人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题16一次函数与几何综合压轴题型专训(原卷版+解析)

专题16一次函数与几何综合压轴题型专训

言【题型目录】

题型一根据两直线的交点求不等式的解集

题型二两直线的交点与二元一次方程组的解

题型三一次函数中最短路径问题

题型四动点问题的函数图象

题型五一次函数的规律探究问题

题型六一次函数与全等三角形综合

题型七一次函数与平行四边形综合

题型八一次函数综合压轴题

41经典例题一根据两直线的交点求不等式的解集】

【知识归纳】

由于任何一个一元一次不等式都可以转化为or\-b>0或ar-tZ?<0或田\b>0或CLK4-Z?<0（«>b为常

数，4W0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数、=办+〃的值大于0（或小于。或大

于等于。或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.

要点诠释：求关于X的一元一次不等式依+〃>0（。/0）的解集，从“数”的角度看，就是工为何

值时，函数丁=公+/2的值大于0?从“形”的角度看，确定直线丁=奴+〃在x轴（即直线）'=0）上方

部分的所有点的横坐标的范围.

ax+b>cx+d（c/wc,且。。工0）的解集=y=ar+b的函数值大于y=cx+"的函数值时的自

变量X取值范围O直线y=ax+b在直线y=cx+d的上方对应的点的横坐标范围.

【例1】（2023秋•江苏镇江•八年级统考期末）一次函数,二履-1（攵工0）与必=T+2的图像如图所示,

当工<1时，y,<>'2,则满足条件的k的取值范围是（）

A.k>-\,且攵工0B.一1<々<2,且攵工0

C.k<2,且〃工0D.左<T或〃>2

【变式训练】

【变式1]（2022・安徽•天长市实验中学八年级阶段练习）如图，函数X=-2"与%=如+3的图象相交于点

A（〃?，2）,则关于x的不等式-2x＞以+3的解集是（）

【变式2]（2021・全国•八年级专题练习）在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线1分别与函数

,1

y=x-a+\,y=——x+a

2的图像交于P、Q两点，若平移直线1,可以使P、Q都在x轴的下方，则实数a的

取值范围是.

4,

y=—x+4

【变式3】（2022•安徽阜阳•八年级期中）如图，已知直线3分别与x,y轴交于点A、B,与直线

（1）求〃和人的值；

⑵若点P在射线C4上，.且求点尸的坐标;

4

（3）观察函数图象，请直接写出不等式-3X+42日的解集.

【经典例题二两直线的交点与二元一次方程组的解】

【知识归纳】

一次函数与二元一次方程组

每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于

考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确

定两条直线交点的坐标.

要点诠释：

L两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图

象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两

313

个一次函数的图象的交点.如一次函数>=-2工+4与>=5工一万图象的交点为（3,-2）,则，2就是

y=-2x+4

二元一次方程组（313的解.

y=—x----

22

2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角竺标系中的直线就没有交点，则两个一次函

数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组

i.无解，则一次函数y=3x—5与y=3x+l的图象就平行，反之也成立.

=-1

3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.

方程组解的几何意义

1.方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标.

2.根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：

根据交点的个数，看出方程组的解的个数：

根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解.

3.对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数.

【例2】（2022•广东•九年级专题练习）已知函数.y=2辰+F+2（攵为常数，2>0）的图象经过点（《〃），

且实数b,4满足等式：/+4公+b+从=2（1+次），则一次函数），=2日+炉+2（攵>0）与y轴的交点坐

标为（）

A.（0,2）B.（0,>/3-1）C.（0,6-273）D.（0,4）

【变式训练】

【变式1】（2021•全国•八年级期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移，"个单位长度，使

其与》=-3》+6的交点在位于第二象限，则用的取值范围为（）

A.m<6B.m>6C.m<2D.m>2

【变式2]（2021•全国•八年级专题练习）对于实数a,b,我们定义符号max{a,b}的意义为：当aNb时，

max{a,b}=a：当aVb时，max{a,b]=b；如：max{4,-2）=4,max{3,3）=3,若关于x的函数为丫=

max{x+3,-x+1},则该函数的最小值是.

【变式3】（2022•黑龙江鹤岗•八年级期末）在平面直角坐标系x°）'中，直线）'"依+4（"工0）与），轴交于点A.

（1）如图，直线），=-2x+l与直线丁=履+4化/0）交于点8,与V轴交于点C,点8的横坐标为-1.

