2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义15 二次函数综合题含答案或解析

微专题15二次函数综合题类型一二次函数与线段有关问题一阶设问突破 方法解读1.求线段长(1)与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下)；(2)与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左).2.线段数量关系问题若两条线段的长均可计算或表示出来，直接根据线段数量关系列方程即可求解，若两条线段的长无法直接计算或表示出来，可通过x轴或y轴的平行线构造相似三角形，将线段进行转化，再根据线段数量关系列方程求解.3.利用二次函数性质求线段最值(1)求竖直线段的最值第一步：设M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值；(2)求斜线段的最值利用锐角三角函数化斜为直得：MP＝MN·sin∠MNP，再根据(1)的步骤解题即可.4.利用对称性质求线段和最值及点坐标，即“将军饮马”问题(求PA＋PB的最小值及点P的坐标)；(1)求点B关于对称轴l对称的点C的坐标；(2)连接AC交直线l于点P，此时点P满足要求，从而可求出PA＋PB的最小值；(3)用待定系数法求直线AC的函数表达式；(4)将l对应的x的值代入AC的函数表达式可得点P的坐标.例1如图①，已知二次函数y＝－x2－2x＋3的图象与x轴相交于A，B两点(A点在B点左侧)，与y轴相交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点Q.设点P的横坐标为m.例1题图①一、表示点坐标(1)点P的坐标为，点D的坐标为，点Q的坐标为；二、表示线段长(2)PD的长为，QD的长为，PQ的长为；(3)点P到对称轴的距离为，CQ的长为；三、与线段数量关系有关的计算(4)如图②，若PQ＝DQ，求点P的坐标；例1题图②(5)如图③，若AQ＝2CQ，求点P的坐标；[2020广东25(2)题考查]例1题图③四、线段最值(6)如图④，过点P作x轴的平行线，交直线AC于M点，求MQ的最大值；例1题图④(7)如图⑤，点G是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△GBC的周长最小时，求GCGB例1题图⑤二阶综合训练 1.(2024佛山二模)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于点A(0，－4)，B(5，6)，直线AB与x轴相交于点C.(1)求抛物线与直线AB的表达式；(2)点D是抛物线在直线AB下方部分上的一个动点，过点D作DE∥x轴交AB于点E，过点D作DF∥y轴交AB于点F，求DF－DE的最大值.第1题图类型二二次函数与面积有关问题一阶设问突破 方法解读求几何图形面积方法一：直接公式法一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，S△ABC＝12AB·h方法二：分割法三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12BD·(AE＋CF)＝12BD·(yC－y方法三：补全法三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCC.注：对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形转化为两个三角形面积之和求解.例2如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D是第一象限抛物线上的动点，设点D的横坐标为t.一、求三角形、四边形面积(1)如图①，当点D位于抛物线的顶点处时，连接OD，CD，求△OCD的面积；例2题图①(2)如图②，若t＝2，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的面积；例2题图②二、面积定值及最值(3)如图③，连接AD，BD，若△ABD的面积为15，求点D的坐标；例2题图③方法解读利用二次函数性质求面积最值：用同一未知数表示出动点的坐标，进而表示出所求图形的面积，利用二次函数性质求解最值.(4)核心设问如图④，连接BD，过点C作CP∥BD交x轴于点P，连接PD，求△BPD面积的最大值及此时点D的坐标；[2022广东23(2)题考查]例2题图④三、面积等值、倍分关系(5)如图⑤，连接BD，CD，OD，若S△BOD＝S△COD，求点D的坐标.例2题图⑤二阶综合训练 1.(2024福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2).(1)求二次函数的表达式；(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.第1题图

