高中数学：必修2 2. 2 直线、平面平行的判定及其性质

2.2直线、平面平行的判定及其性质

一、直线与平面平行的判定定理

_平面外—一条直线与此平面内的一条直线—_平行―则该直线与

语言文字

此平面平行

a

图形语言

符号语言aUa,bua,Ka//b=>a//a

作用证明直线与平面____平行__________

二、平面与平面平行的判定定理

一个平面内的两条一相交______直线与另一个平面一平行一，则这两个

语言文字

平面平行

/—/

图形语言

符号语言aup,bu/J,__ab相交于p______,a//a,b//a=^a//p

作用证明两个平面____平行______

三、直线与平面平行的性质定理

(1)自然语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与

此平面的交线与该直线平行.

(2)图形语言：如图.

(3)符号语言：a//a,aa/3,a^\/3=a//b.

(4)直线与平面平行的性质定理的作用

①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平

面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.

②作为画一条直线与已知直线平行的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内

画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是

所要画的直线.

四、平面与平面平行的性质定理

(1)自然语言：如果一两个平面平行—同时和第三个平面____相交，那么它

们的交线平行.

(2)图形语言：如图.

（3）符号语言：a〃/3,any=a,pny=b=a〃b.

1.已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个

平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能

是相交直线.

2.应用该定理证明线线平行.

五、两个平面平行的其他性质

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.

（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等.

（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.

1.直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定；

2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线

K一重点线平行；

3.掌握平面与平面平行的性质定理，并会应用性质定理解决问

题.

1.线面平行、面面平行的综合应用；

K—难点2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系

的相互转化.

1.忽略线面平行、面面平行的判定定理使用的前提条件；

K一易错

2.忽略定理的必备条件致误.

1.直线与平面平行的判定

应用判定定理证明线面平行的步骤:

在平面内找到或作出一条

与已知直线平行的直线

证明已知直线平行于找到

（作出）的直线

便%一|由判定定理得出结论

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质;

利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.

【例1】如图所示，在三棱柱ABC—45G中，=点。是A8的中点，求证:

BCt〃平面CA。.

2.平面与平面平行的判定

平面与平面平行的判定方法有如下三种：

(1)根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.

(2)根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分

别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的

直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行.

(3)根据平面平行的传递性:若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行.

【例2】如图，在长方体ABCD-A'B'C'Ly中，E,F,E',F'分别是AB,CD,A'B\C'D'

的中点.求证：平面AE/77〃平面BCFE.

【名师点睛】利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤：

第一步：在一个平面内找出两条相交直线；

第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；

第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论.

3.线面平行、面面平行的综合应用

在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不

是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的.在解决问题的过程中，要灵活运用平

行关系的判定定理.

【例3】在正方体ABC。一A斤CD中，E,F,G,H分

别为CC,CD,DD',CD的中点，N为8c的中点，试

在后居G,“四点中找两点，使这两个点与点N确定一

个平面a且平面a//平面BBDD.

【名师点睛】由平面与平面平行的判定定理知，只需所找的两点与点N构成的直线中,

有两条相交直线与平面平行即可.

4.直线与平面平行的性质定理的应用

应用线面平行的性质定理时，关键是过己知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线

与已知直线平行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系,

即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与

已知直线异面.

【例4】如图，在三棱柱ABC-4用G中，点E,尸分别是棱CG,881上的点，点M

是线段AC上的动点，EC=2FB=2,若MB〃平面AEF,试判断点M的位置.

5.平面与平面平行的性质定理的应用

利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤：

(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条;

(2)判定这两个平面平行；

(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；

（4）由定理得出结论.

【例5】已知三个平面a、/?、y满足a〃夕〃），，直线。与这三个平面依次交于点4、B、C,

Afipp

直线b与这三个平面依次交于点E、F、G.求证：——=——.

BCFG

【名师点睛】①当a与b共面时，有AE//BF//CG.上述证明过程也是正确的，只是此时B、

H、尸三点共线.

②连接CE，可同理证明.

③当a与〃异面时，可过A（或B、C）作〃的平行线或过E（或F、G）作。的平行线，

再利用面面平行的性质定理可证得结论.

以上思路都遵循同一个原则，即“化异为共”.

6.直线、平面平行的综合应用

在立体几何中，线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化.一般地，证明线面

平行可以转化为证明线线平行；证明面面平行可以转化为证明线面平行；证明线线平行

可以利用线面平行或面面平行的性质定理来实现.

【例6】如图，AB是圆。的直径，点C是圆。上异于4,B的点，直线PC,平面ABC,

E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为/,试判断直线/与平面

P4C的位置关系，并加以证明.

7.忽略定理使用的前提条件致错

【例7】如果两条平行直线a,6中的。〃a,那么匕〃a.这

个命题正确吗？为什么？

【错解】这个命题正确...Z〃a,...在平面a内一定存在一条直线c,使a〃c.

又,：aHb,：.b//c,：.h//a.

【错因分析】忽略了bua这种情况，从而导致错误，本题条件中的直线匕与平面a有两

种位置关系：6〃a和bua.

【正解】这个命题不正确.若bg,•；a〃a,...在平面a内必存在一条直线c,使。〃c.

又YaMb,：.bHc,：.b〃a.若bua,则不满足题意.

综上所述，。与a的位置关系是，〃a或Z?ua.

【易错警示】错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必

须是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行.