①求点8的坐标及k的值；

②直线y=-2x+1、直线尸质+4与），轴所围成的AABC的面积等于多少？

⑵在（1）的条件下直线>=依+4（女工0）与x轴交于点E,在x轴上是否存在点尸，使所是以AE为腰

的等腰三角形？如存在，请直接写出点尸的坐标.

1经典例题三一次函数中最短路径问题】

【解题技巧】

我们将“连点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上个点的所有线段中，垂线段最

短”这样的问题称为最短路径问题。一次函数背景下的最短路径问题通常表现为：动点在直线

上（一次函数或者x轴，y轴上），动点与两定点的距离之和最小，求点的坐标或者线段之和

的最小值C

【例3】（2022秋•八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点4（3,〃）是直线），=21与直线），=”+人的

交点，点4是直线y=x+〃与），轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接粗，PB,则PA+P8的最小值

是（）

C.9D.3x/10

【变式训练】

y=^^-x+455

【变式1］（2022•山东•济南市章丘区第四中学八年级阶段练习）如图，已知直线人〃：3分别

交"轴、）'轴于点&A两点，°（30,力、£分别为线段AO和线段AC上一动点，跖交粕于点，，且

D.(0,5/55)

【变式2】（2022,辽宁・沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，已知4（-3,4）,8（-6,0）,。（一*））,点。在

线段4c上（点P不与点A重合），点。在线段OA上，AP=OQ，当BP+8。最小时，点Q的坐标.

【变式3】(2022•陕西•西安市铁一中学八年级阶段练习)(1)如图①，在RtZLABC中，AB=AC=6无,

4=90。，点。为线段8C上的动点，则AO最小值为.

图①

(2)如图②，在平面直角坐标系中，直线+4与x轴和y轴分别交于A、B两点,。为线段A8上的

一点且0。平分AO8的面积，请求出。点坐标.

(3)如图③，在平面直角坐标系中，为△480是某地市政施工的一块区域示意图，其中乙403=90。，

04=08=40米，点Z)坐标为(10.0).按设计要求在线段80上任取一点C,以CD为底，在C。右侧作等腰

直角三角形区域取OE中点忆连接£4.现对△A。产区域进行围挡施工，为节约材料，设计要求

围挡区域的/周长最小，请弥根据以上信息求出符合设计的4人。「的周长，并说明理由.

图③

41经典例题四动点问题的函数图象】

【解题技巧】

根据一次函数中的点位置关系，找出对应图形中的对应点，分析图形中点的运动状态，代入即可计算；

【例4】（2022秋・广东茂名•八年级茂名市第一中学校考期中）如图①，在RtZXACA中，NC=90。，点。为

的中点，动点P从4点出发沿AC—C8运动到点用设点P的运动路程为x,△APO的面积为户y与

D.15

【变式训练】

【变式1］（2022•浙江金华•八年级期末）如图①，在△人8c中，ZC=9O°,N4=3（）。，点。是AB边的中点，

点P从点A出发，沿着AC-C8运动，到达点8停止.设点P的运动路径长为4,连。P,记A4P。的面积

为），，若表示），与1有函数关系的图象如图②所示，则3c的周长为（）

12+473D.6+4后

【变式2］（2022•湖北孝感•八年级期末）如图1,在矩形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE.动点尸从

点A出发，沿折线ATOTC—E方向匀速运动至点E停止.设点P的运动速度为lcm/s,运动时间为f（s）,

的面积为S（cm?）,5与/的函数图像如图2所示，则AE的长为cm.

【变式3］（2022•江苏•昆山巾冏庄中学八年级阶段练习）在4Abe中，A6=AC,点P为A6c边上的动点,

速度为ls/s.

(1)如图1,点。为A3边上一点，AD=\cm,动点夕从点。出发，在,A8C的边上沿O—8—C的路径匀速

运动，当到达点C时停止运动.设△APC的面积为耳(cm2),△8PC的面积为£(o/),点尸运动的时

间为/(s).加，邑与/之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：

①在图1中，AB=cm，BC=cm.

