直线与平面平行的性质

直线与平面平行的性质一、教学目标1.知识与技能目标理解直线与平面平行的性质定理，并能用文字、符号和图形语言准确表述该定理。能够运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题，进一步培养学生的逻辑推理能力。2.过程与方法目标通过对直线与平面平行性质定理的探究，让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，体会数学探究的一般方法。借助实例和直观模型，引导学生观察、分析直线与平面平行的性质，逐步培养学生的空间想象能力和抽象概括能力，提高学生运用图形语言进行交流的能力。3.情感态度与价值观目标通过创设问题情境，激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极探索、勇于创新的精神和严谨的科学态度。在小组合作探究过程中，培养学生的团队合作意识，让学生体会数学知识在实际生活中的广泛应用，感受数学的魅力。

二、教学重难点1.教学重点直线与平面平行的性质定理的理解与应用。2.教学难点直线与平面平行的性质定理的证明及应用该定理解决相关问题时，如何找到合适的辅助线或辅助平面，实现线面平行与线线平行的转化。

三、教学方法1.讲授法通过清晰、准确的语言，向学生讲解直线与平面平行的性质定理的概念、内容、证明思路等基础知识，使学生对所学内容有初步的认识。2.直观演示法利用多媒体课件、实物模型等直观教具，展示直线与平面平行的各种实例和图形，帮助学生直观地理解直线与平面平行的性质，增强学生的感性认识，为理性认识奠定基础。3.问题驱动法设置一系列具有启发性的问题，引导学生思考、探究直线与平面平行的性质，激发学生的学习兴趣和主动性，培养学生的思维能力和探究精神。4.小组合作探究法组织学生进行小组合作学习，让学生在小组中共同探讨直线与平面平行的性质定理的证明及应用，通过交流、讨论，相互启发，培养学生的合作意识和创新能力。

四、教学过程

（一）复习导入1.回顾直线与平面平行的判定定理教师提问：直线与平面平行的判定定理是什么？学生回答：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。教师用符号语言和图形语言表示判定定理：符号语言：\(a\not\subset\alpha\)，\(b\subset\alpha\)，且\(a\parallelb\Rightarrowa\parallel\alpha\)图形语言：（画出相应图形）2.思考问题教师提出问题：如果一条直线\(a\)与平面\(\alpha\)平行，那么直线\(a\)与平面\(\alpha\)内的直线有怎样的位置关系？学生思考后回答：直线\(a\)与平面\(\alpha\)内的直线可能平行，也可能异面。教师进一步提问：在什么条件下，直线\(a\)与平面\(\alpha\)内的直线平行呢？引出本节课的主题直线与平面平行的性质。

（二）新课讲授1.直线与平面平行的性质定理的探究教师展示长方体模型（如图所示），引导学生观察：直线\(A_1B_1\)与平面\(ABCD\)平行，在平面\(ABCD\)内，哪些直线与直线\(A_1B_1\)平行？学生通过观察长方体模型，容易发现直线\(A_1B_1\)平行于平面\(ABCD\)内的直线\(AB\)、\(CD\)等。教师提出问题：直线\(A_1B_1\)与平面\(ABCD\)内的直线\(AB\)平行，除了直观观察，你能从理论上证明吗？让学生分组讨论，尝试证明直线\(A_1B_1\parallelAB\)。教师巡视各小组的讨论情况，对有困难的小组进行指导。各小组代表发言，展示证明思路：学生可能的证明思路：利用线面平行的定义，证明直线\(A_1B_1\)与直线\(AB\)没有公共点。因为直线\(A_1B_1\parallel\)平面\(ABCD\)，所以过直线\(A_1B_1\)作平面\(\beta\)与平面\(ABCD\)相交于直线\(AB\)，根据线面平行的性质，可得\(A_1B_1\parallelAB\)。教师总结学生的证明思路，给出完整的证明过程：已知：\(a\parallel\alpha\)，\(a\subset\beta\)，\(\alpha\cap\beta=b\)求证：\(a\parallelb\)证明：因为\(\alpha\cap\beta=b\)，所以\(b\subset\alpha\)又因为\(a\parallel\alpha\)，所以\(a\)与\(b\)无公共点而\(a\subset\beta\)，\(b\subset\beta\)，所以\(a\parallelb\)2.直线与平面平行的性质定理的内容及表示教师引导学生根据上述证明过程，总结直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。教师用文字语言、符号语言和图形语言表示该定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。符号语言：\(a\parallel\alpha\)，\(a\subset\beta\)，\(\alpha\cap\beta=b\Rightarrowa\parallelb\)图形语言：（画出相应图形）3.对直线与平面平行的性质定理的理解教师提出问题，引导学生思考：定理中有哪些条件？结论是什么？定理的作用是什么？如何应用该定理解决问题？学生思考后回答，教师总结：条件：直线\(a\)与平面\(\alpha\)平行，直线\(a\)在平面\(\beta\)内，平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)相交于直线\(b\)。结论：直线\(a\)与直线\(b\)平行。定理的作用：实现了线面平行到线线平行的转化，为证明两条直线平行提供了新的方法。应用该定理解决问题的关键：找到过已知直线且与已知平面相交的平面，确定交线，从而得出直线与交线平行。

