电路的定理课件

电路的定理

§4-1线性电路的三大性质

例：x(t)y(t)N0kx(t)ky(t)N0一、比例性

在单个电源作用的线性电路中，响应y(t)

与激励x(t)成正比。

线性电路的比例性由齐性原理描述。线性无源电阻网络齐性原理：（homogeneityproperty)••+-10V2

3

2AU2U1++--+-20V2

3

4AU2U1++--例题：电路如图，求各支路电流，电压。采用关联参考方向：设I5=1A'I1=4A'则I2=1A'I3=3A'I4=2A'US=55V'U3=39V'U5=24V'+-10V4

39

5

12

4

20

I5I4I3I2I1USU3U5+-+-

'US=US5.5=K

各支路电流，电压根据比例性缩小K倍。U5=4.32VI1=0.72AI2=0.18AI3=0.54AI4=0.36AI5=0.18AU3=7.02V

x1(t)+x2(t)y

(t)=y1(t)+y2(t)

x1(t)y1(t)N0x2(t)y2(t)N0N0x1(t)x2(t)y

(t)二、迭加性

迭加定理：在多个电源共同作用的线性电路中，各支路电流、（电压）等于每一个电源单独作用时，在该支路产生的电流（电压）代数和。（SuperpositionTheorem）线性电路的迭加性由迭加定理描述。••证明：+-30V2

5

2A3

+-10VI=2

5

-1A3

+-10V••10V作用I=''30V作用+-30V2

5

I=3A3

••

'共同作用I

=I+I'''推广定理：

K1x1(t)K1y1(t)K2x2(t)K2y2(t)x1(t)y

(t)x2(t)N0

K1x1(t)+K2x2(t)K1y1(t)+K2y2(t)y

(t)=K[x1(t)+x2(t)]y

(t)=K[y1(t)+y2(t)]若K1=

K2=

Ky

(t)=y1(t)+y2(t)注意以下几点：2.

应用时电路的结构参数必须前后一致。1.

叠加定理只适用于线性电路求电压和电流；不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。不适用于非线性电路。3.不作用的电压源短路；不作用的电流源开路。4.

含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终保留。

5.叠加时注意参考方向下求代数和。应用叠加定理解题：1、分解电路；2、单独计算；3、迭加。例题1：求图中电压u。解:(1)10V电压源单独作用，4A电流源开路u'=4V(2)4A电流源单独作用，10V电压源短路u"=-42.4=-9.6V3、迭加

u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6

+–4

u'1、分解电路2、单独计算4A6

+–4

u''••+–10V4A6

+–4

u求电流源电压Us。(1)10V电压源单独作用：(2)4A电流源单独作用：解:10V+–6

I1'+–10I1'4

+–Us'+–U1'Us'=-10I1'+U1'Us"=-10I1"+U1”

例题2：10VI1+–6

4A+–Us+–10I14

6

I1''4A+–Us''+–10I1''4

+–U1"Us'=-10I1'+U1’=-10I1'+4I1'=

-101+41=-6VUs"=-10I1"+U1”

=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V10V+–6

I1'+–10I1'4

+–Us'+–U1'6

I1''4A+–Us''+–10I1''4

+–U1"第一种形式:激励

电压源，响应

电流NONO+-+-ususisc2isc1isc2isc1=三、互易性

互易定理：当无源线性网络的激励和响应互换位置时,(ReciprocityTheorem)线性电路的互易性由互易定理描述。同一激励电压将产生相同的响应电流。isNO°°NO°°is++--uOC1uOC2isNOisc1+-usNO°°uOC2+-第二种形式:激励

电流源，响应

电压uOC1=uOC2

第三种形式:如果is=us，isc1=uOC2证明：

以互易定理一为例，选定回路电流。（1）用回路电流法列方程0212111=+iRiR+……us1222121+iRiRus2+……=…………2l21l1+iRiR+……=（2）根据克莱姆法则：1i=

21

us2

N0+–us1i1i2us2+–无受控源，系数矩阵对称

us12i=us2=0Rjk=Rkj则

21

12=1ius2us1=

0当us1=us2时则

isc1=isc2互易定理成立。2i=

12

us1令us2=

0令us1=

0

=isc2=isc1当含有受控源时，系数矩阵不对称互易定理不成立。**互易定理二、三的证明自己思考。例题1：I2

4

2

8

+–10V3

I2

4

2

8

+–10V3

求电流I。解：利用互易定理一如图（1）（1）I=0.75A4//)32//2(8++练习题：+-8v4

1

2

1

2

II=0.667A例题2：A20

40

60

30

50

12

8AI20

40

60

30

50

12

+-8v°°+-U利用互易定理三，电桥平衡。I=U=

4A解：例题3：已知us1=3V，us2=0V时，

i1=1A。i2=2A求

us1=9V，us2=6V时，

i1=？

NO+_us1us2i1+_i2电路如图

解：1、比例性2、互易性3、迭加性us1=3v，i1=1Ai2=2Ai1=3Aus1=9v，则i2=6Aus1=3v，i2=2Aus2=3v，则i1=-2Aus2=6v，i1=-4A比例性us1=9v，us2=6v，则i1=3+（-4）=-1A注意方向(1)适用于线性网络只有一个电源时，电源支路和另一支路间电压、电流的关系。(2)激励为电压源时，响应为电流激励为电流源时，响应为电压电压与电流互易。(3)电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；