②在图2中，求所和MN的交点〃的坐标；

⑵在(I)的条件下，如图3,若点P,点Q同时从点A出发，在AAC的边上沿4一4一。的路径匀速运动，

点。运动的速度为0.5c〃?/s,当点。到达点C时，点尸与点。同时停止运动.求，为何值时，怛?一△。最

大？最大值为多少？

X【经典例题五一次函数的规律探究问题】

【例5】（2023秋・山东济南•八年级统考期末）如图，直线4：y=x+a与直线3相交于动点P（TO）,

直线4与），轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线右上的点用处后，改

为垂直于x轴方向运动，到达直线4上的点A/处后，再沿平行于X轴的方向运动，到达直线右上的点层处

后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线式的点4处后，仍沿平行于x轴的方向运动，...，照此规律运

动，动点C依次进过点用，A，色，A?,k&，…%022，&O22,则当动点C到达A切2处时，运动的总

路径的长为（）

A.22°2)B.22022.2D.22°23-2

【变式训练】

【变式1】（2022•山东德州•八年级期末）如图，在平面直角坐标系中,点％%,4,…和%约%…

分别在直线）一5"十和x轴上.Q百，苗4%也4%…都是等腰直角三角形.如果点A（L1）,那

么点4通的纵坐标是（）

B,B

(2

<3

【变式2］（2021・山东・济南市历城区教育教学研究中心八年级期1）如图，已知直线a：N=x,直线6y=

和点尸（1,0）,过点。作），轴的平行线交直线。于点4,过点A作x轴的平行线交直线。于点过点鸟作），

轴的平行线交直线。于点2,过点八作x轴的平行线交直线〃于点心，…，按此作法进行下去：则点巴。21的

横坐标为

【变式3](2022•全国•八年级课时练习)如图,正方形ABCD、正方形AiBiCiDi、正方形A?B2c2D2均位于

第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A、Ai、A2在直线OM上，点C、C、C2在直线ON上，

O为坐标原点，已知点A的坐标为(3,3),正方形ABCD的边长为1.

(1)求直线ON的表达式；

(2)若点Ci的横坐标为4,求正方形AIBIGDI的边长；

(3)若正方形A?B2c2D2的边长为a,则点B2的坐标为().

(A)(a,2a)(B)(2a,3a)(C)(3«m)(D)(加,5。)

41经典例题六一次函数与全等三角形综合】

【例6】(2022秋・江苏常州•八年级统考期末)如图，直线)，=一；工+2与x轴、》轴交于A、B两点，在)，

轴上有一点C(0,4),动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动.当动到△COM与AAOS全

等时，移的时间，是（）

C.2或4D.2或6

【变式训练】

【变式1］（2021秋•八年级单元测试）如图,直线y=-2x+2与x轴和y轴分别交与A、8两点，射线"_LAB

于点A.若点C是射线AP上的一个动点，点。是x轴上的一个动点，且以。、。、人为顶点的三角形与4408

全等，则0。的长为（）

A.2或逐+1B.3或6C.2或逐D.3或石+1

4

【变式2】（2022秋・浙江•八年级期末）如图，直线），=—予1+3与工轴，丁轴分别交于点4B,直线尸x

+1与直线A8交于点C,与），轴交于点。.则△8OC的面积=.若。是1y轴正半轴上的一点，Q是直线

A8上的一点，连接PQ.△BDC与A8PQ全等（点Q不与点C重合），写出所有满足要求的点Q坐标.

【变式3】（2021秋・山东济南•八年级统考期中）如图①，已知直线y=-2x+4与工轴、y轴分别交于点A、

C,以04OC为边在第一象限内作长方形。48c.

图①图②

（1）点A的坐标为,点B的坐标为;

（2）如图②，将/8C对折，使得点A与点C重合，折痕*力交AC于点8',交AB于点、D,求点。的坐标;

（3）在第一象限内，是否存在点P1点B除外），使得△APC与-4c全等？若存在，请求出点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

j【经典例题七一次函数与平行四边形综合】

【例7】（2022春・福建厦门•八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知直线《：了=依-2与七轴和>轴分

别交于A,B两点，直线小丁二化-3及-2与尤轴交于点C,过点C作。_Lx轴，与直线丸交于点。.当以O,

8,C,。四个顶点围成的四边形为平行四边形时，点。的坐标可以是（）

A.（I，2）B,停2）C.（4,3）D.住3）

【变式训练】

【变式1］（2022春•江苏无锡•八年级校联考期中）己知四个点4（-8,0）、5（0,6）、。（4火3〃）、力能组成平

行四边形，则CQ的最小值为（）

4824

A.5B.10C.—D.y

【变式2］（2023春•八年级课时练习）如图,在平面直角坐标系中，平行四边形OA/3C的顶点4的坐标为12）,

直线/：>=-■11+〃恰好将平行四边形QA8C的面积平分，则方的值为.

