2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义28 圆的基本性质含答案或解析

微专题28圆的基本性质考点精讲构建知识体系考点梳理1.圆的基本概念及性质圆在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆弦连接圆上任意两点的线段叫做弦直径经过①的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧；小于半圆的弧叫做劣弧圆周角在圆中，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角圆心角顶点在②并且两边都与圆相交的角叫做圆心角弦心距圆心到弦的垂直距离与圆有关的性质(1)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，③是它的对称中心(2)旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合3.垂径定理及其推论(1)定理：垂直于弦的直径④弦，并且⑤弦所对的两条弧(2022年版课标将探索并证明垂径定理调整为考查内容)(2)推论：平分弦(不是直径)的直径⑥于弦，并且⑦弦所对的两条弧4.弦、弧、圆心角之间的关系(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑧，所对的弦⑨(2)推论：①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑩，所对的弦⑪②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑫，所对的优弧与劣弧分别⑬5.圆周角定理及其推论(6年6考)定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑭推论(1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角⑮；(2)直径(或半圆)所对的圆周角是⑯，90°的圆周角所对的弦是⑰常见图形及结论图①图②图③∠APB＝12∠应用如图①，已知AP是☉O的直径，点B是圆上一点(不与A，P重合)，连接AB，则有∠ABP＝90°6.三角形的外接圆图示外心三角形外接圆圆心或三角形⑱的交点叫做外心性质三角形的外心到三角形的⑲的距离相等角度关系∠BOC＝⑳∠A7.圆的内接四边形概念四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形性质(1)圆内接四边形的对角㉑，如图，∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°；(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，如图，∠DCE＝㉒练考点1.下列结论正确的是()A.长度相等的两条弧是等弧B.半圆是弧C.相等的圆心角所对的弧相等D.弧是半圆2.如图，已知AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为E，连接OC.(1)若AB＝10，CD＝8，则cos∠OCE＝；(2)若CD＝4，AE＝6，则☉O的半径为；(3)若☉O的半径为7，P是CD上一点，且PC＝4，PD＝6，则OP＝.第2题图3.如图，在☉O中，AB和CD是两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.对于下列命题：第3题图①如果OE＝OF，那么∠AOB＝∠COD；②如果AB＝CD，那么OE＝OF；③如果OE＝OF，那么AB＝CD；④如果OE＝OF，那么OB＝CD，其中真命题是.4.如图，若AB是☉O的直径，点C在☉O上(不与A，B重合)，则∠ACB的度数为.第4题图5.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BAD＝，∠BCD＝.第5题图高频考点考点1圆基本性质的相关证明及计算(6年6考)例1(2022广东22题改编)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB＝∠CDB.例1题图①(1)核心设问试判断△ABC的形状，并给出证明；[2022广东22(1)题考查](2)核心设问若AB＝2，AD＝1，求CD的长度；[2022广东22(2)题考查](3)核心设问如图②，连接DO并延长，交BC于点G，若∠ADB＝2∠BDG，求证：AB∥DG；[2018广东24(1)题考查]例1题图②(4)如图③，BD交AC于点H，且AH＝OH，求sin∠ACD的值.例1题图③考点2圆内接四边形例2(2024珠海香洲区二模)如图，已知四边形ABCD，过点A，B，C的圆交AD于点E，连接CE，∠B＝70°，∠D＝80°，则∠DCE的度数为()A.10° B.30° C.50° D.60°例2题图变式1(2024吉林省卷)如图，四边形ABCD内接于☉O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是()变式1题图A.50° B.100° C.130° D.150°真题及变式命题点与圆周角定理及其推论有关的计算(6年6考) 1.(2023广东9题3分)如图，AB是☉O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()A.20° B.40° C.50° D.80°第1题图1.1变思维方式——融入中点如图，点A，B，C，D均在☉O上，连接AB，AD，CD，CA，∠BAD＝90°，∠ADC＝59°，若点A是BD的中点，则∠BAC的度数为()变式1.1题图31°B.28°C.14°D.4°2.