九年级数学下册29投影与视图教案新人教版

第二十九章投影与视图

以丰富的实例为背景认识投影与视图的基本概念和基本性质

会在投影面上画出平行投影、中心投影及简单的平面图形的正投影

理解视图的概念探索三视图中三个视图间的位置关系和大小关系

会画简单几何体及简单组合体的三视图

学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型

通过制作立体模型的课题学习进一步加强对投影与视图的认识

通过联系生活实际初步感受平行投影、中心投影及正投影体会数学与生活之间的

密切联系提高学生的数学应用意识

通过具体的活动培养学生动手实践能力和数学思考能力发展学生的空间观念

通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动使学生体会到三视图中各部分之间位置

及大小的对应关系积累数学活动的经验

通过观察、探究等活动使学生能根据物体的三视图还原出物体的形状进一步认识物

体与其三视图之间的关系

通过学习和实践活动激发学生对投影与视图学习的好奇心加强动手动脑、理论结

合实际的能力

使学生学会关注生活中有关投影与视图的数学问题体会数学与生活实际密不可分

提高数学的应用意识激发学生学习数学的兴趣

学生通过观察、思考、分析、探究得出结论培养学生的观察能力、实践能力及归纳

总结能力

通过自主学习与合作交流的学习方式提高动手操作能力、分析问题及解决问题的能

力培养学生的合作精神

通过探究物体的三视图学会多角度看问题品尝成功的喜悦激发学生学习数学的热

情增强学好数学的信心

在探究三视图向立体图形转化的过程中使学生感受数学的和谐美培养学生动手实

践能力发展空间想象能力

本章的主要内容有平行投影、中心投影和简单物体的三视图投影是生活中常见的现象

而三视图又是特殊投影的产物投影与三视图的知识在日常生活和牛.产中有广泛的应用

是培养学生空间观念的有效平台空间观念的形成是一个长期的过程而使学生具有良好

的空间观念是义务教育阶段数学教育的一个重要目标本章内容在数学学习中起着承上启

卜.的作用学生前边学习过”图形的初步知识”“图形和变换”等几何知识在此基础上

本章继续研究“投影与视图”它是反映空间观念的重要内容也为高中学习立体几何做

了铺垫

教材以生活实例出发引出投影的概念观察分析不同的投影得到平行投影和中心投影

的区别与联系然后以探究正方形的影子为例得到平行投影中正投影的概念而物体三个

方向上的正投影就是该物体的三视图教材最后探究“由物到图”和“由图到物”两方

面结合起来就从不同角度反映了平面图形与立体图形是如何联系的本章的知识内容不

太多编写本章最主要的E的不是介绍投影与视图的知识而是通过学习本章切实发展学

生的空间想象能力

【重点】

通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用

会画基本几何体及简单组合体的三视图

能根据三视图描述基本几何体或实物的原型

【难点】

了解基本几何体与其三视图、展开图之间的联系通过典型实例知道这种关系在现实生

活中的应用

教学中应重视借助直观模型或动画演示帮助学生克服立体几何知识不足的困难在本

章的教学中不可避免地要涉及立体几何中的一些基础知识但是学生此前缺乏对这些知

识的系统学习只是•有一些感性认识解决这个问题比较好的做法是诜择一些实例或通过

课件展示让学生通过观察、想象由直观认识结合实例了解空间关系降低学习本章内容

的难度提高学生空间想象能力

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的学科数量关系和空间形式是从现实世

界中抽象出来的很明显关于投影和视图的知识是从实际需要建筑、制造等中产生的

它们与实际问题联系非常紧密在本章之前学生已经数次接触过和几何图形有关的平面

图形知识及简单立体图形对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解只是还没有力

确接触过•些基本名词术语对有关基本规律还缺乏归纳总结所以在本章的学习中以生

活实例为载体通过观察学生熟悉的生活实例抽象出有关概念和性质实际教学要比教科

书有更大的灵活性教学中要动态地展示模型直接面对学生授业解惑应充分发挥这些优

势因此建议教学中在上述问题的处理上能注意结合实物模型充分利用直观演示达到

由感性认识到理性认识的提高

投影课时

三视图课时

课题学习制作立体模型课时

单元概括整合课时

投影

通过实践探索了解投影、投影面、平行投影、中心投影及正投影的概念

了解平行投影和中心投影的含义认识两者之间的区别

会在投影面上画出平行投影和中心投影

能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影

通过联系生活实际初步感受平行投影、中心投影及正投影体会数学与生活之间的

密切联系提高学生的数学应用意识

通过具体的活动培养学生动手实践能力和数学思考能力发展学生的空间观念

通过学习和实践活动激发学生对投影学习的好奇心体会数学与现实生活的联系

通过感受生活中的投影现象体会数学与实际生活的密切联系激发学生学习数学的

兴趣

通过实物演示和多媒体教学把抽象问题直观化激发学生的求知欲感悟数学知识的

奇妙无穷

学生通过观察、思考、分析、探究得出结论培养学生的观察能力、实践能力及归纳

总结能力

通过探究正投影的性质培养学生动手操作能力、分析问题及解决问题的能力

【重点】

通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用

