有理数单元讲义

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号.

学员编号：年级：六年级课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

课题有理数单元

授课时间：

教学内容

本次课学习内容

有理数

一、知识要点：

要点1:正数、负数的概念

像5；8；2.4；；n；等大于0的数叫正数.

像一1；—5.2；—-7；―冗等在正数前面加上“一”号的数叫负数.

3

注意：零既不是正数也不是负数一一零是正数和负数的分界：零和正数又可以称为非负数.

要点2：有理数的概念

整数和分数统称为有理数，即“整数和分数统称有理数”.

注意：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的分数，这时分数包括整数。本章中的分数是指不

包括整数的分数。

（2）小数和分数的关系：分数都可以化成小数（有限小数或无限循环小数）；小数中的有限小数和无限循环小数

可以化成分数，都是有理数。无限不循环小数化不成分数，不是有理数，如北等。

要点3：有理数的分类

（1）按表示形式分类：

「正整数〕

卜自然数（也叫非负整数）

「整数0J

1负整数

有理数＜

「正分数

1分数

有限小数和无限循环小数是分数，如：3.14是分数

负分数

(2)按符号分类：

「正整数

「正有理数Y

A非负有理数

-正分数

有理数《零

；负整数

-负有理数一

I负分数

负整数和零也叫非正整数；正数中含有正有理数；但正数不一定都是有理数；如n是正数，但不是有理数，当然

也就不是分数。区分正数和整数的概念。

如果我们把整数看成是分母为1的分数，那么在这个意义下，所有的有理数都是分数.

二、例题讲解:

例1：如果把收入50元记作50元，那么下列各数分别表示什么意义？

(1)20元；(2)2.5元；(3)—80元；(4)0元.

例2：如果6摄氏度用6°。表示，那么零下4摄氏度如何表示？

例3：把下列各数填在相应的集合中：

1221,

5；-2；-0.3；-；0；-一；5.57；-1-；n；102；-78；-10\

476

属于正数集合的有：；属于整数集合的有：

属于分数集合的有：;属于负数集合的有：

属于正整数集合的有：;属于非正整数集合的有：

属于有理数集合的有：；既不是正数，又不是负数的有：.

例4：填空：

(1)如果温度上升6℃记作6℃,那么下降39记作。

(2)如果向南走8米，记作一8米，那么向北走15米应记作；那么向北走一6米表示向____走米。

(3)最小的正整数是；最大的负整数是;最小的非负整数是;最大的非正整数是—

例5：判断题：

(1)用字母。表示一个数，这个数一定是正数()

(2)土是分数()

2

(3)自然数都是整数，整数也就是自然数()

(4)有理数都可以表示成分数巴的形式，其中〃功都是整数人工0()

b

例6：回答下列问题：

(1)1是不是整数？是不是分数，是不是有理数呢？

(2)0是不是整数？是不是分数，是不是有理数呢？

(3)最小的整数有没有？最小的正整数有没有？

例7：A地海拔高度是20米，B地海拔高度是50米，C地海拔高度是一5米，D地海拔高度是一20米，那么这四

个地方中，哪个地方最高？哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少米？

例8：某校对初三男生进行引体向上测试，以能做7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示,

其中10名男生的成绩如下表:

2-1031-2102

3

(1)这10名男生有百分之几达到标准？

(2)他们共做个多少个引体向上？

数轴

一、知识要点：

要点1：数轴的概念

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴的定义包含三层含义：

(1)数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；

(2)数轴有三要素一一原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；

(3)原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的

(通常取向右为正方向)。

~6-5-4—3—2—10123456

要点2：数轴的画法

（1）画一条育线（一般而成水平的音线〔

（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。

（3）确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。

（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1,2,3……；

从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为一1,—2,—3......

注（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；

（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点，从原点向右，依

次表示为2,4,6,......；从原点向左，依次表示为-2,—4,-6,........；

要点3：数轴上的点与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上的点表示。

正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。

要点4：利用数轴比较有理数的大小

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

要点5：相反数的概念

（1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

如：4与一4互为相反数，与一互为相反数。

（2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同）.

