8.3.2.2 球的表面积和体积 课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.2.2球的表面积和体积1．球的概念以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫做球体。半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径。复习

2.球的性质

性质2:

球心和截面圆心的连线____于截面．性质1：用一个平面去截球，截面是_______；用一个平面去截球面，截线是__________。性质3:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系:圆面圆垂直半径为R的球的表面积公式球表面积一、球的表面积与体积公式思考：在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？半径为R的球的体积球体积例4

如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．解：P81【训练1】

(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；解(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方小结4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.练一练【例1】△ABC的三个顶点在球O的表面上，且AB=，AC=2，BC=6.球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积与体积。6262P81【训练2】用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为(

)答案CP81题型二球的截面问题【例2】一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.(1)设球的半径为Rcm，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm).同理，得O1A＝20(cm).设OO1＝xcm，则OO2＝(x＋9)cm.在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②联立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)，故球的表面积为2500πcm2.当截面在球心的两侧时，如图(2)所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.(2)设球的半径为Rcm，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm).∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm).设O1O＝xcm，则OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去.综上所述，球的表面积为2500πcm2.问题探究一球心在正方体的中心，随着球的半径逐渐增大，球与正方体有哪些特殊位置关系？二、球的切、接问题2.位置关系描述：球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点。正方体的中心即为球心。相对两个面中心连线即为球的直径。球叫做“正方体的内切球”，正方体叫做“球的外切正方体”。o1.图形3.度量关系球的直径等于正方体棱长。（一）正方体的内切球1.正方体与球P82【训练3】

(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________.2.位置关系描述：3.度量关系:1.图形（二）球与正方体的棱相切球与正方体的12条棱都相切，各棱的中点即为切点。正方体中心即为球心。“对棱”中点连线即为球的直径。球的直径等于正方体一个面上的对角线长例2在一个空的正方体框架内放置一球，若正方体棱长为a,则此球的最大体积是1.图形2.位置关系描述：3.度量关系（三）正方体的外接球正方体的8个顶点在同一个球面上。正方体的中心即为球心。球叫做“正方体的外接球”，正方体叫做“球的内接正方体”。正方体的（体）对角线等于球直径例3正方体的表面积是，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是P81【例3】在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.解作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，问题探究二球与长方体又有哪些位置关系？思考：一般的长方体有内切球吗？没有。一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。2.长方体与球长方体的外接球2.位置关系描述：长方体的8个顶点在同一个球面上。长方体的中心（对角线的交点）即为球心。球叫做“长方体的外接球”，长方体叫做“球的内接长方体”。3.度量关系长方体的（体）对角线等于球直径1.图形P82【训练3】

(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(

)P82素养训练5.正四棱柱的底面边长为1，高为2，其8个顶点都在一个球的球面上，则该球的表面积是多少？C探究：问题探究三球与正四面体又有哪些位置关系？3.正四面体和球

如图4所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为由图形的对称性知，点也是外接球的球心．，外接球半径为正四面体的表面积正四面体的体积

设内切球半径为小结:正四面体内切球半径是，

外接球半径是。在中，即，得，得P82【例4】已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是(

)A.27B.16 C.9 D.3补体法（三）球与正四面体的棱切问题

设棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.补体法为正方体内切球，正方体棱长补体法练习P82【例5】正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是(

)A.4πB.8π C.12π D.16π∵正四面体ABCD的棱长为4，且正四面体ABCD的棱长是正方体的面对角线长，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，当截面到外接球的球心O的距离最大时，截面面积最小，补体法练习P82【例6】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(

)解析如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2.练习:P82【训练3】(3)在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.P82素养训练4.已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，