能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影

【难点】

在投影面上画出平面图形的平行投影、中心投影及正投影

第课时

通过实践探索了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念

了解平行投影和中心投影的含义认识两者之间的区别

会在投影面上画出平行投影和中心投影

通过联系生活实际初步感受平行投影和中心投影体会数学与生活之间的密切联系

认识中心投影和平行投影的区别与联系发展空间想象能力

通过观察.分析、探究得出结论激发学生学习数学的兴趣培养学生观察能力和实

践能力

使学生学会关注生活中有关投影的数学问题提高数学的应用意识增强学好数学的

信心

【重点】

理解平行投影和中心投影的特征

【难点】

在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影

【教师准备】多媒体课件

【学生准备】预习教材

导入一

【师生活动】教师课件展示“鸟巢”“水立方”等建筑图片学生观察欣赏

过渡语你注意过周围物体在日光或灯光下的影子吗影子和物体有着怎样的联系

呢人们从光线照射物体会产生影子得到启发得出了投影的有关知识并用这些知识来绘

制视图在生产实践中制造机器、建筑高楼、设计火箭……无一不和视图密切相关本章

我们将学习投影的有关知识并借助投影认识视图

导入二

你看过皮影戏吗皮影戏又名“灯影子”是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术在关

中地区非常流行皮影戏演出简便表演领域广阔演技细腻活跃于广大农村深受农民的

欢迎

【师生活动】教师课件展示图片学生欣赏图片有条件的可以放映电影《小兵张

嘎》部分片段一一小胖墩和他父亲在日军炮台内为日本人表演皮影戏简单介绍有关皮影

戏的知识导出本节课的课题

导入三

北京故宫中的口唇闻名世界是我国光辉灿烂的文化瑰宝它是我国占代利用口影测定

时刻的仪器它由“群面”与“暮针”组成太阳光照在日科中轴上产生投影展针的影子

就会投向梆血随着时间的推移杼针的影子长度发生变化吞针的影子在存向上慢慢移动

聪明的古人以此来显示时刻

【师生活动】教师展示图片引入新课学生观察思考初步感知投影的概念

设“意用通过欣赏大家熟悉的名建筑导出本章内容让学生体会数学与生活之间的

密切联系激发学习本章的兴趣学生通过观看电影片段或欣赏图片了解中国传统文化

数学课堂上渗透德育教育通过对皮影和日居的介绍让学生初步感知投影的概念为下面

的学习做好铺垫

过渡语影子随处可见你能举出生活中关于物体在光线的照射下形成影子的实例

一、认识概念

思路一

【师生活动】

学生举出物体在光线的照射下形成影子的例子教师点评

教师出示投影图片让学生感受日常生活中的一些投影现象

学生尝试总结什么是投影互相补充最后教师与学生一起归纳总结

课件展示图片

【结论】一般地用光线照射物体在某个平面地面、墙壁等上得到的影子叫做物

体的投影照射光线叫做投影线投影所在的平面叫做投影面

过渡语我们生活中的所有投影是不是都一样呢

【师生活动】

教师展示探照灯发出的光线图片学生观察

学生思考探照灯发出的光线与灯泡发出的光线是否相同太阳光线与哪种光线相同

学生小组合作交流共同归纳小组代表发言教师点评然后归纳有关概念

【结论】有时光线是一组互相平行的射线例如太阳光或探照灯中的光线由平行光

线形成的投影叫做平行投影例如物体在太阳光的照射下形成的影子简称日影就是平

行投影

由同一点点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影例如物体在灯泡发山的光照

射下形成的影子就是中心投影

思路二

【思考】

物体在日光或灯光的照射下会形成影子影子的形成与哪些因素有关

物体本身、照射光线、形成影子的平面

你能举出生活中的一些实例吗

【师生活动】教师展示生活中的图片同思路一学生观察思考后小组合作交流教

师结合学生的结论给出投影的一些概念

【结论】•般地用光线照射物体在某个平面地面、墙壁等上得到的影子叫做物

体的投影照射光线叫做投影线投影所在的平面叫做投影面

【师生活动】教师展示分别用探照灯和灯泡作为光源在教室的墙面上形成三角尺的

影子

【思考】

探照灯的光线与灯泡发出的光线有什么不同

太阳光与哪种光线相同

【师生活动】学生观察思考后小组合作交流教师对学生的回答进行点评归纳概念

【结论】有时光线是一组互相平行的射线例如太阳光或探照灯中的光线由平行光

线形成的投影叫做平行投影例如物休在太阳光的照射下形成的影子简称口影就是平

行投影

由同一点点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影例如物体在灯泡发出的光照

射下形成的影子就是中心投影

设计意图通过观察图片感知数学概念的形成来源于生活通过观察、思考抽象出

有关概念对投影的感性认识上升到理性认识通过理论联系实际不仅使学生加深了对概

念的理解而且突出了数学与现实的联系激发了学生的求知欲望

二、共同探究

过渡语通过观察我们知道有两种不同的投影一一平行投影和中心投影下面我们

【思考】

如图所示的是同一时刻的两棵树及其影子请你在图中画出形成树影的光线并

判断它是太阳光线还是灯光的光线若是灯光的光线请f角定光源的位置

请判断如图所示的两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的并画

出同一时刻旗杆的影子用线段表示

⑴(2)

