高中数学人教A版高中必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)-第二章

§塞函数与二次函数

最新考纲考情考向分析

1.了解事函数的概念.

以暴函数的图象与性质的应用为主，常

1-与指数函数、对数函数交汇命题；以二

2.结合函数y=x,y=/,y=x?.y=~,y=x2

次函数的图象与性质的应用为主，常与

的图象，了解它们的变化情况.

方程、不等式等知识交汇命题，着重考

3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.查函数与方程、转化与化归及数形结合

思想，题型一般为选择、填空题，中档

4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解

难度.

决简单问题.

基础知识自主学习

——回扣基础知识训练基础踵目一

r知识梳理

1.暴函数

(1)基函数的定义

一般地，形如01的函数称为幕函数，其中x是自变量，a是常数.

(2)常见的五种幕函数的图象和性质比较

\_

1

函数y=xy=^y=xiy=/y=x~

*北务

图象aV%

定义域RRR

性值域R一栏0}R一栏0}［丫廿0}

质奇偶性查函数偶函数查函数非奇非偶函数查函数

单调性

在R上单在（-8,0]在R上单在K),+8)上在（一8,0）

调递增上单调递减；调递增单调递增和(0,十8)

在(0,+8)上单调递减

上单调递增

公共点(1.1)

2.二次函数的图象和性质

解析式式x)=ax2+hx+c((X>G)於)=ax1+bx+c(〃<0)

图象

定义域RR

4ac-h2,A(4〃c-〃

值域

L4，a，+8)I'4aJ

在xC((一8,一五bl上单调递减；在XC1(-8,一为b~\上单调递增；

单调性

rh\

在xQr一点h+叼上\单调递增在xG1—五，+8)上单调递减

函数的图象关于直线X=-&对称

对称性

概念方法微思考

1.二次函数的解析式有哪些常用形式？

提示⑴一般式：y=ax2+bx+c(a^0)；

(2)顶点式：y=a(x—m)2+n(a:^0)；

(3)零点式：xi)(x—M)(〃WO).

2.己知«¥)=以2+"+以。#0),写出恒成立的条件.

提示。＞0且/W0.

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

一加

（1）二次函数y=oy2+法+84*0）,x^[a,b]的最值一定是一而一.（X）

（2）在〉="2+法+以“#0）中，〃决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.

（V）

（3）函数是幕函数.（X）

（4）如果嘉函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.（V）

⑸当〃<0时，募函数y=V是定义域上的减函数.（X）

题组二教材改编

2.[P79B组T1]已知易函数,/（x）=kd的图象过点（g,啕,则k+a等于（）

B.1D.2

答案C

'k=l,

解析由察函数的定义，知《也—

13

=

••k191=5.・・%+a=2.

3.[P44A组T9]己知函数/）=f+4如在区间（一8,6）内单调递减，则。的取值范围是（）

A.B.

C.。〈一3D.aW—3

答案D

解析函数./）=/+4依的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是工=-2〃，由函数在区间（一8,6）内单调递减

可知，区间（一8,6）应在直线工=一2。的左侧，

；・一2a26,解得oW—3,故选D.

题组三易错自纠

4.嘉函数八彳)=/2-侬+23伍©@为偶函数，且四》)在区间(0,+8)上是减函数，则”等于()

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析因为屏一10〃+23=(〃-5)2—2,

段)=/T)2-2gez)为偶函数,

且在区间(0,+8)上是减函数，

所以(〃-5)2—2<0,从而a=4,5,6,

又(〃一5)2—2为偶数，所以只能是。=5,故选C.

5.已知函数ynlr2—6x+3,1,1],则y的最小值是.

答案T

3

解析函数y=2N—6x+3的图象的对称轴为・•.函数y=2x2—6x+3在[-1,1]上单调递减，

，ymin=2-6+3=-1.

6.设二次函数人工)=炉一工+〃(4>0),若犬⑼<0,则大机-1)0.(填“〉”“<”或“=”)

答案>

解析於)=/一1+。图象的对称轴为直线X=],且式1)>0,次0)>0,而人机)<0,・・・加£(0/)，・・・加-1<0,:•氏m

-l)>0.

题型一事函数的图象和性质

1.若基函数的图象经过点(2,则它的单调递增区间是()

A.(0,+°°)B.[0,+00)

C.(-8,+00)D.(一8,0)

答案D

解析设於尸d,则2。=（,a=-2,即於）=”，它是偶函数，单调递增区间是（-8,0）.故选D.