我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

要点6：相反数的表示方法

一般地，数a的相反数是一a。这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数、或者0。

要点7：多重符号的化简

（1）在一个数的前面添上一个“+”号，仍然与原数相同，如：+5=5,+（-5）=-5。

（2）在一个数的前面添上一个“一”号，即为原数的相反数，如：一（一3）是一3的相反数，即一（-3）=3。

二、例题讲解：

例1：填空题

（1）。的相反数仍是。，则〃二

(2)如果b互为相反数，且。工0出工0,那么，的值是

例2：在卜面给出的数轴中，国的止确的是哪些？并说明回错的原因

-101-10123-2-1012

ABC

-2-1I23-1-2-30I23

DE

例3：用数轴上的点表示2.5,-1-,0,以及它们的相反数

53

4

例4：己知山-《的相反数一2,求加的相反数和倒数

例5：在数轴上表示两数。=2/=-5,则点。与点力之间的距离为

ba

-5-4-3-2-10123456

例6：数a、人在数轴上表示的点如图，比较。、b、一a、一匕的大小

------------111-----------------------►

b-0----〃

例7：在数轴上把数4.5、-2.5、0、-(-1)表示出来，并用“V”号把它们连接起来。

例8：化简(1)+(-5.2)=_(2)-[-(+5)]=_

(3)-{-[-(+2.7)])=(4)-[-(-2.3)]=

例9：如图，在数轴上有A、B、C三个点，请回答:

AI，_

・‘j、■.d・・，，■・1・•:■.

—5-4—3—2—1012345

（1）A、B、C三点分别表示什么数？

（2）将A点向右移动3个单位，C点向左移动5个单位，它们各自表示新的什么数?

（3）移动A、B、C的两个点，使得三个点表示的数相同，有几种移动方法？

例10：文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店西边33米处，玩具店东边90米处，元元

从书店沿街向东走40米，接着又向东走-70米，此时元元的位置在o

甲说：元元在玩具店东边20米处；

乙说：元元在玩具店西边40米处。

甲乙两人无法找到统一的答案，谁也说服不了谁，作为同学的你，能否用一个简明有效的方法帮助他们解决

纷争呢？

三、课堂练习：

1、填空：

（1）数轴上表示数-3的点在原点的边，离原点个单位长度：表示数2.5的点在原点的边，离

原点个单位长度。

（2）如果一x=7,那么o

（3）比一4大的负整数有；

（4）在数轴上点A表示数1,点B与点A相距3个单位，点B表示数是o

（5）比较下列数的大小（用”填空）

45

—50；•-11110.001

56

1_2

—-•-0.67—3T-3.14

233

2、画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：4,-2,-4.5,1-,0

3

3、如果aVO,-l<Z?<Oo试比较。、ab、的大小。

4、分别写出下列各数的相反数：5、-7、-3->+11.2

2

5、一个数的相反数与其本身的大小关系？

6、某人从A地向东走10米，然后折回向西走3米，又折回向东走6米，问此人在A地哪个方向？距离是多少？

绝对值

一、知识要点：

要点1:绝对值的概念及其表示

（1）一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值.

（2）绝对值的表示：用符号时表示数。的绝对值

（3）互为相反数的两个数的绝对值是相等的

如：-3.5和+3.5在数轴上对应的点分别在原点的左侧和右侧，离原点的距离都是3.5个单位长度，

所以-3.5和+3.5的绝对值都是3.5,记作：卜3.5|=3.5,|+3.5|=3.5

（4）正数和零的绝对值都是它本身；负数的绝对值是它的相反数

（5）一个数的绝对值永远非负

一个数的绝对值的实际意义是这个数在数轴上所对应的点离开原点的距离，因此，任何数的绝对值都是非负数,

不可能是负数

（6）一个数所表示的点离开原点的距离越远.绝对值越大，离开原点的距离越近，绝对值越小

要点2：有理数的大小比较

(1)数轴上的点表示的数字从左到右越来越大，每一个有理数都可以在数轴上用唯一的一个点来表示

(2)任何两个有理数都可以比较大小.在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大.