通过上边的练习请观察平行投影和中心投影它们有什么相同点与不同点

【师生活动】学生独立思考后小组合作交流动手操作后交流答案教师进行点评

共同归纳

【课件展示】

【课件展示】平行投影与中心投影的区别与联系

区别联系

平行投影平行的投影线都是物体在光线的照射下在某个平面内

中心投影从一点发出的投影线形成的影子（即都是投影）

设计意图通过解决设计的练习，学生经历观察、思考、操作、交流、归纳等数学活

动，得出平行投影和中心投影的区别与联系，不仅加深了对平行投影和中心投影的概念的

理解和掌握，同时提高了学生的应用意识和能力，让学生获得了成功的体验

三、例题讲解

（1）地面上直立一根标杆，如图⑴所示，杆长为

①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是什么图形

②当阳光与地面的倾斜角为60°时，标杆在地面上的投影是什么图形并画出投影示意

图

（一个正方形纸板和投影面平行（如图（所示），投影线和投影面垂直，点在投

影面上的对应点为，请画出正方形纸板的投影示意图

教师引导分析：

（D当阳光垂直照射地面时，点的影子落在什么地方

（当阳光与地面的倾斜角为60°时，点的影子落在什么地方

（在直角三角形中，己知一锐角和一直角边，怎样求出三角形的另一直角边

（当投影线与投影面垂直时，如何画出顶点，…的投影

【师生活动】学生独立思考，动手操作完成画图及求解，小组代表展示成果，教师点评

解：⑴①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是一个点因为标杆与地面垂直，

阳光垂直照射地面时与标杆平行，使得影子与点重合

②当阳光与地面的倾斜角为60°时，如图（所示,

在△中，N40。，二

VtanZ=,/.=

・•・标杆在地面上的投影是长为的线段，如图所示的

因为纸板与投影面平行，投影线和投影面垂直，所以分别过点，，作投影面的垂线,

垂足分别为，，，顺次连接，，，即可如图所示的为所画的投影

设计意图通过例题的教学进一步加深对投影的理解和掌握，在巩固所学的知识的同

时.，为下节课的正投影做铺垫，通过分析、思考、交流、解答等数学活动，培养学生分析问

题、解决问题的能力

知识拓展光线移动时，物体影子的大小、方向也随着变化，物体的形状与影子的

形状有密切的联系

光是沿直线传播的，因此我们可以由投影与物体确定光线方向

平行投影的应用：①根据阳光下影子的大小、位置的变化判断时刻的不同；②已知一

个物体及其在阳光卜•的影子，可作出同一时刻另一个物体在阳光卜的影子；③根据物高和

影长的关系可以求物高或影长

中心投影的应用：①根据点光源下两种或两种以上物体及影子的情况判断点光源的

位置；②已知点光源的位置，可以画物体在点光源下的影子

一般地，用光线照射物体，在某个平面地面、墙壁等上得到的影子叫做物体的投影

有时光线是•组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯中的光线由平行光线形成的

投影叫做平行投影

由同一点点光源发好的光线形成的投影叫做中心投影

平行投影中的光线是

平行的聚成一点的

不平行的向四面八方发散的

解析：平行投影中的光线是平行的故选

下列投影中属于中心投影的是

阳光下跑动的运动员的影子

阳光下木杆的影子

阳光下汽车的影子

路灯卜.行人的影子

解析：中心投影的光源为点光源，平行投影的光源为阳光、探照灯光等平行光，在各选项

中只有选项中的投影为中心投影故选

下图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序

是_________

解析：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知影子由长变短再变长故填

④③®®

*‘录’[

下列影子：①阳光下遮阳伞的影子；②灯光下小明读书的影子；③阳光下大树的影

子：④阳光下农民锄地的影子；⑤路灯下木杆的影子其中属于平行投影的是，属

于中心投影的息________

解析：①阳光下遮阳伞的影子、③阳光下大树的影子、④阳光下农民锄地的影子都是太

阳光线形成的影子，故属于平行投影：②灯光下小明读书的影子及⑤路灯卜木杆的影子都

是灯光形成的影子故属于平行投影的是①③④，属于中心投影的为②⑤

答案：①©④②@

某一广告牌旁有两根直立的木杆和，某一时刻在太阳光下，木杆的影子刚

好不落在广告牌上

raw

在图中画出此时的太阳光线及木杆的影子

若米米到的距离的长为米求此时木杆的影长

解如下图所示

设木杆的影长为米

由题意得解得

答此时木杆的影长是米

第课时

认识概念

平行投影

中心投影

共同探究

例题讲解

例题

一、教材作业

【必做题】

教材第页习题第题

【选做题】

教材第页习题第题

二、课后作业

【基础巩固】

下面说法正确的是

所有的光线都是平行的

太阳光线是平行的

同一组物体的平行投影与中心投影是相同的

以上说法都不对

在同一时刻两根长度不等的竹竿置于阳光之下但它们的影长相等那么这两根竹竿的

相对位置是

两根都垂直于地面两根平行斜插在地上

两根竹竿不平行i根倒在地上

下列投影不是中心投影的是

如图所示晚上小亮在路灯下散步在小亮由处走到处这一过程中他在地上的影子

逐渐变短

逐渐变长

先变短后变长

先变长后变短

n

下列结论正确的有

①同一时刻物体在阳光照射下影子的方向是相同的；②物体在任何光线照射下影子的方向

都是相同的；③物体在路灯照射下影子的方向与路灯的位置有关；④物体在光线照射下

影子的长短仅与物体的长短有关

个个

个个

如图所示小华为了测量所住楼房的高度他请来同学帮忙测得同一时刻他自己的影长

和楼房的影长分别是米和米已知小华的身高为米那么他所住楼房的高度为

米

□

u

o

n

o

Q

0

如图所示光源在横杆的正上方在灯光下的影子为//

点到的距离是则与之间的距离是

如图所示赵亮同学想利用影长测晨学校旗杆的高度他在某一时刻百立米长的标杆

测得其影长为米同时旗杆的影子一部分在地面上另一部分在某i建筑的墙上分别

测得其长度分别为米和米则学校旗杆的高度为米

如图所示和是直立在地面上的两根立柱某一时刻在阳光卜的投影

请在图中画出此时在阳光下的投影:

