《备考指南一轮 数学 》课件-第5章 第7讲

第五章第7讲[A级基础达标]1．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，CA．eq\r(6)km B．eq\r(2)kmC．eq\r(3)km D．2km【答案】A2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.其中一定能确定A，B间的距离的方案为()A．①② B．②③C．①③ D．①②③【答案】D3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里 B．10海里C．20海里 D．20海里【答案】A4．(2019年深圳模拟)一架直升机在200m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，A．eq\f(400,3)m B．eq\f(400\r(3),3)mC．eq\f(200\r(3),3)m D．eq\f(200,3)m【答案】A5．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BCA．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(3)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m【答案】C【解析】如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tan∠ACD)＝eq\f(60,tan30°)＝60eq\r(3)(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(AD,tan∠ABD)＝eq\f(60,tan75°)＝eq\f(60,2＋\r(3))＝60(2－eq\r(3))(m)，所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m).6．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.【答案】eq\f(5\r(6),2)【解析】在△ACD中，由余弦定理可得cosC＝eq\f(49＋9－25,2×7×3)＝eq\f(11,14)，则sinC＝eq\f(5\r(3),14).在△ABC中，由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，则AB＝eq\f(ACsinC,sinB)＝eq\f(7×\f(5\r(3),14),\f(\r(2),2))＝eq\f(5\r(6),2).7．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．【答案】50eq\r(7)【解析】连接OC，由题意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°，即OC＝50eq\r(7).8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里、14里、15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．【答案】21【解析】设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，所以cosC＝eq\f(132＋142－152,2×13×14)＝eq\f(5,13)，所以sinC＝eq\f(12,13)，故△ABC的面积为eq\f(1,2)×13×14×eq\f(12,13)×5002×eq\f(1,10002)＝21(平方千米)．9．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的高度为多少米？(取eq\r(2)≈1．4，eq\r(3)≈1．7)解：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))．因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500(eq\r(3)－1)≈7350(m)．故山顶的高度为10000－7350＝2650(m)．10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝eq\f(π,3)，AD∶AB＝2∶3，BD＝eq\r(7)，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝eq\f(2π,3)，求CD的长．【答案】解：(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，AB＝3k(k＞0)．又BD＝eq\r(7)，∠DAB＝eq\f(π,3)，所以由余弦定理，得(eq\r(7))2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcoseq\f(π,3)，解得k＝1．所以AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝eq\f(ADsin∠DAB,BD)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝eq\f(\r(21),7).所以sin∠DBC＝eq\f(2\r(7),7).所以eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC).所以CD＝eq\f(\r(7)×\f(2\r(7),7),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).[B级能力提升]11．(2020年衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A．210(eq\r(6)＋eq\r(2))米 B．140eq\r(6)米C．210eq\r(2)米 D．20(eq\r(6)－eq\r(2))米【答案】B【解析】由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理得，BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420(米)．在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理eq\f(CH,sin∠CAH)＝eq\f(AC,sin∠AHC)，可得CH＝AC·eq\f(sin∠CAH,sin∠AHC)＝140eq\r(6)(米)12．地面上有两座塔AB，CD，相距120米，一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为()A．50米，100米 B．40米，90米C．40米，50米 D．30米，40米【答案】B【解析】设高塔高H，矮塔高h，在矮塔下望高塔仰角为α，在O点望高塔仰角为β.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍，所以在高塔下望矮塔仰角为eq\f(α,2)，即tanα＝eq\f(H,120)，taneq\f(α,2)＝eq\f(h,120)，根据倍角公式有eq\f(H,120)＝eq\f(2×\f(h,120),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,120)))2)①.