2.若四个嘉函数y=L,y=/,y=/在同一坐标系中的图象如图所示，则mb,c,d的大小关系是（）

A.d>c>b>aB.a>b>c>cl

C.d>c>a>bD.a>b>d>c

答案B

解析由嘉函数的图象可知，在（0,1）上黑函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知。泌>c>d,故选B.

3.已知幕函数人工）=（序+2〃-2）£>3"（"GZ）的图象关于y轴对称，且在（0,+8）上是减函数，则„的值为（）

A.-3B.1C.2D.1或2

答案B

解析由于兀v）为嘉函数，所以/+2〃一2=1,解得〃=1或〃=-3,经检验只有〃=1符合题意，故选B.

4.（2023・潍坊模拟）若5+1）一晨（3—2万"则实数。的取值范围是.

答案（一8,—号

----?3

解析不等式3+1)3<(3—2”)3等价于“+1>3—2“>0或3—2”“+1<0或“+1<0<3—2”,解得a<—1或］<4书.

思维升华（1）感函数的形式是y=d（aCR）,其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

（2）在区间（0,1）上，森函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间（1,+8）上，取函数

中指数越大，函数图象越远离x轴.

（3）在比较森值的大小时，必须结合繇值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个繇函

数的图象和性质是解题的关键.

题型二求二次函数的解析式

例1(1)已知二次函数yu)=/—云+c,满足10)=3,对都有#1+乃=/(1一处成立，则大幻的解析式为

答案Ax)=x2—2x+3

解析由10)=3,得。=3,

又11+工)=次1一X),

・・・函数7U)的图象关于直线X=1对称,

:.b=2,

工危)=/-2x+3.

(2)已知二次函数式无)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(一2,0)且有最小值一1,则,/U)=.

答案^+2x

解析设函数的解析式为7U)=or(x+2)5W0),

4QX0—4层

所以&0=加+2"，由j=7,

得。=1,所以y(x)=/+2x.

思维升华求二次函数解析式的方法

跟踪训练1(1)已知二次函数式］)=渥+法+13,bGR,aWO),xGR,若函数五x)的最小值为1-1)=0,则段)

答案x2+2x+l

解析设函数y(x)的解析式为人工)=〃。+1)2=以2+2以+〃(。=0),

又人工)=办2+云+1，所以。=1,

故«r)=/+2x+1.

⑵已知二次函数7U)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x£R,都有人2—1)=/(2+1)，

则兀0=.

答案JC2—4x+3

解析因为负2—x)=/(2+x)对任意xWR恒成立，所以兀0图象的对称轴为直线x=2.又因为1x)的图象被x轴截

得的线段长为2,所以兀<)=0的两根为1和3.设式》)的解析式为逐》)="(*—1)(;<：—3)3—0),又犬》)的图象过点(4,3),

所以3a=3,即4=1,所以火x)的解析式为<x)=(x—l)(x-3),即应r)==-4x+3.

题型三Y次函数的图象和性质

命题点1二次函数的图象

例2(2023・重庆五中模拟)一次函数〉=公+6(。#0)与二次函数尸以2+云+。在同一坐标系中的图象大致是()

答案C

解析若”>0,则一次函数y=ar+Z;为增函数，二次函数丫=以2+法+。的图象开口向上，故可排除A；若a<0,

一次函数y=or+6为减函数，二次函数的图象开口向下，故可排除D；对于选项B,看直线可知

h

〃>0,b>0,从而一五<0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B,选C.

命题点2二次函数的单调性

例3函数兀¥)=4无2+(〃—3)x+1在区间[-1,+8)上是递减的，则实数4的取值范围是()

A.[—3,0)B.(—8,-3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

答案D

解析当。=0时，yu)=-3x+i在[―1,+8)上单调递减，满足题意.

3—a

当“wo时，的对称轴为犬=二式，

f«<o,

由_/(x)在[-1,+8)上单调递减，知《3—a

EWT，

解得一3Wa<0.综上，a的取值范围为[-3,0].

引申探究

若函数火x)=or2+(a—3)x+l的单调减区间是［―1,+°°),则a=.

答案一3

解析由题意知“X)必为二次函数且4＜0,

命题点3二次函数的最值

例4已知函数兀0=取2+2奴+1在区间［―1,2］上有最大值4,求实数a的值.

解J(x)—a(x-b1)2+1—a.