在测量的投影时同时测量出在阳光下的投影长为请你计算的长

如图所示小华、小军、小丽同时站在路灯下其中小军和小丽的影子分别是

请你在图中画出路灯灯泡所在的位置用点表示

画出小华此时在路灯下的影子用线段表示

【能力提升】

三角尺在灯泡的照射下在墙上形成影子如图所示现测得这

个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比值是

如图所示小明在时测得某树的影长为时又测得该树的影长为若两次日

照的光线互相垂直则树的高度为

洋”时/

如图所示光源距地面米距正方形顶端米已知在光源照射下正方形

在左侧的影子长米求正方形在右侧的影子的长

【拓展探究】

如图所示王琳同学在晚上由路灯走向路灯当他行到处时发现他在路灯下的

影长为米且恰好位于路灯的正下方接着他又走了米到处此时他在路灯下

的影子恰好位于路灯的正下方已知王琳身高米路灯高米

标出王琳站在处在路灯下的影子：

计算王琳站在处在路灯下的影长；

计算路灯的高度

【答案与解析】

解析：只有平行投影的光线是平行的而中心投影的光线是不平行的故错误；太阳

光线是平行的正确；根据平行投影及中心投影的定义及特点知同一组物体的平行投影与

中心投影是不相同的故错误；因为选项正确所以选项错误故选

解析：在同一时刻两根长度不等的竹竿置于阳光之下但它们的影长相等那么这两

根竹竿不平行故选

解析：分别连接头顶和影子的端点中的两条光线交于一点是中心投影中的

两条光线平行是平行投影故选

解析：因为小亮由处走到处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程所以他

在地上的影子先变短后变长故选

解析•：①由于太阳光线是平行光线所以同i时刻物体在阳光照射下影子的方向是相

同的故正确；②物体在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关故错误；③物体在路

灯照射下影子的方向与路灯的位置有关故正确；④物体在点光源的照射下影子的长短

与物体的长短和光源的位置有关故错误所以正确的有个故选

解析：如图所示易证△则有解得米

D

□

□

O

O

Q

Q

7解析：•・•//,・•・:二点到的距离：点到的距

恩・・・2:6二点到的距离：27，，点到的距高为09则与之间的距离

为2709二（数填）

0解析；如图所示，作±于点，根据题意得一，即-，解得一米，则

==2=X即旗杆的高度为0米故填0）

9解：（如图所示，连接，过点作〃，交直线于点，线段即为的投影

（2）V//,・•・/=ZVZ=Z=90°,・•・△nA,/.=,?.=,.*.=0

D

0解.：如图所示（点为所求的点（2）为小华此时在路灯下的影子

I*

■

（解析：由题意知三角又与其影子相似，它们周长的比就等于相似比，因为==，所以三角

尺的周长与它在堵上形成的影子的周长的比值是故填）

解析如图所示，过点作±，由题意得△是直角三角形，且N=90°,又

N=N二90：N=/N=90°,・•・/=/,.・.&△^RtA

则有二，即=•，代入数据可得=则=故填

容“I

解由题意知四边形是正方形，且!,・•・〃，二二,四边形与四

边形是矩形，，△s*，，=，解得=,/.二,同理，=，解得=・,•正方形在

右侧的影子的长为米

解线段为王琳站在处在路灯下的影子由题意得以△^RtA

，・二=，二=，解得=即影长为,由题意得RiA^RtA,「・=,，=,

解得=答路灯的高度为米

本节课由鸟巢、水立方等建筑实物图片引出教学内容，激发学生学习本节课内容的兴趣,

学生欣赏皮影和H屏了解中国文化的同时，导出本节课的课题，让学生体会数学与生活之

间的联系，激发学生学习本节课的欲望结合生活中的影子图片，感知投影的概念，并观察

不同的投影之间的区别与联系，归纳出平行投影和中心投影的概念师生通过解决实际问

题，画出图形，共同探究平行投影与中心投影的区别和联系，学生在教师的引导下，通过观

察、思考、交流等数学活动，加深对有关投影概念的理解和掌握的同时，培养了归纳总结

能力，并为下节课做好铺垫，学生在课堂上思维活跃，人人学有价值的数学

本节课的主要内容是投影的有关概念，通过联系生活实际，观察、思考、交流、归纳等

数学活动，感知投影、平行投影与中心投影的概念，课堂上学生气氛活跃，回答问题积极,