例如：5>0,0>-4,5>-4.士Lg9———>

(3)正数大于零，零大于负数，正数大于负数.

(4)两个正数中，绝对值较大的正数较大

(5)两个负数中，绝对值较大的负数较小

要点3：绝对值和相反数的关系

(1)互为相反数的两个数的绝对值相等，BP：\-a\=a,

(2)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即：若同=人，则。=匕或。=—b

例如：己知|才=卜3|,那么工=-3或1=3

要点4：绝对值符号的处理

在处理绝对值符号时，要根据绝对值的概念或绝对值的实际意义处理绝对值符号

例如：(1)化简,一4|+乃(2)若x是负数，且忖>3,求x的取值范围

二、例题讲解：

例1：求下列各数的绝对值：

(1)-38；(2)0.15；(3)“a<0)；(4)3/?(。>0)；(5)«-2(«<2)：

例2：判断下列各式是否正确：

(1)H=hl；()(2)-|tz|=|-a|；()

14a(

(3)0)；()(4)若1〃1=1方1，则a=b;()

〃时

(5)若。=人，则|«|=lb1：；()(6)若1aI>1bI,则。>b；()

(7)若则1a|>|z?L；()(8)若则|b-a|=a—Z?.()

例3：比较下列几组数的大小.

一工和一号一！和2(4)」和」

(1)(2)-2-和卜2|

89222)3

例4：计算

53

(1)4-(2)~2+2.4卜(-0.9)(3)|-24|(4)|^-3|+|^-4|

4|-|685

例5：己知。=-5,/=2,c=-8,求3时-2|^|--|-c|

例6：求值

(1)己知上"=6,|/?|=4,并且mv〃，求〃2+〃的值

已知忖=19,1一25|=5,求b+〃的值

已知kT|+|2y_3|=0,求x+y的值

例7：已知lvx<3,求的值

例8：求下列各式中x的值

(2)3-+x=6

⑴H=H2

练习:

1、填空题

13

（1）-4,一1,一2.5,-一,一3士,一15中最大的一个数是________，最小的一个数是________.

104

（2）有理数机〃在数轴上的位置如图，比较大小：一-n,—___—.-----1——,——,——,_>

m〃-1mn0

（3）若|%—1|=0,贝!|x=,若|1一%|=1,贝.

（4）把四个数一2.37,卜2.37|,-2.g3和一2.37%用“V”号连接起来是.

2、选择题

85II

一)

（I）比较三个数一§，"12的大小，下列各式中正确的是（

88115

II855811115---<---<--

A.--<--<-B.--<-—<--C.--<--<9D.9126

12966912126A

⑵如果m>0,〃〈0,加〈时，那么〃儿,一门一力的大小关系（）.

A.-n>m>-m>nB.tn>n>-m>-nC.-n>m>n>-mD.n>tn>-n>-m

(3)一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位长度后，得到它的相反数的对应点，则这个数应是().

A.-2B.2C.2—D.—2—

22

(4)一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离为1』个单位长度，则这个数是().

2

11331313

A.1-或-1上B.-或-巳C.1-或-巳D.-1-或二

22442424

(5)一个数在数轴上对应点到原点距离为加，则这个数的绝对值为().

A.-tnB.mC.±mD.2m

3、解答题

(1)已知a,。,c的位置如图，试化简|a-耳+/一匕|+「一同.

c0aL

(2)已知同一2,忖—5,且试求4,1的值.

(3)比较下列各数的大小：①2和12；②一±_工和0.9

101178

(4)若a>0>b,且数轴上表示。的点到原点的距离大于表示力的点到原点的距离，试把。,一。,4—6这四个数从大

到小排列起来.

(5)若k+2)，|+｝一3|=0,试求21+3y的值.

(6)把-3.5,卜2|,-1.5,|0|,3：,卜3.5|记在数轴上，并按从小到大的顺序排列出来.

j____i_J____1_11

(7)计算:

100~99+ioT-iooW?~99

有理数的加法法则

1、同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加

（3）先向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米?