(1)当a=0时，函数凡r)在区间［-1,2］上的值为常数1,不符合题意，舍去；

3

(2)当。＞0时，函数y(x)在区间［—1,2］上是增函数，最大值为y(2)=8a+1=4,解得q=,；

⑶当。＜0时，函数./(X)在区间［—1,2］上是减函数，最大值为式-1)=1—。=4,解得a=-3.

综上可知，。的值为1或一3.

O

引申探究

将本例改为：求函数_/(x)=x2+2ar+l在区间［-1,2］上的最大值.

解J(x)—(x+a)2+1—a2,

的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=-a

(1)当即〃＞一£时，«x)max=/(2)=4a+5,

(2)当一即aW—g时，风外皿*可-1)=2一2”，

4a+5,

］

{2—2a,aW—

命题点4二次函数中的恒成立问题

例5⑴已知二次函数./)满足於+1)—/(x)=2x,且遂0)=1,若不等式亢v)＞2r+m在区间［-1,1］上恒成立，则实数〃?

的取值范围为.

答案(-8,-1)

解析设40=以2+陵+。3工0),由大0)=1,得c=i,又4x+1)—4幻=2x,得26+。+6=2¥,所以。=1,b

=—1,所以人1)=「一x+(x)>2x+m在区间［—1,1］上恒成立，即/—3x+l-"?>0在［—1,1］上恒成立，令g(x)=x2一

3x+1一m=(九一,>—1一m，X^［—1J］,g(x)在［—1,1］上单调递减，所以g(x)min=g(l)=1—3+1一相>0,所以m<

-1.

(2)函数./U)=a〃+3〃-2(〃>1),若在区间［—1,1］上40W8恒成立，则。的最大值为.

答案2

解析令〃=/,因为x^［—lzl］,所以原函数化为g«)=F+3r—2,g］，。，显然g⑺在:，a

上单调递增，所以式x)W8恒成立，即g⑺皿£=8(4)或8恒成立，所以有〃+3a—2W8,解得一5WaW2,又a>l,

所以a的最大值为2.

思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：

(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看

图求解).

(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.

跟踪训练2(1)函数y=f+厩+c(x6［0,+8))是单调函数的充要条件是()

A.b沁B.bWOC.b>0D.b<0

答案A

解析♦.•函数y=/+云+c(xC［0,+8))是单调函数，.•.图象的对称轴一?在区间［0,+8)的左边或一3=0,即

一aW0,得b^O.

(2)己知函数/U)=/—2ax+2a+4的定义域为R,值域为［1,+«>),则a的值为.

答案一1或3

解析由于函数y(x)的值域为［1,+°°),

所以«X)min=1.又兀T)=(X—。)2—〃2+2〃+4,

当尤WR时，/(x)min=/(a)=—a2+2a+4=l,

即〃2—2a—3=0,解得〃=3或〃=—1.

(3)设函数人》)=0?-2*+2,对于满足l<x<4的一切x值都有«r)>0,则实数〃的取值范围为

答案1,+°°

解析由题意得尽一方对I4<4恒成立,

又沁=-2|,111,

+》石＜1，

I1max-12,•-•以'

数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用

研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分

类讨论.

例设函数兀0=/—2x+2,xG[r,z+1],rGR,求函数的最小值.

解贝*)=/-2%+2=。-1)2+1,xG[t,r+1],/GR,函数图象的对称轴为x=l.

当r+lWl,即rWO时，函数图象如图(1)所示，函数式x)在区间上，r+1]上为减函数,

所以最小值为用+1)=尸+1；

当即0<r<l时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x=l处取得最小值，最小值为犬1)=1；

当时，函数图象如图(3)所示，函数y(x)在区间[t,t+1]上为增函数，所以最小值为yw=F-2f+2.

N+l,W0,

综上可知，兀V)min=«1，O<Z<1,

7-2r+2,

1.幕函数丫=兀0经过点(3,小),则凡0是()

A.偶函数，且在(0,+8)上是增函数

B.偶函数，且在(0,+8)上是减函数

C.奇函数，且在(0,+8)上是减函数

D.非奇非偶函数，且在(0,+8)上是增函数

答案D

解析设黑函数的解析式为产将（3,小）代入解析式得3。=小，解得.•.尸X2，故选D.

2.幕函数>=》”「7，"（,〃wz）的图象如图所示，则，〃的值为（）

A.0B.1

C.2D.3

答案C

解析•.5=》谓一4，"⑺eZ）的图象与坐标轴没有交点，

・••加2—4m<0,即0<m<4.

又・・•函数的图象关于），轴对称且相£Z,

nr—^m为偶数，.\m=2.