在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔仰角为eq\f(π,2)－β，即tanβ＝eq\f(H,60)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝eq\f(h,60)，根据诱导公式有eq\f(H,60)＝eq\f(60,h)②.联立①②得H＝90，h＝40，即两座塔的高度分别为40米，90米．13．(一题两空)如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是BC的三等分点，则tanα＝______，tanβ＝______.【答案】eq\f(1,3)eq\f(3,11)【解析】设等腰直角三角形的直角边为a，点D，E分别是BC的三等分点，则CD＝DE＝EB＝eq\f(1,3)a，所以tanα＝eq\f(\f(1,3)a,a)＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(2,3)a,a)＝eq\f(2,3).因为tanα＝eq\f(1,3)，所以tanβ＝eq\f(3,11)14．(一题两空)(2020年厦门模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC于D点．若AD＝2，a＝3，csinAcosC＝(2b－c)cosAsinC，则A＝________，△ABC的面积为________．【答案】eq\f(π,3)eq\f(3\r(3),2)【解析】因为csinAcosC＝(2b－c)·cosAsinC，所以由正弦定理得sinCsinAcosC＝(2sinB－sinC)cosAsinC．又因为A，B，C为三角形内角，所以sinC≠0，sinB≠0.所以sinAcosC＝2sinBcosA－sinCcosA⇒sinB＝2sinBcosA⇒cosA＝eq\f(1,2)⇒A＝eq\f(π,3).由正弦定理可知eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))＝2eq\r(3)，所以c＝2eq\r(3)sinC，b＝2eq\r(3)·sinB，eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AD,sinB)，得BD＝eq\f(1,sinB).同理有CD＝eq\f(1,sinC)，BC＝BD＋CD＝eq\f(1,sinB)＋eq\f(1,sinC)＝3，化简得eq\r(3)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))－eq\f(\r(3),4)＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)或sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))＝－eq\f(1,2\r(3))(舍去)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B＝\f(π,2)，,C＝\f(π,6)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B＝\f(π,6)，,C＝\f(π,2).))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2\r(3),c＝\r(3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,c＝2\r(3).))所以S△ABC＝eq\f(1,2)ac＝eq\f(3\r(3),2)或S△ABC＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(3\r(3),2).综上，S△ABC＝eq\f(3\r(3),2).15．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水．如图所示，B，E，F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为30°，60°，45°，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC，DE，EF三段线段的长度分别为3,1,2.(1)求线段AE的长度；(2)求隧道CD的长度．解：(1)由已知得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°.sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(2)\r(3)－1,4).在△AEF中，由正弦定理得eq\f(AE,sin∠F)＝eq\f(EF,sin∠EAF)，即eq\f(AE,sin45°)＝eq\f(2,sin15°)，解得AE＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1)).(2)由已知得∠BAE＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△ABE中，BE＝2AE＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))，所以隧道长度CD＝BE－BC－DE＝4eq\r(3).16．要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距200m的C，D两点，并测得∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∠BCD＝120°，∠ACD＝30°，求A，B解：在△ACD中，因为∠ACD＝30°，∠ADC＝105°，所以∠DAC＝45°.由正弦定理得eq\f(CD,sin45°)＝eq\f(AD,sin30°)，又CD＝200，所以AD＝100eq\r(2).在△BCD中，同理可得∠CBD＝45°.由正弦定理得eq\f(BD,sin120°)＝eq\f(CD,sin45°)，所以BD＝100eq\r(6).在△ABD中，∠BDA＝105°－15°＝90°，由勾股定理得AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝200eq\r(2)，即A，B两点间的距离为200eq\r(2).[C级创新突破]17．(2020年山东)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝eq\f(3,5)，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1【答案】eq\f(5,2)π＋4【解析】过A作AM⊥EF交DG于点M，交BH于点P，过O作ON⊥DG交DG于点N，设OB＝OA＝R.由已知可得AM＝5，DM＝7，所以MG＝5.所以∠AGM＝45°.所以OA＝AH＝R，OH＝eq\r(2)R，MN＝OP＝AP＝eq\f(\r(2),2)R.所以ON＝5－eq\f(\r(2),2)R，DN＝7－eq\f(\r(2),2)R.又tan∠ODC＝eq\f(3,5)，所