【变式3](2023春•江苏•八年级专题练习)如图，直线)，=-2/+7与x轴、V轴分别相交于点C、B,与

(1)求A点坐标；

(2)在平面直角坐标系X。)，中，是否存在一点M,使得以。，A,M,C为顶点的四边形是平行四边形？如果

存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；

4【经典例题八一次函数综合压轴题】

[例8](2023秋・江苏镇江•八年级统考期末)定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的矩离和为2,

则称点人为“成双点例如：如图，点"(-150.5)到x轴、y轴的距离分别为051.5,距离和为2,则点B

是“成双点”，点C（U）,D（-0.8,T.2）也是“成双点”.一次函数/="+•底0）的图象/经过点（-3,-4）,且

图象/上存在“成双点”，则攵的取迫范围为（）

244

A.-<k<2B.-<k<2C.-<k<4D.-<k<4

3553

【变式训练】

【变式1］（2022秋・河南郑州•九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系xQv中，平行四边形A8CO的一

边CO在x轴上，A,A在第二象限，。在A左侧，ZACX?=60c,AC=5,A（）=26,直线ED的解析式

为y=-x+5,现将平行四边形沿I轴向右平移，当直线区）恰好平分平行四边形A8CO的面积时，此时的平

D.5+—^3

2

【变式2］（2。23秋・江苏•八年级统考期末）如图.直线/…=*3与X轴，），轴分别交于点A,B,直线

经过点A,与丁轴负半轴交于点C,且NB4C=45。，则直线4的函数表达式为

3

【变式3】（2022秋・广西百色•八年级统考期中）如图，已知直线乙的函数关系式为直线4与x

轴交于点4与），轴交于点-将直线4平移得直线直线分别交X轴、y轴于点c、ZZ月.经过点（4,3）.

（1）求直线〃的函数表达式；

⑵求点C和点。的坐标；

（3）在直线乙上是否存在点匕使得SAB"=2S》6?若存在，请求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请

说明理由.

【培优检测】

1.（2023春•八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数），=2x-4的图象分别交.1、），轴于点

A、B,将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45。，交x轴于点C,则•工BC的面枳是（）

A.22B.20C.18D.16

2.：2021秋・浙江湖州•八年级统考期末）如图（1）,在.工8c中，AB=ACf动点尸从•工8c的顶点A出发，

以3cm/s的速度沿ArBfCfA匀速运动回到点A,图（2）是点夕运动过程中，线段AP的长度y（cm）随

时间，（s）变化的图象，其中点。为曲线部分的最低点，若..A8C的面积是108cm"则〃的值为（）.

A.18B.16C.20D.15

2

3.（2023秋・江苏苏州•八年级苏州中学校考期末）如图，直线），=-：工+4交x轴，），轴于点A8,点尸在第

一象限内，且纵坐标为4.若点P关于直线AB的对称点P1恰好落在x轴的正半轴上，则点P'的横坐标为（）

4.（2023秋•江苏镇江•八年级校联考期末）如图，△ABC中，AC=8C=I3,把△ABC放在平面直角坐标

系aQy中，且点A,8的坐标分别为（2,0）,（12,0）,将△A8C沿x轴向左平移，当点C落在直线y=r+8

上时，线段AC扫过的面积为（）

5.（2022.河南许昌•统考二模）如图1,点尸是的中线80上的一动点，点。是CP的中点，连接AQ,

设=AQ=y,图2是点P运动时），随工变化的关系图象，其中点H是函数图象的最低点，则〃［的值

为（）

6.（2022秋•八年级课时练习）如图，点A、3的坐标分别为（0,4）、（6,8）,点P为x轴上的动点，若点B

关于直线AP的对称点方恰好落在x轴上，则点夕的坐标是（）

C.(2,0)D.(3,0)

7.（2021・河南•模拟预测）如图，正方形OABC中，点A（4,0）,点、D为AB上一点,且33=1,连接

过点C作CE±OD交OA于点E,过点。作MN//CE,交x轴于点M,交8c于点M则点M的坐标为（）

A.（5,0）B.（6,0）C.（―,0）D.（―,0）

44

8.（2022秋・重庆•八年级西南大学附中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线），=工+2与x轴，y轴

分别交于8、A两点，以线段A8为边在A8右侧作等边三角形4BC,边AC与x轴交于点E,48C与），轴

交于点F,点。是y轴上的一个匆点，连接人。，BD,CD.下面的结论中，正确的个数有（）个

①ZAE8=75。：®SBCE=SACT；③当4）=3。时，ZBZX?=150°；④点C的坐标为（百一11-6）；⑤当

80+8=4。时，CQJ-2行;

A.2B.3C.4D.5

9.12023秋•四川成都・八年级校考期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线），二不上一点P（W）,连接PC,

以PC为边做等腰直角三角形PCD，PC=PD,过点。作线段AB/x轴，直线AK与直线）,=x交于点A,

且双＞=24），直线。。与直线）交于点Q,则。点的坐标是.