但是由实际问题抽象出数学概念使学生难于理解和掌握没有给学生更多的时间交流在

以后的教学中应多举一些实例让学生通过思考、交流更深入地理解和掌握数学概念

本节课的重点是理解和掌握投影的有关概念以建筑实例引出本节内容激发学生学习

兴趣再以和影子有关的生活实例导出本节课课题让学生体会数学与生活息息相关激发

学牛的好奇心和求知欲从学牛举出的与影子有关的牛活实例中抽象出投影的概念再从

观察不同的投影过程中拍象出平行投影和中心投影的概念并归纳两者的区别和联系培

养学生的观察能力和实践能力最后师生共同探究有关的例题加深对概念的理解和掌握

提高学生的分析问题和解决问题的能力

练习教材第页

解如图所示

数学是以数量关系和空间形式为研究对象的学科数量关系和空间形式都是从现实世

界中抽象出来的投影是从实际需要建筑、制造等中产生的它们与实际生活紧密相连

教科书从学生熟悉的生活经验出发引出投影的概念让学生体会数学与生活的联系激发

学生的学习兴趣

教科书以物体在阳光下的影子引出平行投影的概念中心投影的特征是投影线是由一

点发出的也就是说投影线是具有公共端点的射线而平行投影的特征是由光源发出的光

线是平行的

如图所示王华晚上由路灯下的处走到处时测得影子的长为米继续往

前走米到达处时测得影子的长为米已知王华的身高是米那么路灯的

高度是多少

R

•〃

（解析）由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，故构成两组相似根据

对应边成比例列方程解答即可

解由题意知1,±//

设=，则=,

同理，得=,

・•・二,・•・=3,・•・=

答路灯的高度是米

第课时

了解正投影的概念

能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影

通过动手操作画图形的正投影，培养学生动手实践能力，发展空间想象能力

通过探究生活中有关正投影的数学问题，体会数学与实际生活的紧密联系，提高学生

的数学应用意识

感受日常生活中的一些投影现象，体会数学与生活实际密不可分，激发学生学习数学

的兴趣

通过观察、思考、分析、探究得出结论培养学生的观察能力、实践能力及归纳总结

能力

通过探究正投影的性质培养学生动手操作能力、分析问题及解决问题的能力

通过实物演示和多媒体教学把抽象问题直观化激发学生的求知欲

【重点】

正投影的含义

能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影

【难点】

归纳正投影的性质正确画出简单平面图形的正投影

【教师准备】多媒体课件

【学生准备】预习教材

导入一

【复习提问】

什么叫投影、投影线、投影面、平行投影、中心投影

平行投影与中心投影有什么区别和联系

你能举出一些投影的生活实例吗

阳光可能与物体垂直吗如果阳光垂直照在线段上会得到什么图形

【师生活动】学生思考后回答问题第问让学生小组内交流回答教师点评导入

新课

导入二

【课件展示】下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影其中哪个是平行投影

哪个是中心投影

如图所示的投影线与投影面的位置关系有什么区别

【师生活动】学生思考后小组内交流学生回答后教师点评导出新课

解图中的投影线集中十一点形成中心投影图中投影线互相平行形成平

行投影

图中投影线斜着照射到投影面图中投影线垂直照射到投影面

设计意图通过复习投影的有关概念和学生的观察、分析、交流使学生体会将实际

问题抽象成几何图形的过程有助于分析问题的本质为引出正投影的概念做好铺垫

过渡语由刚才的讨论我们知道在平行投影中可能出现投影线与投影面垂直这

种特殊的投影这就是我们这节课要学习的正投影

一、认识概念

【课件展示】投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影

【思考】

平行投影一定是正投影吗正投影一定是平行投影吗

平行投影不一定是正投影正投影一定是平行投影

正投影与物体的放置有关吗

正投影是光线与投影面之间的关系与物体的放置无关

【师生活动】学生独立思考后小组交流得出答案教师对学生的答案进行点评

设计意图经过课前导入的观察、分析、比较的过程抽象出正投影的概念学生通

过思考教师提出的问题加深对正投影概念的理解