（三）例题讲解例1：如图，已知直线\(a\parallel\alpha\)，直线\(a\parallel\beta\)，平面\(\alpha\cap\beta=b\)，求证：\(a\parallelb\)。1.分析题目教师引导学生分析题目条件：已知直线\(a\parallel\alpha\)，\(a\parallel\beta\)，平面\(\alpha\cap\beta=b\)，要证明\(a\parallelb\)。让学生思考如何利用直线与平面平行的性质定理进行证明。2.证明过程教师给出证明过程：因为\(a\parallel\alpha\)，过\(a\)作平面\(\gamma\)与平面\(\alpha\)相交于直线\(c\)，则\(a\parallelc\)。又因为\(a\parallel\beta\)，过\(a\)作平面\(\delta\)与平面\(\beta\)相交于直线\(d\)，则\(a\paralleld\)。所以\(c\paralleld\)，而\(d\subset\beta\)，\(c\not\subset\beta\)，所以\(c\parallel\beta\)。又因为\(c\subset\alpha\)，\(\alpha\cap\beta=b\)，所以\(c\parallelb\)。又因为\(a\parallelc\)，所以\(a\parallelb\)。3.总结解题思路教师总结解题思路：利用直线与平面平行的性质定理，通过作辅助平面，得到与已知直线平行的直线。再根据平行公理，证明相关直线平行，从而得出结论。强调在解题过程中，要注意线面平行与线线平行的相互转化，合理运用定理和公理。

例2：如图，在三棱锥\(PABC\)中，\(E\)、\(F\)分别是\(PA\)、\(PC\)的中点，过\(EF\)作平面\(\alpha\)，分别交\(PB\)、\(BC\)于点\(G\)、\(H\)，求证：\(EF\parallelGH\)。1.分析题目教师引导学生分析题目条件：已知\(E\)、\(F\)分别是\(PA\)、\(PC\)的中点，所以\(EF\parallelAC\)。平面\(\alpha\)过\(EF\)且与平面\(PBC\)相交于\(GH\)。要证明\(EF\parallelGH\)。让学生思考如何利用直线与平面平行的性质定理证明\(EF\parallelGH\)。2.证明过程教师给出证明过程：因为\(E\)、\(F\)分别是\(PA\)、\(PC\)的中点，所以\(EF\parallelAC\)。又因为\(EF\not\subset\)平面\(PBC\)，\(AC\subset\)平面\(PBC\)，所以\(EF\parallel\)平面\(PBC\)。因为\(EF\subset\alpha\)，\(\alpha\cap\)平面\(PBC=GH\)，所以\(EF\parallelGH\)。3.总结解题思路教师总结解题思路：先利用三角形中位线定理证明\(EF\)与平面\(PBC\)内的一条直线平行，从而得到\(EF\)与平面\(PBC\)平行。再根据直线与平面平行的性质定理，得出\(EF\)与交线\(GH\)平行。强调在证明过程中，要注意中位线定理和直线与平面平行性质定理的综合运用。

（四）课堂练习1.已知直线\(l\parallel\)平面\(\alpha\)，直线\(m\subset\alpha\)，则直线\(l\)与直线\(m\)的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行或异面2.如图，在正方体\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)是\(DD_1\)的中点，则\(BD_1\)与平面\(ACE\)的位置关系是______，直线\(BD_1\)与直线\(AC\)的位置关系是______。3.如图，已知\(AB\parallel\alpha\)，\(AC\parallelBD\)，\(AC\)、\(BD\)与平面\(\alpha\)分别相交于点\(C\)、\(D\)，求证：\(AC=BD\)。

（五）课堂小结1.教师引导学生回顾本节课所学内容，包括直线与平面平行的性质定理的内容、证明及应用。2.让学生总结本节课的学习收获，如：理解了直线与平面平行的性质定理，掌握了其文字语言、符号语言和图形语言的表示。学会了运用直线与平面平行的性质定理证明线线平行问题，体会了线面平行与线线平行之间的相互转化。通过例题和练习，提高了逻辑推理能力和空间想象能力。3.教师对学生的总结进行补充和完善，强调重点知识和解题方法，鼓励学生在课后继续巩固和拓展所学知识。

（六）布置作业1.书面作业：教材第[具体页码]页练习第[具体题号]题，习题[具体章节]第[具体题号]题。2.拓展作业：如图，已知\(a\parallel\alpha\)，\(a\)与\(\alpha\)之间的距离为\(d\)，\(b\subset\alpha\)，且\(a\)与\(b\)异面，\(a\)与\(b\)所成的角为\(\theta\)，求\(a\)与\(b\)之间的距离。思考：如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线有什么位置关系？并证明你的结论。

五、教学反思在本节课的教学中，通过复习直线与平面平行的判定定理，引导学生思考直线与平面平行后直线与平面内直线的位置关系，自然地引出了直线与平面平行的性质定理。在定理的探究过程中，借助长方体模型，让学生直观地观察、分析，然后通过小组合作讨论，尝试证明，培养了学生的探究能力和合作精神。在例题讲解