职教高考数学余弦定理讲练结合

中职数学余弦定理[知识整合]基础知识余弦定理：三角形任意一边长的平方等于其它两边长的平方和减去这两边长与它们的夹角的余弦乘积的2倍，即：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.还可以变形为：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).基础训练1．在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(3)，c＝3，则C＝()A．120°B．60°C．45°D．30°2．在△ABC中，若a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4)，则c＝____________．3．在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝9，则△ABC为____________三角形．4．在△ABC中，a2＋b2－c2＋ab＝0，则C＝____________．5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，则c＝____________．[重难点突破]考点1余弦定理在三角形中的运用例1在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝1，cosB＝eq\f(1,3)，则b＝________．【解析】由余弦定理可得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,3)，将a＝3，c＝1代入可得b＝2eq\r(2).【变式训练】在△ABC中，a＝2，b＝2eq\r(2)，c＝2，求cosC的值．例2在△ABC中，a＝5，b＝3，c＝7，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定三角形ABC的形状【解析】因为三角形中大边对大角，因此c边所对的角C最大．由余弦定理，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(25＋9－49,2×5×3)＝－eq\f(1,2)＜0，∴C为钝角(C＝120°)．∴三角形为钝角三角形．故选C.反思提炼：此类题目，只要判断最大角是锐角、直角或钝角，即可确定三角形的形状．本题由求cosC的过程可知，只要判断a2＋b2－c2的符号，就可确定△ABC的形状．当a2＋b2－c2＞0时，C为锐角，因而△ABC为锐角三角形；当a2＋b2－c2＝0时，角C为直角，因而△ABC为直角三角形；当a2＋b2－c2＜0时，角C为钝角，因而△ABC为钝角三角形．【变式训练】在△ABC中，已知三角形三边之比为eq\r(3)∶3∶2eq\r(3)，求三角形中的最小角．例3在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A＋B＝eq\f(π,3).(1)求sinAcosB＋cosAsinB的值；(2)若a＝1，b＝2，求c的值．【解】(1)sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).(2)由于A＋B＝eq\f(π,3)，所以C＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝5＋2＝7，所以c＝±eq\r(7)，根据题意舍去负值，故c＝eq\r(7).【变式训练】在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，cosB＝eq\f(1,3).(1)求边c的值；(2)求cos(A＋C)的值．例4在△ABC中，若a、b、c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求A.【解】∵a、b、c成等比数列．∴b2＝ac.又∵a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc.即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).∴A＝60°.【变式训练】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a＋c)(a－c)＝b2＋eq\r(2)bc，则角A＝________．考点2余弦定理的实际应用例5如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待获救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，命乙船到达B处实施营救工作．(1)求B、C两处间的距离．(2)如果乙船的速度是15eq\r(7)海里/小时，试问经过多长时间乙船能到达营救处？【解】(1)由题意得AC＝20海里，AB＝40海里，A＝120°.由余弦定理BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA＝202＋402－2×20×40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝2800.故BC＝20eq\r(7)海里．(2)由题意得乙船的速度V＝15eq\r(7)海里/小时，BC的距离S＝20eq\r(7)海里．∴时间t＝eq\f(S,V)＝eq\f(20\r(7),15\r(7))＝eq\f(4,3)(小时)＝80(分钟)答：BC之间的距离为20eq\r(7)海里；经过80分钟乙船能到达营救处．反思提炼：余弦定理适合的是已知两边及其夹角的三角形，或者是已知三边的三角形，在解题时要理解好已知条件的关系．【变式训练】海军某快艇在A处测得一走私艇在北偏东45°，距离为10海里的B处．正沿着东偏南15°的方向以每小时9海里的速度逃跑，该快艇立即以每小时21海里的速度沿直线前去追捕，快艇需用多久才能追上走私艇？[课堂训练]1．在△ABC中，已知a＝1，b＝1，c＝eq\r(3)，则C＝()A．120°B．30°C．45°D．60°2．在△ABC中，如果a2－b2＝c(b＋c)，则A＝()A．60°B．30°C．120°D．150°3．三边边长分别为eq\r(3)、eq\r(5)、eq\r(7)的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝1，则AC＝()A.eq\r(3)B．