10.（2022秋・辽宁沈阳•八年级沈阳市第七中学校考期末）如图，一次函数），=履+8与x轴交于点A（8,0）,

点C在直线48上且横坐标为6.点。为“轴上一点，BD=CD、若点"是x轴上的动点，在直线A8上找

在一点N（点N与点C不重合），使与AAC。全等，点N的坐标为.

11.（2022春•广东江门•八年级江门市第二中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线/：y=^x-—

"33

与工轴交于点4,以。为边长作等边三角形AQ耳，过点A作A之平行于x轴，交直线/于点与，以4员为

边长作等边三角形44出2,过点人作&鸟平行于x轴，交直线/于点名，以&星为边长作等边三角形

44员，....则点4oi7的横坐标是

12.（2022秋.辽宁沈阳.八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，己知4（-34）,3（-6,0）,C（-3,0）,点

P在线段AC上（点P不与点A重合），点Q在线段Q4上，AP=Q2,当8尸+8。最小时，点Q的坐标.

13.（2022秋•北京•九年级北大附中校考开学考试）如图，直线y=—+4分别与1轴，），轴交于八，B两点.从

点P（1，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线反射回到P点，则光线第一次的反射点。的坐标是

[3

OTP1

14.（2022春・浙江金华•八年级校联考期中）已知直线），=4％+6与x轴，>轴分别交于点A,B,点、C是

射线八3上的动点，点。在坐标平面内，以O,A,C,。为顶点的四边形是菱形.则点。的坐标为.

kx+b（x>.97）

15.（2022秋.浙江宁波.八年级校联考期末）定义：），=1）/:叫做关于直线'=加的"分边折叠函数

-Kx+b（x<m）

3x-6（x>4）

⑴已知“分边折叠函数"），={"A/、

-3A-6（A<4）

①直接写出该函数与丁轴的交点坐标；

②若直线y=4x+f与该函数只有一个交点，求，的取值范围；

⑵己知“分边折叠函数”忏工累;:?）的图像被直线"，〃与），轴所夹的线段长为同〃|,则左的值为

57

16.（2023秋・广东梅州•八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=

44

与1轴交于点C且点A（T/〃），

（1）点C的坐标为

(2)求原点O到直线人笈的距离；

(3)在x轴上是否存在一点P,使得△ACP是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.

17.(2023秋・广东深圳•八年级深圳外国语学校校考期末)如图，已知函数)，=x+l的图象与丁轴交于点A,

一次函数)，=履+〃的图象经过点8(0,-1),与x轴以及y=x+l的图象分别交于点。、。，且点。的坐标为

(1,〃),

⑴求〃，k,b的值;

(2)若函数)公辰+》的函数值不大于函数)，=x+1的函数值，直接写出”的取值范闱；

(3)求二ACD的面积.

18.(2023秋•浙江宁波•八年级统考期末)在平面直角坐标系中，一次函数)，=代+仇女工0)的图象经过(0,3)

和(2,2).

⑴求这个一次函数F=匕+〃的表达式.

(2)当x>-3时，对于x的每一个值，函数)，=〃皿〃?工。)的值都小于)，=依+〃的值，直接写出〃?的取值范围.

19.(2023秋・福建三明•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，4、B、。为坐标轴上的三个点，且

OA=OH=OC=4,过点A的直线八。交直线8C于点D,交y轴于点E,△A6O的面积为8.

(1)求点。的坐标.

(2)求直线AO的表达式.

(3)过点C作C尸J,4。，交直线AB于点产交人力与G,求△GE4的面积.

20.(2023秋•福建福州•八年级统考期末)在平面直角坐标系X。，中，点A(0M),昭0),C匕0),点。

在第四象限，其中。>0,/?<0,c>0,NR4C+N8OC=180。，ACLCD.