二、探究性质

探究一线段在平面上的正投影

思路一

【课件展示】如图所示把一根直的细铁丝记为线段放在三个不同位置

铁丝平行于投影面

铁丝倾斜于投影面

铁丝垂直于投影面铁丝不一定要与投影面有公共点

【思考】三种情形下铁丝的正投影各是什么形状大小有什么关系

【解析】通过观察我们可以发现

当线段平行于投影面时它的正投影是线段线段与它的投影的大小关系为

当线段倾斜于投影面时它的正投影是线段线段与它的投影的大小关系为

当线段垂直于投影面时它的正投影是

【师生活动】教师诔件展示问题学生观察思考后小组合作交流得出答案小组代表

展示成果教师点评共同归纳结论

【课件展示】线段平行于投影面时的正投影是线段线段长等于正投影的长

线段倾斜于投影面时的正投影是线段线段长大于正投影的长

线段垂直于投影面时的正投影是一个点

思路二

过渡语由课前讨论我们知道线段相对于平面有三种位置关系你能分别画出它

们在平面上的正投影吗

【动手操作】画出线段在平面上的正投影

【观察思考】线段在平面上的正投影的形状是什么与线段之间的大小关系如何

【师生活动】学生动手画图教师提醒学生注意分类讨论学生画完后小组合作交流

答案教师课件展示答案学生根据所画图形小组讨论线段的正投影的形状及大小关系

【课件展示】线段平行于投影面时的正投影是线段线段长等于正投影的长

线段倾斜于投影面时的正投影是线段线段长大于正投影的长

线段垂直于投影面时的正投影是一个点

设计意图通过观察思考、小组合作交流或通过动手操作、合作交流探究线段在

平面上的正投影的形状和大小并归纳总结线段的正投影的规律提高学生观察、思考能

力培养归纳总结能力

探究二正方形纸板在平面上的正投影

【课件展示】如图所示把一块正方形硬纸板记为正方形放在三个不同位置

纸板平行于投影面

纸板倾斜于投影面

纸板垂直于投影面

【思考】三种情形下纸板的正投影各是什么形状大小有什么关系

【解析】通过观察我们可以发现

当纸板平行于投影面时的正投影与的形状、大小

当纸板倾斜于投影面时的正投影与的形状,大小

当纸板垂直于投影面时的正投影成为

【师生活动】教师课件展示问题学生观察思考后小组合作交流得出答案对学生的

答案教师进行点评师生共同归纳结论

【课件展示】当纸板平行于投影面时的正投影与的形状、大小一样

当纸板倾斜于投影面时的正投影与的形状、大小不完全一样

当纸板垂直于投影面时的正投影成为一条线段

探究三正投影的性质

【思考】根据以上探究当物体的某个面平行于投影面时这个面的正投影与这个面

有怎样的关系

【师生活动】学生独立思考大胆猜想然后小组合作交流共同归纳性质教师对学

生的回答进行点评并课件展示结论

【课件展示】正投影的性质当物体的某个面平行于投影面时这个面的正投影与这

个面的形状、大小完全相司

设计意图学生通过观察、探究、体验和交流归纳总结得出物体正投影的规律达

•步培养学生抽象概括能力发展学生的空间观念由线段到正方形的学习过程渗透了从

简单到第杂、由特殊到一般的认知规律发挥了学生的主体作用

三、例题讲解

教材例题画出如图所示摆放的正方体在投影面上的正投影

正方体的一个面平行于投影面如图所示

正方体的一个面倾斜于投影面底面垂直于投影面并且其对角线垂

直于投影面如图所示

教师引导分析

当正方体在如图所示的位置时正方体的一个面及其相对的另一面与投影

面这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小的正方形

正方形的四条边分别是正方体其余四个面这些面垂直于投影面

的因此正方体构正投影星

当正方体在如图所示的位置时它的面和面倾斜于投影面它们的投

影是正方体其余两个侧面的投影也分别是上、下底面的投影分别是

和因此正方体的投影是

解：如图所示正方体的正投影为正方形它与正方体的一个面是全等关

系

如图所示正方体的正投影为矩形这个矩形的长等于正方体的底面对

角线长矩形的宽等于正方体的棱长矩形上、下两边中点连线是正方体的侧棱及

它所对的另一条侧棱的投影

【归纳】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关

设计意图通过例题训练达到巩固正投影相关知识的目的提高学生观察、归纳和

空间想象能力提高学生的应用意识

知识拓屐当物体的某个面平行于投影面时这个面的正投影与这个面的形状'