+5

+2_.-3.

-2-1()12~~3---4---!56

------------—--------->

1-------

(+5)+(-3)=2

（4）先向西走5米，再向东走3米，两次一共向东走了多少米?

-3

+3

-6-5-4-3*m-1)12►

-2

(-5)+(+3)=-2

（5）向东走5米，再向西走5米，两次一共句东走了多少米？

+5

-5

<----------------------------,

(1234J)6、

（+5）+（-5）=0

（6）向西走5米，再向东走0米，两次一共向东走了多少米？

-5

5-4-3-2-1()1

-一----F----------------------JH

（-5）+0=-5

2、异号两数相加，绝对值相等时和为零；

绝对值不相等时，其和的符号取绝对值较大的加数的符号，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的

绝对值所得的差

3、一个数同零相加，仍得这个数。

例如：同号两数相加：(+5)+(+3)=+8；(-5)+(-3)=-8；

异号两数相加：(+5)+(-3)=2：(-5)+(+R)=—2：(+5)+(-5)=0

一数与零相加：(-5)+0=—5

例1、计算(1)(-5)+(-7)；(2)(-3.2)+(+5)。

练习：

计算：⑴卜科啰；v2)+^)；(3)(-7.25)+(+7彳)；

二、有理数加法的运算律

(1)交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即：a+b=b+a

(2)结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即(a+Z?)+c=a+S+c).

三、有理数的减法法则:

减去一个数等于加上这个数的相反数，即:a-b=a-\-[-b]

如：3—7①减号变加号

①II②

=3+(-7)②减数变为相反数

这样加法和减法就统一为加法了.

例2、计算：(1)6-(-6)；(2)0-9；

例3、(1)零下例℃比零上12c低多少？

13

(2)数轴上A,B两点表示的有理数分别是-6—和7—，求A,B两点的距离.

24

四、有理数加、减法的运算顺序

(1)先将减法转化为加法，再根据有理数加法的法则进行运算

(2)没有括号的加减法运算都可以看作是省略加号的和的形式，根据加法的法则进行运算

例4、计算：(+3-(+2)—(一4).

o312

=(+》+(-§+(+j------------------------------遇减化加

=(+—)+(+-)+(~~)-------------------同号相力口

6123

=；+(_；)--------------------取原来加号的符号，再把绝对值相加

=一十----------------异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号

再把绝对值相减

说明先将减法化为加法，注意符号变化时的规则，避免错误.

巩固练习：

(1)16+(-45)+24+(-32)(2)(-2.8)+3+1+(-3)+2.8+(-4)

(3)0.125+2^-+(-2^)+(-0.25)(4)3g+(-5.5)+(—lg)+，+3g)

小结：有理数的乘法法则：

1、两数相乘，同号得正；异号得负，并把绝对值相乘；

2、任何数与0相乘得0.

例2、某地区，夏季高山上的温度从山脚起每升高100米，温度降低0.6℃,已知山脚的温度是24℃,山高800米,

求山顶的温度是多少？

负因数个数01234…2n2n+l…

积的符号+一+一++—

是不是规律？做几题试试：

⑴3X(-5)；⑵3X(-5)X(-2)；⑶3X(-5)X(-2)X(-4)；

(4)3X(-5)X(-2)X(-4)X(-3)；⑸3X(-5)X(-2)X(-4)X(-3)X(-6).

再看两题：⑴(-2)X(-3)X0X(-4)；⑵2X0X(-3)X(-4).

小结：多个有理数相乘的符号法则：

几个不等于零的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时,

积为正，几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.(先定积的符号)

例3、计算：x(_3：)x24

练习：

计算：

1、(-12.5)xO.19x(-8)2、0.12x-----

(46；

4、89条J*和(-4)

3、(-7.33)X42.07+2.07X7.33；

［说明］注意解题步骤，先确定符号后定值；注意乘法运算律的合理使用，能简便运算的要简便运算

例4、计算：⑴35+(-7)(2)(-36)4-(-72)

小结：有理数的除法法则：

两数相除，同号得正；异号得负，并把绝对值相除。

有理数的倒数：1除以一个数所得的商叫做这个数的倒数.

