医学统计 8 常用概率分布 学习资料

二项分布

(binomialdistribution)二分类资料，观察对象的结局只有相互对立的两种结果。

例如：生存、死亡阳性、阴性发病、不发病治愈、未愈先看一个例子已知：小白鼠接受某种毒物一定剂量时，死亡率=80%

生存率=20%每只鼠独立做实验，相互不受影响若每组各用3只小白鼠（甲、乙、丙）3只小白鼠的存亡方式符合二项分布概率的乘法法则:

几个独立事件同时发生的概率，等于各独立事件的概率之积概率的加法法则:

互不相容事件和的概率等于各事件的概率之和3只小白鼠均生存的概率：P=0.20.20.2=0.0083只小白鼠2生1死的概率：P1=0.20.20.8=0.032P2=0.20.80.2=0.032P=0.096P3=0.80.20.2=0.0323只小白鼠1生2死的概率：P1=0.20.80.8=0.128P2=0.80.80.2=0.128P=0.384P3=0.80.20.8=0.1283只小白鼠均死亡的概率：P=0.80.80.8=0.512x00.50.40.30.20.10.0123(0.2+0.8)3

二项分布示意图二项分布的定义从阳性率为π的总体中随机抽取含量为n的样本，恰有X例阳性的概率为：

X=0,1,2,…,n

则称X服从参数为n和

的二项分布，记为：X～B(n,

)。其中参数

n由实验者确定，而

常常是未知的。如已知n=3，

=0.8，则恰有１例阳性的概率P(1)为：二项分布的性质（一）均数与标准差二项分布的性质（二）累计概率(cumulativeprobability)从阳性率为

的总体中随机抽取n个个体最多有k例阳性的概率：最少有k例阳性的概率：递推公式：二项分布的例子据以往经验，用某药治疗小儿上呼吸道感染、支气管炎，有效率为85％，今有5个患者用该药治疗，问：①

至少3人有效的概率为多少？②

最多1人有效的概率为多少？①

至少3人有效的概率：P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)则P(X≥3)=0.138178125＋0.391504688＋0.443705313=0.973388126

②最多1人有效的概率为：

P(X≤1)=P(0)+P(1)二项分布的图形特征偏态分布N逐步增大且不要太小或太大（和

），二项分布趋向与正态分布。

二项分布的应用条件各观察单位只能有互相对立的一种结果，属于二分类资料已知发生某一结果(如阴性)的概率

不变，其对立结果(如阳性)的概率则为1-

n次试验在相同条件下进行，且各观察单位的结果互相独立

Poisson分布的概念单位时间、单位空间内某事件的发生数单位人群（较大）中某稀有事件的发生数放射性物质每分钟放射的脉冲数每ml水中大肠菌群数、每升空气中粉尘数、每1万个细胞中有多少个发生突变某地每天的交通事故数、某工矿企业每天的工伤人数足球比赛每场的进球数生物：每平方公里有多少植物如果某事件的发生是完全随机的，则单位时间或单位空间内，事件发生0次、l次、2次…的概率为：

X=0，1，2，…

则称该事件的发生服从参数为

的Poisson分布，记为X～Poisson(

)。X为单位时间或空间内某事件的发生数，P(X)为事件数为X时的概率，e为自然对数的底。Poisson分布的性质（一）均数与方差

Poisson分布的方差

2与均数

相等，均为

，即：

2=

=

其中参数

即为均数，表示单位空间或时间内事件平均发生的次数，又称强度参数。

Poisson分布的性质（二）累计概率最多为k次的概率：最少为k次的概率：

递推公式：

Poisson分布的形状取决于

的大小。

Poisson分布为正偏态分布，且

愈小分布愈偏；随着

的增大，分布逐渐趋于对称当

=20时已基本接近对称分布；当

=

50时，Poisson分布近似正态分布，

≥50时可按正态分布原理处理之。

Poisson分布的性质（三）图

Poisson分布示意可加性以较小的度量单位，观察某一现象的发生数时，如果它呈Poisson分布，那么把若干个小单位合并为一个大单位后，其总计数亦呈Poisson分布。Poisson分布的性质（四）

例如，已知某放射性物质每10分钟放射脉冲数呈Poisson分布，5次测量的结果，分别为35、34、36、38、34次，那么50分钟放射脉冲数(总计为177次)亦呈一Poisson分布。因此Poisson分布资料可利用可加性原理使

≥50，然后用正态近似法处理之。可加性示例Poisson分布的性质（五）Poisson分布是二项分布的极限形式

二项分布中，当

很小，比如

<0.05，而n很大，二项分布逼近Poisson分布。且：其中

=n

。n愈大，近似程度愈好。如果某些现象的发生率

甚少，而样本例数n甚多时，二项分布常用Poisson分布来简化运算。一个实例：

据以往经验，新生儿染色体异常率为