3.若塞函数1幻=（加一4"?+4）•力/—6"?+8在（0,+8）上为增函数，则勿2的值为（）

A.1或3B.1

C.3D.2

答案B

解析由题意得〃於一4加+4=1,加一6〃7+8>0,

解得m—\.

4.若命题“加―2办+3>0恒成立"是假命题，则实数。的取值范围是（）

A.。<0或B.或

C.〃<0或。>3D.0<tz<3

答案A

解析若or2—2ax+3>0恒成立，

。>0,

则。=0或，可得0<〃<3,

/=4cP—1为<0,

故当命题“ox2—2ax+3>0恒成立"是假命题时，〃<0或a23.

5.已知a,h,c£R,函数火幻=奴2+法+心若40)=/(4)次1),则()

A.a>0,4a+b=0B.。<0,4“+。=0

C.a>0,2a+6=0D.a<0,2a+b=0

答案A

解析由火0)=犬4),

得./(x)=ar2+6x+c图象的对称轴为x=S=2,

：.4a+b=0,

又旭)/D，7(4)41)，

.7/(x)先减后增，于是”>0,故选A.

6.已知函数式外=一/+2依+1—a,x£[0,l]有最大值2,则“等于()

A.2B.0

C.0或一1D.2或一1

答案D

解析函数/(x)=-N+2ar+1—a=—(x—”>+浮―”+],其图象的对称轴方程为x=a.当”<0时，火x)max=/(0)

—1~a,所以1~a—2,所以a——\；当OWaWl时，y(x)max=7C<0=a2—a+1,所以a2—a+1—2,所以a2—a

—1=0,所以4=号一(舍去)；当”>1时，火X)max=_/U)=a,所以〃=2.综上可知，4=-1或4=2.

7.己知人》)=*,g(x)=x2,h(x)=x2,当0<x<l时，火x),g(x),〃(x)的大小关系是.

答案h(x)>g(x)>J(x)

解析分别作出y(x),g(x),〃(x)的图象如图所示，

可知〃(x)>g(x)次X).

8.已知二次函数y=/(x)的顶点坐标为(一I，49),且方程4x)=0的两个实根之差的绝对值等于7,则此二次函数

的解析式是.

答案«r)=-4/-12x+40

解析设贡x)=a(x+|〉+49(aW0),

方程4+|)2+49=0的两个实根分别为制，及，

则比一词=2

所以Q=-4,所以汽幻=-4/—12X+40.

9.己知函数")=/-(a-l)x+5在区间弓，1)上为增函数，那么<2)的取值范围是.

答案［7,+8)

解析函数式x)=f—(a—l)x+5在区间Q,1)上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴

或与直线x=：重合或位于直线x=：的左侧，即应有写学，解得“W2,所以人2)=4—(a—1)义2+527,即共2)27.

10.设函数y(x)=一正+4元在区间［小，网上的值域是［—6,2］,则加+〃的取值范围是.

答案［0,4］

解析令凡¥)=-6,得X=-1或x=3；令兀x)=2,得x=l.又«¥)在［-1,1］上单调递增，在［1,3］上单调递减，.・・

当机=-1,〃=1时，〃?十〃取得最小值0；当〃7=1,〃=3时，次+〃取得最大值4.

11.(2023•河南南阳一中月考)已知函数人1)=X2+如一1,若对于任意工£［/及，机+1］,都有段)<0成立，则实数相

的取值范围是.

答案(—察0)

解析因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足

fljn)=—+加2—1<。，

j［nr+l)=(m+l)2+/7?(n?+1)—1<0,

解得-专vm〈0.

12.已知函数於)=/+(24—l)x—3.

(1)当a=2,xG[-2,3]时,求函数兀v)的值域；

(2)若函数/(x)在[—1,3]上的最大值为1,求实数a的值.

解(1)当a=2时，y(x)=x2+3x—3,[—2,3],

函数图象的对称轴为x=—；e[-2,3],

.*.Xx)min=y(-|)=^-|-3=-y,

.大X)max=A3)=15,

-21"

的值域为[一丁，15.

2a-1

(2)函数图象的对称轴为直线x=——7一.

①当一2\&1，即a》一T时，Xx)max=A3)=6〃+3,

；.6a+3=l,即。=一;，满足题意；

②当一W>1,即a<一义时，

Ax)max=J(-1)=-2。-1,

—2a—1=1,即a=-1,满足题意.

综上可知，Q=-g或一1.

13.如图是二次函数y=加+版+c(aWO)图象的一部分，图象过点4(—3,0),对称轴为x