高中数学函数中易混问题-11对

函数中易混问题一11对

函数是高中数学中最重要的概念之一.在处理函数有关问题时，有些概念容易混淆，若

不能理解概念的本质，就会产生错误.本文针对函数中容易混淆的十一对问题加以剖析并举

例说明.

一、定义域与值域

例1.（I）若函数^=也（°/+2芯+。）的定义域为R,求实数”的取值范围.

（II）若函数丁=也（"/+2*+。）的值域为五，求实数a的取值范围.

分析：（I）若函数^=电（&/+2芯+。）的定义域为又，就是无论x为何实数，

ax2+2x+a>0永远成立.令£（x）=ax?+2x+a,则“X）的图象始终在x轴的上方,

因此，就有a>0且△=4-442<0,从而，a>l.

（II）若函数V=+2x+a）的值域为五，就是"X）=ax?+2x+a应该取遍一切

正的实数，也就是集合&♦是值域的子集.当。=0时，"x）=2x,它的值域是又，

符合要求：当。>0时，只要4=4-442之0就能保证集合是"x）值域的子集，解

得0〈a41；a<0时不合要求.故实数a的取值范围是［0』.

评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合.

二、定义域与有意义

例2.（I）已知函数=（X）=J&X-2的定义域为［3,+8）,求实数a的取值范围.

（II）已知函数=（X）=Jax-2在区间［3,+8）上有意义,求实数a的取值范围

分析：（I）因为函数/（X）=m-2的定义域为♦，田）,所以不等式ax-220的解集

_2

是［3,+8）,于是，芯=3是方程ax-2=0的根，代入求得3.

（II）因为函数"。）=在区间［3中。上有意义,所以，不等式ax-220对

、222n、2

roi、a2一Ci、—e（0,一1"之一

xe［3,m）恒成立，即x对xe［3,+oo）恒成立，而芯3,即3.

评注：若,（，）在舷上有意义，则M是函数y（X）定义域的子集.

三、值域与函数值变化范围

例3.（I）若函数/（乃=2'+3-1»+。的值域为［1,+8）,求实数a的取值范围.

(II)若函数/")=2x2+3-l)x+a的值恒大于或等于],求实数a的取值范围.

分析：(I)因为函数，(x)=2_+(a_l)x+a,所以

//、8a_(«-1)2—a24-1Oa—1.—LJ24-10a—1

/⑶5=———―=-----------[-----------,+<»)

88，即的值域为8，于

-a24-10a-11

------------=1

是有8,解得a=1或4=9.

(II)因为函数/。)之1恒成立，即2，+3一l)x+(a-1)之°恒成立，因此有

△=3-1>一42(。-1)=°恒成立，解得1工建9.

评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于1,是指函数

值在[1,+00)内，并非要求取遍口伸)内的每-个值.

四、主元与次元

例4.(I)对于任意的矛€[0,4],不等式，+0xN4x+a-3恒成立，求实数a的取值

范围.

(II)对于任意的xe[0,4],不等式x?+ax之4x+a-3恒成立，求实数x的取值范围.

分析：(I)原来的不等式可以转化为/。)=/+(。_4)*_&+320对于工父0,4]恒

成立；按对称轴分下面三种情况讨论：

-£zl<o

i)当2时，即aN4时，只要/(0)=-a+3*°,即a£3,此时矛盾.

_4_

ii)当2时，即。工一4时，只要/(4)=弘+32°,即。之一1,此时矛盾.

0<上<44(3-a)…4>,0

iii)当2时，即一4<a<4时，只要4，即a=2.

综上，实数4的取值范围似|a=2).

(II)原来的不等式可以转化为了⑷=。-Da+/-4x+330对于ae[0,4]恒成立;

'/(0)=X2-4X+3>0

<

只要/(④5之0即可，于是1/(4)=/-120,解得x«_]或xN3或x=[

评注：构造函数时并不一定要以x为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使

问题简化.

五、有解与恒成立

例5.(I)已知〃x)=k-2卜卜+3|,若恒成立，求实数a的取值范围.

(II)已知〃x)=|x—2卜卜+3,若/(x)>a有解，求实数a的取值范围.

分析：(1)因为了。)>“恒成立，这就要求丁=/0)的图象全部在直线丁=”的上方,

即[/(刈5>a就可，易知[/(刈0=一5,所以，a<-5.

(ID要使/o)>a有解，这就要求y=/a)的图象上有点在直线丁=°的上方即可，

即[/(x)K>a,又[/(刈咏=5,所以，a<5

评注：“有解”是要求某范围内存在x使得不等式成立即可.g(a)<」(©有解

<=>g(a)<[/(切1Mx,g(a)>/(x)有解=g(a)>"。)]修.

“恒成立”要求对某范围内任意的X,不等式都成立.g3)</(x)恒成立=g(a)<L/(X)]iidn,

g(a)>/(x)恒成立Qg(a)>[/(x)]1MX

六、单调区间与区间单调

例6.(I)若函数/3)=苫2-(3°-1)*+/在区间口,用)上单调递增，求实数4的取

值范围.