(2021广东7题3分)如图，AB是☉O的直径，C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则☉O的直径为()第2题图A.3 B.23 C.1 D.22.1变条件——与内接四边形结合如图，四边形ABCD内接于☉O，∠B＝60°，CD＝4，AD＝2，则AC的长为()变式2.1题图5B.35C.27D.7＋2拓展训练3.(2024长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为()A.4 B.42 C.5 D.52第3题图新考法4.[真实问题情境](2024凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为()第4题图A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm5.[数学文化](2024珠海香洲区二模)《九章算术》是我国古代数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.”则CD＝寸.第5题图

考点精讲①圆心②圆心③圆心④平分⑤平分⑥垂直⑦平分⑧相等⑨相等⑩相等⑪相等⑫相等⑬相等⑭一半⑮相等⑯90°⑰直径⑱三条垂直平分线⑲三个顶点⑳2㉑互补㉒∠BAD练考点1.B2.(1)45；(2)1033.①②③4.90°5.50°，130°高频考点例1(1)解：△ABC为等腰直角三角形.证明：∵AC为☉O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°.∵AB＝AB，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形；(2)解：由(1)知△ABC为等腰直角三角形，∵AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝2，又∵在Rt△ACD中，AD＝1，∴CD＝AC2－AD(3)证明：∵∠ADB＝∠CDB＝2∠BDG，∴∠BDG＝∠CDG，∴BG＝CG，由题意知DG为☉O的直径，∴DG⊥BC，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴AB∥DG；(4)解：如解图，连接OB，过点H作HK⊥AB，交AB于点K，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，AB＝CB，OB⊥AC，设AB＝CB＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝(2x)2∴OA＝OB＝x，∵AH＝OH，∴AH＝OH＝12OA＝12∴HK＝AH·sin45°＝24x在Rt△OBH中，由勾股定理得BH＝(12x)∵∠ACD＝∠ABD，∴sin∠ACD＝sin∠ABD＝HKBH＝24x例1题解图例2B【解析】∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠CED＝∠B＝70°，∵∠D＝80°，∴∠DCE＝180°－∠CED－∠D＝30°.变式1C【解析】∵BE∥AD，∠BEC＝50°，∴∠D＝∠BEC＝50°，∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠ABC＋∠D＝180°，∴∠ABC＝180°－50°＝130°.真题及变式1.B【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠B＝180°－50°－90°＝40°，∵AC＝AC，∴∠D＝∠B＝40°.变式1.1C【解析】如解图，连接BD，∵点A是BD的中点，∴AB＝AD，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD.∵∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠ABD＝12(180°－∠BAD)＝45°.∵∠ADC＝59°，∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝14°，∵BC＝BC，∴∠BAC＝∠BDC＝14变式1.1题解图2.B【解析】如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是☉O的直径，∴∠C＝90°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝1，∴AD＝AC－CD＝3－1＝2，在Rt△ADE中，∵DE＝12AD，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠CAB＝30°，∴AD＝BD，∴点O与点E重合，∴OA＝AD2－OD2＝3，∴AB第2题解图变式2.1C【解析】如解图，过点A作AE⊥CD，交CD延长线于点E，∵四边形ABCD内接于☉O，∠B＝60°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠ADC＝180°－∠B＝120°，∴∠ADE＝60°，∵AE⊥DE，∴DE＝AD·cos60°＝1，AE＝AD·sin60°＝3，∴CE＝DE＋CD＝1＋4＝5，在Rt△AEC中，AC＝AE2＋CE2变式2.1题解图3.B【解析】∵圆心O到AB的距离OE＝4，∴OE⊥AB，∴AE＝12AB＝4，∴在Rt△OAE中，OA＝AE2＋4.C【解析】如解图，在CD的延长线上找一点O，设点O为圆心，连接OA，则△OAD为直角