2C．3D．3eq\r(3)5．在△ABC中，已知b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc，则A＝____________．6．在△ABC中，如果b＝6，c＝7，A＝60°，则cosB＝____________．7．在△ABC中，已知a＝8，b＝5，c＝7，求cos(A－B)．8．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，cosC＝－eq\f(1,4).(1)求△ABC的周长；(2)sin(A＋C)的值．9．有两艘船同时从一个港口出发，甲船以每小时24海里的速度向北偏东60°方向航行，乙船以每小时20海里的速度向南偏西30°方向航行，求2小时后，两船相距多少海里？中职数学余弦定理知识整合基础训练1．A【解析】在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(3＋3－9,2×\r(3)×\r(3))＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°，故答案选A.2．2【解析】根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×eq\f(1,4)＝4，解得c＝2.3．钝角【解析】cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(25＋36－81,2×5×6)＝－eq\f(20,60)＝－eq\f(1,3)，∴C为钝角，△ABC为钝角三角形．4．120°【解析】∵c2＝a2＋b2＋ab，∴－2cosC＝1，∴cosC＝－eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，∴C＝120°.5．4【解析】在△ABC中，因为3sinA＝2sinB，由正弦定理可知3a＝2b，a＝2，所以b＝3.由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×(－eq\f(1,4))＝16.所以c＝4.重难点突破【例1】【变式训练】cosC＝eq\f(\r(2),2)【例2】【变式训练】【解】若a∶b∶c＝eq\r(3)∶3∶2eq\r(3)，设a＝eq\r(3)t，b＝3t，c＝2eq\r(3)t，则最小边是a，故最小角是A，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9t2＋12t2－3t2,2×3t×2\r(3)t)＝eq\f(\r(3),2)，A＝30°.【例3】【变式训练】【解】(1)在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，3c2－4c－15＝0，∵c>0，∴c＝3.(2)在△ABC中，cos(A＋C)＝cos(π－B)＝－cosB＝－eq\f(1,3).【例4】【变式训练】135°【解析】∵(a＋c)(a－c)＝b2＋eq\r(2)bc，即a2＝b2＋c2＋eq\r(2)bc，即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(\r(2),2)，∵0°<A<180°，∴A＝135°.【例5】【变式训练】【解】如图所示，设快艇x小时后才能追上走私艇．在三角形ABC中，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°，由余弦定理得(21x)2＝102＋(9x)2－2·10·9x·cos120°，整理得36x2－9x－10＝0得x＝eq\f(2,3)或x＝－eq\f(5,12)(舍去)，eq\f(2,3)×60＝40(分钟)，即快艇需用40分钟才能追上走私艇．课堂训练1．A【解析】cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1＋1－3,2)＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°.2．C【解析】∵a2－b2＝bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.3．A4．A【解析】AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3，AC＝eq\r(3).5．30°【解析】由余弦定理可得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，∴A＝30°.6.eq\f(4\r(43),43)【解析】a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋49－2×6×7×eq\f(1,2)＝43，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(4\r(43),43).7．【解】∵a＝8，b＝5，c＝7，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,7)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(11,14)，∵0<B<A<π，∴sinA＝eq\f(4\r(3),7)，sinB＝eq\f(5\r(3),14)，∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(1,7)×eq\f(11,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(5\r(3),14)＝eq\f(71,98).8．【解】(1)c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋22－2×1×2×(－eq\f(1,4))＝6，∴c＝eq\r(6)，∴C△ABC＝1＋2＋eq\r(6)＝3＋eq\r(6).(2)∵cosC＝－eq\f(1,4)，0°<C<180°，∴sinC＝eq\f(\r(15),4)，∵eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，∴eq\f(\r(6),\f(\r(15),4))＝eq\f(2,sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(10),4).∵A＋B＋C＝1