大小完全相同

只有在平行投影中才会出现正投影正投影是光线与投影面的关系与物体的放置

无关

人们在实际作图中经常采用正投影正投影有如下性质：①线段在平面上的正投

影线段平行于投影面时的正投影是线段线段长等于正投影的长线段倾斜于投

影面时的正投影是线段线段长大于正投影的长线段垂直于投影面时的正投影是

一个点②长方形硬纸板在平面上的正投影长方形硬纸板平行于投影面

时的正投影与的形状和大小一样长方形硬纸板倾斜于投影面时

的正投影与的形状和大小不完全一样长方形硬纸板垂直于投影面时的

正投影成为•条线段

正投影：投影线垂直于投影面产牛.的投影叫做正投影

正投影的性质：当物体的某个面平行于投影面时这个面的正投影与这个面的形状、

大小完全相同

如图所示一个斜插吸管的盒装饮料的正投影是图中的

解析观察图形由正投影的定义可得长方体的正投影是与前面相同的长方形结合吸管

方向可知只有是符合题意的故选

如图所示的圆台的上、下底面与投影线平行圆台的正投影是

矩形两条线段梯形圆环

解析根据题意圆台的上、下底面与投影线平行则圆台的正投影是该圆台的轴截面

故选

如图所示水杯的杯口与投影面平行投影线的方向如箭头所示它的正投影是下图中

的

解析依题意光线是垂直照下的故只有符合故选

如图所示的三幅投影中属于正投影的是图

解析正投影的光线与投影面垂直故填

画出如图所示的立体图形在投影线从上方射向下方时的正投影

解析第一个图形中投影线从上方射向下方的正投影牯长方形第二个图形中投影线从

上方射向下方的正投影是长方形第三个图形中投影线从上方射向下方的正投影是带圆心

的圆

解如下图所示

aa

第课时

认识概念

正投影

探究性质

探究•线段在平面.上的正投影

探究二正方形纸板在平面上的正投影

探究三正投影的性质

例题讲解

例题

一、教材作业

【必做题】

教材第页习题第题

【选做题】

教材第页习题第题

二、课后作业

【基础巩固】

线段的正投影是

直线线段

射线线段或点

卜.列叙述正确的是

圆锥的正投影是等腰三角形

圆柱的正投影是矩形

球的正投影是圆

正方体的正投影是正方形

把一个正五棱柱按如图所示的方式摆放当投影线由正前方射到后方时它的正投影是

如图所示的

若木棒长米则它的正投影的长一定

大于米小于T

等于米小于或等于米

平行于投影面的平行四边形的面枳与它的正投影的面枳的大小关系是

三角形的正投影可能是

一位画家把边长为米的个相同正方体摆成如图所示的形状然后把表面涂上颜色

那么涂色面积为

如图所示已知线段投影面为太阳光线与投影面垂直

当垂直于投影面时如图所示请画出线段的投影

当平行于投影面时如图所示请画出它的投影，并求出正投影的长

3在的基础上，点不动，线段绕点在垂直于投影面的平面内逆时针旋转30°,

请在图3中画出线段的正投影，并求出其正投影的长

如图所示，投影线的方向如箭头所示，画出立体图形的正投影

|«»«

【能力提升】

0一个水平放在桌面上的圆柱，从前向后形成的正投影是一个边长为0的正方形，则

此圆柱的表面积为

一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是腰长为底边长为的等腰三角形，

则圆锥的体积是结果保留兀

如图所示的为一个机器零件的立体图，箭头所指为其正面，试画出这个零件的正面的正

投影

【拓展探究】

3先观察下面的立体图形，再分别画出它的正面、左面、上面三个方向的止投影

f*

【答案与解析】

解析线段平行干投影而时的正投影是线段线段长等干正投影的长线段倾

斜于投影面时的正投影是线段线段长大于正投影的长线段垂直于投影面时的正

投影是一个点故选

2解析圆锥的正投影可能是带圆心的圆故不正确圆柱的正投影可能是圆故不

正确球的正投影是圆故正确正方体的正投影还有可能是长方形故不正确故选

解析该物体为五棱柱根据投影的性质可知它的正投影应为矩形且比前面矩形的宽

大故选

4解析木棒在投影面上的正投影的长度与木棒的摆放角度有关但无论怎样挖都不会

超过2米故选

5相等解析根据题意得平行四边形与投影面平行即与光线垂直故它的投影与其形

状、大小完全相同故面积相等

三角形或线段解析当三角形和平面垂直的时候其投影为一条线段当三角形与平面

的夹角不为900时其投影为三角形故填三角形或线段

28平方米解析根据分析涂色面积=5X2+4X2+5X2=28故填28平方米

8解如图所示线段垂直于投影面时它的正投影是一个点2如图2所

示线段平行于投影面时它的正投影是线段与线段的长相等即==2

如图所示线段倾斜于投影面时它的正投影是线段长度小于线段的

解如图所示

10600n2解析由题意得该圆柱的盲为20底面直径为20贝h

=2XXn2JTX20=600n2),，此圆柱的表面积为600五2)

1112兀解析由圆锥的正投影是腰长为底边长为6的等腰三角形，得圆锥的母线长为

底面半径为根据勾股定理得高为4,再根据圆锥的体积公式二，得

=XnX2X4=12n故填12n)

12解如图所示

1解它的正面、左面、上面三个方向的正投影依次如下图所示

本节课以教材中的思考为背景导入新课，学生通过观察、分析、相互交流，初步感知正

投影的概念，既复习了上节课的知识，又为本节课的学习打下了基础，导入流畅自然，学生

易于接受，然后通过独立观察探究、小组合作交流、共同归纳总结等数学活动，在教师提

出的问题的引导下，分别探究线段、正方形的正投影，得出正投影的一般性质，进一步培养

学生抽象概括能力，发展学生的空间想象能力，由线段到正方形的探究过程，渗透「由特殊

到一般的数学思想方法，提高了数学思维能力，最后的例题进•步巩固和提高学生对正投

影的理解和掌握，整节课的教学设计思路清晰，目标明确，充分体现了学生在课堂上的主体

性

本节课的重点是通过观察、思考及动手操作，抽象出正投影的概念和性质，培养学生空

间想象能力和归纳总结能力，教学设计时，本以为影子是学生熟悉的牛.活情景，学生应该易

于理解和掌握，所以在探究正投影的性质时，速度稍快些，结果有些学生缺乏空间想象能力,

造成抽象概括其性质有困难，在以后的教学中，应注重培养学生空间想象及抽象概括能力,

多给学生相互交流的时间和空间

本节课主要通过学生的观察思考、合作交流、归纳总结等活动，抽象概括正投影的概念

和性质，在教学设计中，注重引导学生分析问题的设计，学生在教师提出的问题的引导"

经过观察思考、相互交流，更易于归纳得出结论，在这些探究活动中，学生思维活跃，经历

知识的形成过程，培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生空间想象能力，让学生获

得成功的喜悦最后例题的设计也要注重教师的引导，降低学生学习难度，更大程度地提高

学生的空间立体感

练习教材第页

解如图所示如图所示

正投额正投影

(1)(2)