8.对平面与平面平行的性质定理理解不正确，忽略“第三个平面”这一条件

【例8】如图，a〃6AB,C。是夹在平面a和平面”间的两条线段，则AC所在的直线

与BD所在的直线平行，这个说法正确吗？

【错解】这个说法正确.

【错因分析】忽略了A8,CO可能异面的情况.当A3,CZ）异面时，AC与8。不平行.

【思路分析】AB,CD共面时，AC/ZBDiAB,CC异面时，AC///3,但AC与8。不平

行.同理BO〃a,但8。与AC不平行.

【正解】这个说法错误.

【易错警示】使用定理证明或判断线线平行和线面平行时，一定要注意定理成立的条件，

缺一不可.

1.A,b,。为三条不重合的直线，a,夕，y为三个不重合平面，现给出六个命题

IIc③a，，］

①=>a//b.②"叼=a〃b,=1〃p,

b/lc\Hr.Pile}

④仍⑥a/"

>=a〃夕,⑤>=>a//a,>=a〃a,

PUYaHeaUY

其中正确的命题是（C）

A.①②③B.①④⑤C.①④D.①③④

2.在正方体中，与平面ACGAi平行的棱共有（A)

A.2条B.3条C.4条D.6条

3.已知直线a,b,平面a,满足aua,则使6〃a的条件为（B)

A.b//aB.b//aS.bdaC.a与b异面D.a与b不相交

4.如图，四棱锥P-A8C。中，M,N分别为AC,PC上的点，且MN〃平面PAO,则（B）

A.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

5.直线，”与平面a平行的充要条件是（A）

A.直线山与平面a没有公共点B.直线机与平面a内的一条直线平行

C.直线m与平面a内的无数条直线平行D.直线m与平面a内的任意一条直线平行

6.平面a与平面夕平行的条件可以是（B）

A.a内有无穷多条直线与夕平行B.a内的任何直线都与夕平行

C.直线a在平面a内，直线b在平面夕内，且a〃夕，b//a

D.直线a〃a,直线“〃万

7.下列条件中，能得到两个平面平行的条件是（C）

A.有一条直线与这两个平面都平行B.有两条直线与这两个平面都平行

C.有一条直线与这两个平面都垂直D.有一条直线与这两个平面所成的角相等

8.如图所示，三棱柱ABC-48iG，。是BC的中点，口是81cl的中点.求证:

(I)48〃平面ACiD；(2)平面Ai8Di〃平面ACQ.

（1）山题意，ABC-481G是三棱柱，连接AC,与AG交于0,

连接。。，可得40〃。。,平面AG。，4困平面AG£）,

二4山〃平面AGO.（2）由（1）可知A山〃。0,。是2C的中点，

。是BiC的中点.：.D\B//C\D,,:DO、GOu平面AGO,DO

nC\D=D,

9.如图，在四棱锥P-A8CZ）中，PDmABCD,底面ABC。为菱形，.点分E,F,G,

“别是棱AB,CD,PC,PB上共面的四点，且BC〃E『.

A.若平面内有两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则两个平面平行

B.平行于同一平面的两个平面平行

C.如果平面内有无数条直线都与平面平行，则两个平面平行

D.如果平面内任意一条直线都与平面平行，则两个平面平行

11.过三棱柱ABC-AiBiG的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBA平行的直线共

有（B）

A.4条B.6条C.8条D.12条

12.如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱

13.如图，在四棱锥E-4BC。中，AB//CD,且AB=2C。，尸为BE的中点.

证明：FC〃平面AQE.

14.三棱柱4BC-A1SG中，若D为BBi上一点,M为A8的中点，N为BC的中点.求证:

MN〃平面ACQ.

三棱柱ABC-AiSG中，M为45的中点，N为

BC的中点，C.MN//AC,又4C〃4G，

.'.MN〃4G，又MMI面ACiZZAGu面MCQ,

〃面AiCQ.

15.如图，在空间四面体A8CQ中，若E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.

(2)求证：8c〃平面EFGH.

(1):在空间四面体A8C。中，E,F,G,H分别是A8,

BD,CD,AC的中点，：.EF//^AD.EF=3AD,GH

〃(A。，GH=^AD,J.EF//GH,EF=GH,

...四边形EFGH是平行四边形.

(2)'：E,“分别是AB、AC的中点，J.EH//BC,

；EHu平面EFGH,3a平面EFGH,

.•.8C〃平面EFGH.

16.如图，已知正方体中，M是AAi的中点，N是88的中点.

求证：平面MDBi〃平面4VC.

17.如图，已知四棱锥尸-4BC。中，底面ABC。为平行四边形，点M,N,Q分别是PA,

BD,的中点上，

(1)求证：MN//PC；(2)求证：平面MNQ〃平面PBC.

(1)由题意：P-ABCD是四棱锥，底面48co为平行四边形，

点、M,N,。分别是PA,BD,的中点上，连接AC,

是AC的中点MN是三角形AC尸的中位线，...MN〃尸C.

(2)由(1)可得MN〃PC.VM,Q分别在PA,PC的中

点上，是三角形尸的中位线，二”。〃尸8.

由MQ//PB,MN//PC,PBu平面PBC,PCu平面PBC,

PBCPC=P,同理MQu平面MNQ,MM=平面MNQ,MQ

CMN=M.平面MNQ〃平面PBC.

18.如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点,

则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（A）

D

19.在平行六面体A3CO—A4Go中，AA,=AB,A4_14G.

求证：A8〃平面A与C；.

Di_____________r

在平行六面体中，AB//A\B\.因为A8&平面ABC