《备考指南一轮 数学 》课件-第1章 第2讲

集合与常用逻辑用语第一章第2讲充分条件与必要条件考点要求考情概览1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系．2．理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系考向预测：主要考查充分条件必要条件的判定，一般多与集合、函数、不等式、立体几何结合，考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档难度．学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养栏目导航01基础整合

自测纠偏03素养微专

直击高考02重难突破

能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1充分条件、必要条件与充要条件的概念充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要【特别提醒】1．在判断充分、必要条件时，需要注意确定条件是什么、结论是什么．2．尝试从条件推导结论，从结论推导条件．3．确定条件是结论的什么条件，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．【常用结论】p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A

Bp是q的必要不充分条件B

Ap是q的充要条件A＝B1．(教材改编)“θ＝0”是“sinθ＝0”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A2．(教材改编)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B4．(2020年浙江)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，则“l，m，n在同一平面”是“l，m，n两两相交”的

(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知l，m，n不过同一点，当l，m，n两两相交时l，m，n在同一平面内；但当m∥n，l与它们相交时，l，m，n也在同一平面内．5．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是 (

)A．x<1

B．x>1

C．x>－1

D．x>3【答案】BC1．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．2．充分条件、必要条件判断的主要依据是定义，对于推出的关系要能证明；对不能推出的关系，可举反例验证．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (

)(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立． (

)(3)“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件． (

)【答案】(1)√

(2)√

(3)×重难突破能力提升2 (1)已知α，β为第一象限的两个角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ

”的

(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)“a＝2”是“函数f(x)＝x2＋ax＋1在区间[－1，＋∞)上为增函数”的

(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件充分必要条件的判定【答案】(1)D

(2)A【解题技巧】充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．【变式精练】1．(1)(2020年六安模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数，则“f(0)＝0”是“f(x)有且只有一个零点”的 (

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d”依次成等差数列的

(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】(1)B

(2)B【解析】(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，因此“f(x)有且只有一个零点”⇒f(0)＝0”，反之不成立．(2)当a＝－1时，b＝0，c＝3，d＝4时，a＋d＝b＋c，但此时a，b，c，d不成等差数列；而当a，b，c，d依次成等差数列时，由等差数列的性质知a＋d＝b＋c，所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件． (1)对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是

(

)A．m⊥n，n∥α

B．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥α

D．m⊥n，n⊥β，β⊥α【答案】(1)C

(2)见解析充分条件、必要条件的探究与证明【解题技巧】1．充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．(2)证明充要条件，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异．2．判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”．【答案】(1)C

(2)见解析(2)证明：必要性：因为x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.充分性：由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.因为ax2＋bx＋c＝0，所以ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围．充分条件、必要条件的应用【解题技巧】利用充要条件求参数的2个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．【变式精练】3．已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：x>a，且p的一个充分不必要条件是q，则a的取值范围是

(

)A．[1，＋∞)

B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)

D．(－∞，－3]【答案】A【解析】由x2＋2x－3>0，得x＜－3或x>1.因为p的一个充分不必要条件是q，故a≥1.素养微专直击高考3 (2020年北京)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的

(

)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件母题探究类——充要条件的判断典例精析【命题意图】考查充分