习题教材第页

解第3幅照片是小华在下午拍摄的

解如图所示

3解正五棱柱的五个侧面的正投影是线段，两个底面的正投影是全等的止五边形

解由题意可知圆锥的底面半径为，圆锥的高为，，圆锥的体积二nXX=n,圆锥的表面

积;冗XX3+冗X=TT

解投影线由物体前方照射到后方的正投影如图所示投影线由物体左方照

射到右方的正投影如图所示3投影线由物体上方照射到下方的正投影如图3所

示

⑵

在学习本节课以前学生已经具有一定的平面图形与立体图形的知识本节课通过实

际情景引出正投影的概念后以铁丝和正方形纸板的影子为例讨论直线和平面多边形与

投影面三种不同位置关系时的正投影归纳出其蕴含的正投影的•般规律最后以正方体

为例讨论立体图形与投影而成不同位置关系时的正投影在由简单平面图形到立体图形

的正投影的探究活动中逐步提高学生对图形的认识增强平面图形与立体图形之间的联

系初步培养学生的空间想象能力为后边学习立体图形的三视图打下基础

本节课探究正投影的概念及规律重点是由物体得到其投影由物体产生投影是将立

体图形转化为平面图形的过程认识平面图形与立体图形之间的联系对培养学生空间观

念非常重要在教学设计中学生虽然在前边接触过立体图形但空间想象能力还比较差

所以在课堂上要多给学生思考和交流的时间和空间让学生相互交流共同得出结论通过

展示自己体验成功的快乐让学生真正成为课堂的主体人人学有价值的数学从而发展能

力提高数学思维和应用意识

小明从正面观察下图中的两个物体得到的投影是

（解析）圆柱的正投影是矩形正方体的正投影是正方形故选

三视图

会从投影的角度理解视图的概念

探索三视图中三个视图间的位置关系和大小关系

会画简单几何体及简单组合体的三视图

学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型

体会三视图与实物模型之间的关系

通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动使学生体会到三视图中各部分之间位置

及大小的对应关系积累数学活动的经验

感受三视图的形成过程和方法探索简单几何体的三视图的画法进一步发展空间想

象能力及动手操作能力

通过探究由物体的三视图还原出物体的形状进一步认识物体与其三视图之间的关系

提高学生的空间想象能力

使学生学会关注生活中有关投影的数学问题提高数学的应用意识养成细致、严谨

的态度

培养学生自主学习与合作交流的学习方式加强学生从生活中发现数学的能力

通过探究物体的三视图学会多角度看问题品尝成功的喜悦激发学生学习数学的热

情

在探究三视图向立体图形转化的过程中使学生感受数学的和谐美培养学生动于实

践能力发展空间想象能力

【重点】

从投影的角度理解三视图的概念

会画简单的三视图

根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型

【难点】

对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图

学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型

第课时

会从投影的角度理解视图的概念

探索三视图中三个视图间的位置关系和大小关系

会画简单几何体及简单组合体的三视图

通过感受从不同方向观察同一物体可能看到不一样的图形培养学生全面观察的能力

通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动使学生体会到三视图中各部分之间位置

及大小的对应关系积累数学活动的经验

通过探究物体的三视图培养学生动手能力及观察能力养成细致、严谨的学习态度

通过主动探究、合作交流体会将空间图形转化为平面图形的儿何美同时培养学生

的团队意识

通过探究物体的三视图学会多角度看问题激发学生学习数学的热情

【重点】

从投影的角度理解三视图的概念会画简单的三视图

【难点】

对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图

【教师准备】多媒体课件

【学生准备】预习教材

导入一

从我们熟悉的古诗“横看成岭侧成峰远近高低各大同不识庐山真面目只缘身在此

山中”中你能得到什么启示

【师生活动】教师展示图片学生结合图片赏析古诗思考得到的启示并回答问胭教

师点评导出课题

过渡语这首诗教会了我们怎样观察物体一一横看、侧看、近看、身处其中看从

不同方向看庐山我们欣赏到不同的美景这节课我们将一起学习从三个不同方向看物体

导入二

某次军事演习中展示了我国不少先进的武器左图是一架飞机你能知道右图是从哪几

个角度展示的吗

【师生活动】学生观察回答教师点评导出新课

过渡语我们要反映一个物体的形状一般要从多个方面观察如上图所示从三个

方向反映了飞机的形状这就是我们这节课要研究的物体的三视图

设计意图教师从学生熟悉的古诗入手学生结合古诗和图片感受从多个角度观察

物体引出本节课课题激发学生的学习兴趣由三个方向反映飞机的形状为理解本节课

的三视图埋下伏笔

一、观察体验

【师生活动】教师拿一本英汉词典让学生分别从词典的前面、左面、上面观察会

看到什么平面图形学生观察思考小组合作交流小组代表I可答师生共同归纳概念

【课件展示】视图当我们从某一方向观察一个物体时所看到的平面图形叫做物体

的一个视图

【思考】视图是不是投影

视图可以看成是物体在某一方向光线下的正投影

【师生活动】学生思考回答教师点评

设计意图从学生熟悉的物体入手让学生经历从不同方向观察物体的活动过程让

学生对三视图形成感性认识激发学生的求知欲望为顺利完成本节课的学习做好铺垫

二、新知探究

思路一

教师引导学生思考形成概念

【师生活动】教师准备一个长方体对长方体在教室墙角处的三个墙面进行正投影

或利用课件边演示边讲解三视图的概念

【课件展示】如图所示我们用三个互相垂直的平面作为投影面其中正对着我们

的平面叫做正面下方的皿面叫做水平面右边的平面叫做侧面对一个物体例如一个长

方体在三个投影面内进行正投影在正面内得到的由前向后观察物体的视图叫做主视图

在水平面内得到的由上向下观察物体的视图叫做俯视图在侧面内得到的由左向右观察

物体的视图叫做左视图

<1)

【思考】

物体的三视图分别是哪个方向上的正投影

如图所示展开的这三个视图的位置有什么关系

主视图、左视图、俯视图分别反映了长方体的哪些特征

如何画物体的三视图

结合三视图的位置关系和大小关系画三视图时主观图与俯视图之间、主视图与左

视图之间、左视图与俯视图之间应分别注意什么

【师生活动】学生观