记为______，读作“三角形ABC”.顺次相接△ABC2.三角形三个内角的和等于______.180°要点梳理锐角三角形直角三角形钝角三角形按角分按边分不等边三角形等腰三角形5.三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边.三角形的任意两边之差小于第三边.3.

三角形的分类4.直角三角形的两个锐角互余.6.三角形的三条中线交于一点.这点称为三角

形的重心.

三角形的三条角平分线交于一点.三角形的三条高所在的直线交于一点.二.全等三角形1.全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等3.三角形的稳定性的依据：SSS2.全等三角形的判定AASSSSSASASA考点精讲典例精讲归纳总结考点一三角形的三边关系

例1

已知两条线段的长分别是3cm、8cm

，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：

由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得8－3<a<8+3,所以5<a<11.又因为第三边长为奇数,所以第三条边长为7cm或9cm.【分析】根据三角形的三边关系满足8－3<a<8+3

解答即可.考点精讲考点二三角形的内角和例2

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°.因为CD是∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACB＝×60°＝30°.因为DE∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝30°，

∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.考点三三角形的角平分线、中线、高例3

如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．解析：因为D是AC的中点，所以AD＝AC，因为S△ABC＝12，所以S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.

因为EC＝2BE，S△ABC＝12，

所以S△ABE＝

S△ABC＝×12＝4.

因为S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)

＝S△ADF－S△BEF，所以S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.2

三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．方法归纳考点四全等三角形的判定与性质例4

如图，AD是△ABC的中线，过点C，B分别作AD的垂线CF，BE.试说明：BE＝CF.要说明BE＝CF，可根据中线及垂线的定义和对顶角的性质来说明△BDE和△CDF全等．导引：因为AD是△ABC的中线，所以BD＝CD.因为CF⊥AD，BE⊥AE，所以∠CFD＝∠BED＝90°.在△BDE和△CDF中，因为所以△BDE≌△CDF(AAS)．所以BE＝CF.解：例5

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,试说明：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG【分析】欲证∠DEC=∠FEC由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE只需要证明△DEG

≌△DCG.ABCDFEG解：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE

≌

△AGC(ASA)，

∴GE=GC.在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG.∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.方法总结已知：线段a，c，∠α

，求作：△ABC，使BC＝a，AB＝

c，∠ABC＝∠α.acαBMDED′E′N(1)作∠MBN＝∠α；作法与示范考点五利用尺规作三角形例6BMD′E′NCA(2)在射线BM上截取BC＝a,在射线BN上截取BA＝c；作法与示范acBMD′E′NCA(3)连接AC，则△ABC为所求作的三角形.作法与示范ab考点六本章中的思想方法方程思想例7

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度数.ABCD))))2413解：设∠1=x°，根据题意，得∠2=x°.

因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x°,∠4=x°.又因为∠3=∠C，所以∠C=2x°.在△ABC中，x+2x+2x=180,解得x=36.所以∠1=36°.

在角的求值问题中，常常利用内角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.方法总结分类讨论思想例8

已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是

．解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.26或22化归思想ABCDO如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习1.已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是

．24【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.2.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B－∠A=∠C-∠B，则∠B=

.

90°3.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是

，∠FBC的度数是

.4.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，那么∠A的度数是

.ABCEFABCDEO20°40°84°5.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF

B.∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,∠A=∠D

D.AB=DE,BC=EF,∠C=∠FD6.

我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.试说明：OE＝OF.因为在△ABD和△CBD中，所以△ABD≌△CBD(SSS)．所以∠ABD