图2

(1)如图1,求证：ZBAO=ZCBD；

(2)若卜-4+从+6/?+9=0,fiAB=RD.

①如图I,求四边形AC/犯的面积；(用含〃的式子表示)

②如图2,8。交y轴于点E,连接A。，当E关于AO的对称点K落在x轴上时，求CK的长.

专题16一次函数与几何综合压轴题型专训

国【题型目录】

题型一根据两直线的交点求不等式的解集

题型二两直线的交点与二元一次方程组的解

题型三一次函数中最短路径问题

题型四动点问题的函数图象

题型五一次函数的规律探究问题

题型六一次函数与全等三角形综合

题型七一次函数与平行四边形综合

题型八一次函数综合压轴题

5【经典例题一根据两直线的交点求不等式的解集】

【知识归纳】

由于任何一个一元一次不等式都可以转化为>0或<0或or+力20或at+Z?

<0（。、〃为常数,。WO）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数），=3:+〃

的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.

要点诠释：求关于x的一元一次不等式依+〃>0（4H0）的解集，从“数”的角度

看，就是尤为何值时，函数>=，a+〃的值大于（）？从“形”的角度看，确定直线），="+〃

在x轴（即直线），=0）上方部分的所有点的横坐标的范围.

ax+b>cx+d（〃wc,且acwO）的解集。y=av+〃的函数值大于y=cx+d的

函数值时的自变量X取值范围o直线y二办+〃在直线），=CX+”的上方对应的点的横坐

标范围.

【例1】（2023秋・江苏镇江•八年级统考期末）一次函数抖=依-1（b0）与％=-1+2的

图像如图所示，当工<1时，,<%，则满足条件的我的取值范围是（）

A.k>-\,且火。0B.-1<女<2,且kwO

C.k<2,且攵HOD.Zv-1或攵>2

【答案】B

【分析】联立y=履-1与乃=—+2,求出两条直线交点的横坐标，根据当工<1时，y,<y2,

结合图象列不等式，即可求解.

【详解】解：联立y="-1与先=-％+2,

WAx-1=-x+2,

3

解得x=-「

k+1

3

即一次函数乂=丘-10）与外=-X+2的图像的交点的横坐标为匕，

k+1

.,当x<l时，m<力，

当攵+1>0,即％>—1时，3>4+1,

解得TvZ<2；

当R+lvO,即kv—l时，3<2+1,

解得&>2,与攵<一1矛盾，不合题意；

又」。0,

满足条件的k的取值范围是-1<4v2且女工0,

故选B.

【点睛】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关

键.

【变式训练】

【变式1］（2022.安徽・天长市实验中学八年级阶段练习）如图，函数乂=-2"与％=依+3的

图象相交于点A（'〃'2）,则关于x的不等式-2x>or+3的解集是（）

【分析】根据A（叫2）是函数y=-2x,%=依+3的图像交点，可把A代入y=-2x中,

求出〃?=-1,所以点A（—1,2）,再把A代入>，2=以+3解得〃=1,不等式-2x>w+3可化

为-2x>x+3,解不等式即可得出答案.

【详解】•函数）1=-2工过点A（见2）,

/.-2m=2,

解得：m=-1,

二.A(-1,2),

将A代入>2="+3中，

2=—a+3，

解得：a=l

y2=x+3

解不等式2•八十3

解集为x<T.

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，求出点A的坐标和当的函数解析

式，并结合函数图象进行解答是解题的关键.

【变式2](2021•全国•八年级专题练习)在平面直角坐标系中，垂直x轴的直线1分别与函

,1

y=x-a+l,y=——x+a

数「2的图像交于P、Q两点，若平移直线1,可以使P、Q都在x轴的

下方，则实数a的取值范围是.

【答案】x<-\

【分析】根据题意可知)，=%-。+1,),=-3%+。在丁<0时，尤有公共解，因此可以列出不等

式，从而得到答案.

【详解】令y=x-〃+lV0,则xVa-l,

令y=」x+〃V0,则x>2a,

•・・平移直线/,可以使P、Q都在x轴的下方，

，可知y=%-。+1,y=-耳％+4在yv0时，*有公共解，

/.2a<a-\,解得:a<~\,

故填：a<~\.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、函数与不等式的关系，解答的关键是将图象问

题转化为不等式.

4

y=—x+4

【变式3]（2022•安徽阜阳•八年级期中）如图，已知直线-3分别与x,y轴交于点

4,

y=——x+4

3上一点.