类型一二次函数与线段有关问题一阶设问突破例1解：(1)(m，－m2－2m＋3)，(m，0)，(m，m＋3)；【解法提示】令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴点A(－3，0)，点B(1，0)；令x＝0，得y＝3，∴点C(0，3)；设直线AC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－3，0)，点C(0，3)代入y＝kx＋b中，得－3k＋b=0b=3，解得k=1b=3，∴直线AC的表达式为y＝x＋3.∵点P的横坐标为m，∴点P纵坐标为－m2－2m＋3，∵PQ⊥x轴，∴点Q横坐标为m，则纵坐标为m＋3，∵PD⊥x(2)－m2－2m＋3，m＋3，－m2－3m；(3)｜m＋1｜，－2m；(4)由(2)可知QD的长为m＋3，PQ的长为－m2－3m，∵PQ＝DQ，∴－m2－3m＝m＋3，解得m＝－1或m＝－3，∵点P不与点A重合，∴m的值为－1，∴P(－1，4)；(5)∵PD∥y轴，∴AQAC＝AD∵AQ＝2CQ，∴AQAC＝2∴ADAO＝2∵A(－3，0)，∴AO＝3，∴AD＝2，OD＝1，∴m＝－1，此时－m2－2m＋3＝4，∴P(－1，4)，(6)∵OA＝OC＝3，PM∥x轴，∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，∵PD⊥x轴，∴∠ADQ＝∠QPM＝90°，∴△PMQ为等腰直角三角形，∴MQ＝2PQ，∵PQ＝－m2－3m＝－(m＋32)2＋94，－1＜0，－3＜∴PQ的最大值为94∴MQ的最大值为92(7)∵y＝－x2－2x＋3，∴抛物线对称轴为直线x＝－－2如解图，连接AC，交抛物线对称轴l于点G，由抛物线的对称性得GA＝GB，∴GB＋GC＝AG＋GC≥AC，即当A，G，C三点共线时，GB＋GC取得最小值，此时△GBC周长最小.由(1)得直线AC的表达式为y＝x＋3，当x＝－1时，y＝2，∴G(－1，2).∵B(1，0)，C(0，3)，∴GCGB＝12＋例1题解图二阶综合训练1.解：(1)由题意，将点A(0，－4)，B(5，6)代入y＝x2＋bx＋c中，得c＝－425+5∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4.将点A(0，－4)，B(5，6)代入y＝kx＋m中，得m＝－45k∴直线AB的表达式为y＝2x－4；(2)由题意，设D(a，a2－3a－4)(0＜a＜5)，令2x－4＝a2－3a－4，得x＝12(a2－3a∴E(12a2－32a，a2－3令x＝a，则y＝2a－4，∴F(a，2a－4).∴DF－DE＝2a－4－(a2－3a－4)－[a－(12a2－32＝－12a2＋5＝－12(a－52)2＋∵－12＜0，0＜a∴当a＝52时，DF－DE取得最大值，最大值为25类型二二次函数与面积有关问题一阶设问突破例2解：(1)令x＝0，得y＝4，∴C(0，4)，∴OC＝4，∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－32)2＋25∴D(32，25∴S△OCD＝12OC·｜xD｜＝12×4×(2)如解图①，连接BC，过点D作DE⊥x轴交BC于点E，令－x2＋3x＋4＝0，解得x＝－1或x＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，由(1)可知，C(0，4)，∴AB＝5，OB＝OC＝4，设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将B(4，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b中，得4k＋b=0b=4∴BC所在直线的表达式为y＝－x＋4，∴当t＝2时，－t2＋3t＋4＝6，－t＋4＝2，∴D(2，6)，E(2，2)，∴DE＝4，∴S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝12×5×4＋1例2题解图①(3)由(2)可知，AB＝5，∴S△ABD＝12AB·yD＝12×5×(－t2＋3解得t＝1或t＝2.当t＝1时，－t2＋3t＋4＝－12＋3×1＋4＝6；当t＝2时，－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，综上所述，点D的坐标为(1，6)或(2，6)；(4)如解图②，连接BC，CD，过点D作DQ⊥x轴交BC于点Q，∵CP∥BD，∴S△BPD＝S△BCD＝S△BDQ＋S△CDQ＝12DQ·OB由(2)可知，BC所在直线的解析式为y＝－x＋4，∴Q(t，－t＋4)，∴DQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t，∴S△BPD＝12(－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2∵－2＜0，0＜t＜4，∴当t＝2时，S△BPD有最大值，最大值为8，此时－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，∴点D的坐标为(2，6)；例2题解图②(5)由(2)可知，OB＝OC＝4，∵S△BOD＝12OB·yD＝12×4×(－t2＋3S△COD＝12OC·xD＝12×4∵S△BOD＝S△COD，∴12×4×(－t2＋3t＋4)＝12×4∴－t2＋3t＋4＝t，解得t＝1＋5或t＝1－5，∵0＜t＜4，∴t＝1＋5，此时－t2＋3t＋4＝t＝1＋5，∴点D的坐标为(1＋