(II)若函数/一(3。-1)工+/单调递增区间是[1,+8),求实数a的取值范围.

分析：(D/。)=/一(3"-1)工+1在区间口,+0))上单调递增，那么，对称轴

x—_3_a__-_\£八]

2—,解得a/1.

如一1.3a-1.

〃、x=------、[-----,+oo)

(II)图象的对称轴是2,那么，/(X)的单调递增区间为2,

13a-1

1=

于是就有2,解得a=l.

评注：若函数,(X)在区间次r上具有单调性，则在M的任一子区间上,(X)具有相同的单调性，

而单调区间是具有单调性的最大区间.

七、某点处的切线与过某点的切线

例7.(D求曲线丁=2、一/在点工(1,1)处的切线方程.

（ID求曲线丁=2x一/过点“（1,1）的切线方程.

分析：（I）由y=2x_/得_/=2_3，，"1x7=7,所以曲线在点幺（1，1）处的切线

方程为y_i=_"_i）,即矛+丁-2=0.

（II）设切点为尸（瓦，2与一X；）,又/=2_3/,所以切线斜率为"lx/=2-3H，则

曲线在尸点的切线方程为y—（2xo-x；）=（2-3x；）5—x。）,又“（LD在切线上，于是就

__1

有1—（2丽-丽）=（2-3x（））（1-而），即2工；-3君+1=0,解得，。=1或2.

当*0=1时，切点就是力（1，1）,切线为x+y-2=o；

x0=--/Ii=J＜，，c

当2时，切点就是28,切线斜率为“下4,切线为5工一"-1=0

评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线

的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一.

八、对称与周期

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例8.（D若函数了口）对一切实数x都有22，且了（-1）=4,求

31

〃3）.（ID若函数/@）对_切实数x都有5）,且/（-1）=4,求

/（3）.

分析：⑴因为对于一切XC&,都有",gp/（O=/（2-i）＞teR

恒成立，那么就有y=/（x）的图象关于直线x=l对称，所以，/（3）=/（-1）=4.

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、/（x+-）=/（X--）人、

（H）因为函数对一切实数x都有22,那么就有丁=了@）是周

期函数且7=2,贝ij/0）=」（-1）=4.

评注：若函数/@）对_切实数x都有/（X+&）=/0一幻，则有的图象关于直线

a

x=

2对称.若函数/（入）对一切实数x都有了（x+a）=/（x—A）（a=一“），则有

1y=/(x)是周期函数，且其中一个周期为7=a+%

九、中心对称与轴对称

例9.(I)若函数/0)对一切实数/都有/0+8)=/(-2_乃，且*之3时有

/(x)=x2-7x+4求/(x)解析式

(II)若函数/。)对一切实数x都有了(入+8)=_/(-2-x),且xN3时有

/(x)=?-7x+4求•/(")解析式.

分析：(I)若函数」。)对一切实数芯都有了"+8)=/(一2-乃，则有丁=/(x)的图

象关于直线x=3成轴对称；又x?3时有/。)=/-7工+4：所以x<3时，有

-x+6>3,/(x)=/(6-x)=(6-工尸一7(6-x)+4=/一5X一2；

“、x2-7x+4(xN取

了㈤解析式为-5x-2(x<3).

(H)函数/(X)对一切实数x都有了(x+8)=-/(-2-x),那么/CO的图象关于点

(30)成中心对称；又x23时有一7"4；所以为<3时，有一x+6>3，

/W=~/(6-x)=-[(6-x)2-7(6-x)+4]=-x2+5x+2解析式为

X2-7X+4(X>3),

/(X)=5。

[-x24-5x4-2(x<3).

_笆,0)

评注：函数〃X)对一切实数了都有了(x+a)=一『("一")，那么'(X)的图象关于点2

成中心对称.

十、xeM时/(x)Mg(x)恒成立与天卜工2e河时Xg(M)恒成立

例10.⑴已知函数70)=8/+16工-。，g(x)=2/+5/+4x(a为实数),若

对于任意的xH—3,3],都有」(x)"g(x)成立，求实数a的取值范围•

(II)已知函数/。)=8/+16工_。，g(x)=2x3+5x2+4x(白为实数)，若对于任意

的々，町e[-3,3],都有/(々)二8(4)成立，求实数a的取值范围.

分析：⑴设双工)=g(x)_〃x),则处x)=2/_3x?-12x+a；于是，对于任意的

，e［-3,3］时，〃（x）20恒成立,即囱切间20；容易知道［攵⑶］111kl=-45+。之°,

故a245.

（H）对于任意的和向©3,3］,都有了（々）Wg（M）恒成立,等价于当x©1-3,3］时，

u（x）k<亚（切0；容易求得［g（x）kin=-21,U（