⑴求〃和火的值;

⑵若点P在射线C4上,且SAPOC=2sM0C，求点P的坐标;

4

⑶观察函数图象，请宜接写出不等式-、X+42日的解笑.

42

【答案】（1）〃=；，卜=:

33

4

⑵P（4,一§）

（3）x<2

4

【分析】（1）把点C（2,〃）代入解析式y=-§x+4中，可直接求出〃的值；再把点C的坐标

代入），="中，即可求出太的值；

4

（2）先根据解析式y=-.x+4可求出点A和点8的值，进而可求出AAX的面积，则可求

出APOC的面积和AOAP的面积，过点。作x轴的垂线，表示出MOP的面积，建立方程即

可；

（3）根据图象即可求得.

444

【详解】⑴把点。（2,〃）代入解折式），=-了+4中，得〃=-；x2+4=],

4

AC（2,-）,

42

把点C的坐标代入n=米中，则22=彳，解得攵=

33

4

（2）•・•直线y=-§x+4分别与大，），轴交于点4、B,

.•.4(3,0),8(0,4),

过点C作CM_Lx轴于点M,

4

：.OA=3.CM=-,

3

,,S.MOC=_x3x—=2,

***SMOC=2sA40c=2x2=4,

丁点尸在射线C4上,

,•^.\OAP=SAPOC~5,MOC=2,

过点。作轴于点N,

4

:.PN=1

3

4

解得x=4,

4

4

(3)由图象可知，不等式-§x+4N履的解集为x«2.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面

积以及函数与不等式的关系，解题的关键是运用数形结合思想.

41经典例题二两直线的交点与二元一次方程组的解】

【知识归纳】

一次函数与二元一次方程组

每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看・，

解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”

的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.

要点诠释：

1.而个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一-直角坐标系中，两

个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的

解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数y=-2x+4与

>fy=-2x+4

313x=3,）

y=77元一寸图象的交点为（3,-2）,则G就是二元一次方程组〈313的解.

22y=-2>=一工——

I[22

2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，

则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时:相应的二元一次方程

3x-y=5,

组就尢解.如二兀一次方程组,c.尢解，则一次函数y=3x—5与>，=3x+l的图

3x-y=-1

象就平行，反之也成立.

3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，

反之也成立.

方程组解的几何意义

1.方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标.

2.根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：

根据交点的个数，看出方程组的解的个数：

根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解.

3.对了个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的

解的个数.

【例2】（2022.广东•九年级专题练习）已知函数），=2h+/+2（k为常数，k>0）的图象

222

经过点（〃力），且实数b,k满足等式：a+4k+b+b=2（\+2bk）f则一次函数

），=2履+公+2（k>0）与）:轴的交点坐标为（）

A.（0,2）B.（0,V3-l）C.（0,6-2石）D.（0,4）

【答案】C

【分析】将点（。,力）代入函数y=26+^+2中，得到关于。，h,攵的关系式，将左看作常

数，再联立满足的等式组成二元一次方程组，将。，b用含攵的式子表示出来，此时再代

入函数），=2日+二+2中，求解11球的值，最后在•次豕数中令x=0,求解出y的值，最终

表示出交点坐标即可.

【详解】解：将点（。/）代入函数y=2"+公+2中，

得：b=2Z:a+Z：24-2.

又a2+4k2+b+b2=2(l+2bk),

化简可得：

a2+4k2+b+b2=2+4bk

222

a+^-2+(4k-4bk+/?)=0

/+b-2+(2k-b)2=0

力=2加+公+2①

此时联M方程组可得:

(/+"-2+(24-8f=0②

a=-k

解得：

b=2k

，点（。泊）的坐标可表示为（42k）,

将（-亿2k）代入>，=2依+公+2得：

2k=-2攵2+公+2,

解得k=-l士5A，

•・”为常数且攵>0,

:.k=-l+百»

止匕时一次函数y=2依TF+2=2（—1+行）工+（—1+逐『+2=（—2+26）1+6—26，

令x=0,

解得：产6-2百，

・•・交点坐标为（0,6-26）.

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，联立二元一次方程组并正确求解是解题的

关键.

【变式训练】

【变式1】（2021•全国•八年级期中）在平面直角坐标系中，将函数）'=3x的图象向上平移胴个

单位长度，使其与）'=-3.》+6的交点在位丁二第二象限，则，〃的取值范围为（