思考：如何求一之的倒数呢？一。(〃工。)的倒数呢？—2(〃工0,4WO)的倒数呢？

4q

［说明］引导学生观察、讨论并说明：若ab=l,则a、b互为倒数；反之，若a、b互为倒数，贝！)〃为=1.

有理数范围内0有没有倒数？

强调0没有倒数.

有理数范围内什么数的倒数等于它本身？

3

例3计算：⑴(-3)x(-1)；(2)(-3)-5-

小结：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

练习：

计算：

(1)(-23+(-5)x(—32)2283

(3)-4-(-2-)——x(-l-)-0.75

2355214

1、填空题

(1)-11加上4的相反数的和是.-12加上-7的绝对值的和是.

(2)若一个数减去-5」所得的差是3,则这个数是______________.

2

⑶若〃＜0,人＞0,并且同＜问，则若0；若。＞O,bvO,并且时＜|小则a+b0

2、选择题

(1)两数相加，如果它们的和小于每一个加数，那么().

A.这两个加数同为正B.这两个加数司为负C.这两个加数一正一负D.这两个加数中有一个为零

(2)若两个有理数的和为正数，则这两个数必定().

A.都是正数B.一正一负C.都是负数D.至少有一个为正数

(3)有理数a,"Gd在数轴上的位置如图，则下列结论中错误的有()个.

①〃+〃<0②c+d>0③|a+d=a+c+=b+d

A.1B.2C.3D.4-I-------------

3、计算b0

(1)Z21)+(—6.6)(3)(-8.6)+f-511+(-1.4)+1*

(a\iiaia(6)4.4—(—0.1)+8；——11：)]

(4)-2--(-4.75)(5)

I4)'42488

(8)(一0.5)-(一3：|+2.75-1+7：

(7)(-53)-(+4.8)+(-3.2)-(-2.5)；

4、解方程：(1)x+1—=—(2)6.5+x=—2.8(3)x—\—=2

I5)3I4,

I91

5、已知。=1一/=一2一,c=3—，求下列各式的值：

254

(1)a-b+c(2)b-c-(-a)

4有理数的乘方：

(1)提问：我们已经学过平方，2?代表什么意思？

(2)乘方及相关概念

〃个用同因数〃相乘，记作

求〃个相同因数。的积的运算，叫做乘方.

乘方是一种运算，乘方的结果叫做鼎.

在丝丝二任"中，相同因数。叫做底数，相同因数的个数〃叫做指数.读作。的〃次方.(。是任意

”个a

有理数，〃是正整数)

特别的，r=i,o"=o(〃是正整数)

例题分析

指出下列各组乘方中的底数、指数

1)23,-23,(-2>

3)(-1-)3

乘方运算的符号法则

(1)观察并判断下列各数的符号，你能得出什么结论？

22,23,2\25……

(—2)2,(—2尸,(一2尸,(一2成......

(2)乘方运算的符号法则

正数的任何次第都是正数；负数的奇数次累是负数，负数的偶次暴是正数

例题分析

计算：(1)一产〃(2)(一1产(3)(-l)2n+,

填表

5(-4)5£na

乘方-4T针a

底数

指数

-11

a-49.10-1-1

2

n2347101n

an

课后练习

第一部分：有理数练习

1、如果规定向东走为正，那么走-50米表示什么意义？如果规定向南走为正，那么走-50米又表示什么意义？

2、任意写出6个正数与6个负数，分别把它们填入相应的大括号里:

正数：｛｝负数：｛｝

3、将它们分别填在相应的圈里：

11312913

-12,71-2.8,-,7-,34%,0.67,-,---15,5-,-0.23,0.51,0-0.65,7.6,--

6247535

正数负数非负数

在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？

8-3,7---,69,0,0.32-1--3.1

265

4、填空题

(1)一个数既不是正数，也不是负数，则这个数是

(2)把下列各数分别填入相应的大括号内：5,-2,-0.3333…，0,5.7,-+102,-17