8.6.3 课时1 二面角与面面垂直的判定定理课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册-1

8.6.3课时1二面角与面面垂直的判定定理1.理解二面角及其相关概念.2.掌握平面与平面垂直的定义及判定定理.3.运用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直问题.复习导入线线角平面立体线面角立体平面与平面能成角吗？你能举出生活中的例子吗水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度.虚掩的门和墙面之间也形成一定的角度lABβα·P·Q如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面.

①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作α-AB-β.②为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P,Q，将这个二面角记作P-AB-Q.③如果将棱记作l,那么这个二面角记作α-l-β或P-l-Q.一、二面角

在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子．比如折纸，笔记本电脑打开过程中，屏幕和键盘所在的平面相交并形成了一定的角度.二、二面角的平面角

如图，在日常生活中，我们常说"把门开大一些"，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢?在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．βαlOAB

∠AOB的大小与点O在l上的位置有关吗？

为什么？由等角定理可知，∠AOB的大小与点O在l上的位置无关.二面角的平面角的特征：①角的顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的边都要垂直于二面角的棱；④∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.

lOAB

AOBβαlOAB

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.图1平面角θ为锐角图2平面角θ为直角图3平面角θ为0°图4平面角θ为180°平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ

≤180°．

教室的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．

如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．在明确了两个平面相互垂直的定义的基础上，我们先研究平面与平面垂直的判定.三、两个平面互相垂直的定义

教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.说一说观察：如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？

这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.

类似的结论也可以在长方体中发现.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，平面ABB′A′经过平面ABCD的一条垂线AA′，此时，平面ABB′A′垂直于平面ABCD.

一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理：定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.图形语言表示符号语言表示

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.线面垂直线线垂直面面垂直四、两个平面互相垂直的判定定理已知：a⊥β，a⊂α，a∩α=O.求证：α⊥β.证明：设α∩β=l，则O∈l.∴a⊥b，则直线a与直线b所成角是二面角α-l-β的平面角.∴α⊥β.在平面内过点O作直线b⊥l．．

∴a⊥l．Ol∵a⊥β，l⊂βb又∵a⊥β，b⊂β即二面角α-l-β的平面角是直二面角.【例1】如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'．证明：∴AA'⊥BD，∵ABCD-A'B'C'D'是正方体分析：要证平面A'BD⊥平面ACC'A'，根据两个平面垂直的判定定理，只要证明平面A'BD经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC、BD是正方形ABCD的对角线.∴AA'⊥平面ABCD.又BD⊥AC，AA'∩AC=AC，∴平面A'BD⊥平面ACC'A'．∴BD⊥平面ACC'A'.

①直棱柱侧棱垂直于底面的任一条直线；②正方形的对角线互相垂直.注

意【例2】如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．分析：要证两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面中的一条直线垂直于另一个平面，而由直线与平面垂直的判定定理，还需证明这条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直.

在本题中，由题意可知，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，从而BC⊥平面PAC，进而平面PAC⊥平面PBC.【例2】如图所示，AB是⨀O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．证明：又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴PA⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴∠BCA=90°，即BC⊥AC.∵C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⨀O的直径，∴BC⊥平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC.【例3】如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AD=2AC，二面角A­BD­C的大小为

．解：∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD.又BD⊥CD，AC∩CD＝C，∴BD⊥平面ACD，∴∠ADC即为二面角A­BD­C的平面角.∵AD⊥BD，在Rt△ACD中，AD=2AC，∴∠ADC=30°，即二面角A­BD­C为30°.30°1.如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴△ASB和△ASC都是等边三角形，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．∴∠ADS=90°,即二面角A－BC－S为直二面角，则AD⊥BC，SD⊥BC，

则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中，SB＝SC＝a，如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，

故平面ABC⊥平面SBC.D证明：方法1：（利用定义）证明：方法2：（利用判定定理）∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．∴SA＝AB＝AC，∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，∴AD⊥平面SBC.∵△SBC为直角三角形，又∵AD⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.1.如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.D证明：⑵∵E,F分别为AC,AB的中点，⑴∵E,P分别为AC，A'C的中点，∵BC⊥AC,∴EP∥平面AA'B，即EP∥平面A'FB.∴EF∥BC.2.如图，E,F分别为Rt△ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A'EF的位置,连接A'B,A'C,P为A'C的中点.⑴求证：EP∥平面A'FB；⑵求证：平面A'EC⊥平面A'BC.∴EP∥AA'，又AA'⊂平面AA'B，EP⊄平面AA'B，∴EF⊥AC.∴EF⊥A'E，∴BC⊥A'E，又A'E∩AC=E，∴BC⊥平面A'EC，∵BC⊂平面A'BC，∴平面A'EC⊥平面A'BC.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-C的大小是

.∵AB⊥平面BB1C1C，且BC1⊂平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，而∠C1BC=45°，解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∴二面角D1-AB-C的大小为45°.∴AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角D1-AB-C的平面角，45°1.二面角及其相关概念2.两个平面互相垂直的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．βαlOAB平面角是直角的二面角叫做直二面