电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个节点间。(4)互易时要注意电压、电流的方向。(5)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：§4-2线性电路的基本定理NSik+–uk支路

k

NS+–ukikNS一、替代定理(SubstitutionTheorem)任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uk（电流为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（电流等于ik的独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电流均保持不变。说明1.替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。2)被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。1)

原电路和替代后的电路必须有唯一解。2.替代定理的应用必须满足两个前提:例:图（a）所示电路，已知U=2V，试用替代定理求各U1，I1和I.

解；由替代定理，图中所示电路中网络N的端口电压U可用一个端电压和参考方向都与U相同的电压源Us替代，如图（b）所示U18VN+-U•abI+-•+-2I1+-3U14

I1（a）由图（b）所示可写出KVL方程-3U1+8+U1–2=0-3U1+4I1–2=0得U1=2.75A并由KCL可求得:I=2I1–I1=I1=2.75A+-a••+-+-+-4

Ib3U1I1U12I1（b）8V2V二、戴维南定理和诺顿定理

(Thevenin-NortonTheorem)NO°°°°ReqNSababRiuoc+-任意线性？（1）°°+-usisRRiueq+-（2）（3）问题的提出

1、戴维南定理：任何一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外电路来说，可以用一个独立电压源Uo和电阻Ri

的串联组合来等效替代；其中电压Uo等于端口开路电压，电阻Ri

等于端口中所有独立电源置零后端口的入端等效电阻。NSababRius+-任意线性NS°°+-uoc=usabbNo°°aRi=Req（1883年）定理的证明+abAi+–uN'iUoc+–uN'ab+–ReqabAi+–uabA+–u'abPi+–u''Req则替代叠加A中独立源置零NSababGiis证明留作课后思考任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联来等效替代；其中电流源的电流等于该一端口的短路电流，电导Gi

等于端口中所有独立电源置零后端口的入端等效电导。2、诺顿定理：NS°°isc=isabbNo°°aGi=Geq3、戴维南定理和诺顿定理的应用：a、范围1）求电路中某一条支路的电压、电流、功率。2）求电路中某一元件的最大功率。3）求电路的灵敏度。b、方法1）断开所求支路，形成有源一端口网络。2）用所学的所有方法求uoc,Ri

或

isc,Gi。解：根据电源的等效互换例题1：分别求出R=3

，

4

，5

，时的电流I。15V5V2A+20

+--20

10

5

+-85VR10

I5V+-20

15V2A20

+-10

5

+-85VR10

IIU0R0+-RVU80o=Ω29.4o=RR=3Ω时，I=10.97AR=4Ω时，I=9.63AR=5Ω时，I=8.59AR为何值时，其上获最大功率，并求此最大功率。*

时，Rf获最大功率iSRRUI+=

iSfRRRURIP22+==（）2直流电路最大功率传输定理得

R

=RiUsRRiUI+-R=4.29

获最大功率。功率匹配解：方法一断开所求支路，做戴维南等效电路。(1)求开路电压UoUo=6I1+3I1I1=9/9=1AUo=9V3

6

I1+–9V+–Uo+–6I1含受控源电路如图，求UR

。例题2：Uo+–Ri3

UR-+3

3

6

I1+–9V+–6I1°°–+UR(2)求等效电阻Ri（独立源置零，受控源保留），外加电源法U=6I1+3I1=9I1I1=I

6/(6+3)=(2/3)IRi=U/I=6

3

6

I1+–6I1U+–IU=9

(2/3)I=6I*(3)等效电路Uo+–Ri3

UR-+°°IscRi？诺顿等效电路利用开路电压、短路电流3

6

I1+–9VIsc+–6I13I1+6I1=0I1=0Isc=1.5A6

+–9VIscRi=Uo/Isc=9/1.5=6

*方法二直接用外加电源法，求戴维南等效电路。设端口电压、电流如图。3

6

I1+–9V+–6I1KVL：U=6I1+3I1U=6I1+6（I-I1）+9°°+-UI得U=6I

+99V+–6

U+-I三、特勒根定理(Tellegen’sTheorem)特勒根定理适合任何集总参数电路，讨论功率所遵从得规律。KCL—

电荷守恒KVL—

能量守恒

01==bkkkiu

01==bkkkiu

01==bkkkiu

功率守恒特勒根定理一：对于一个具有n个结点，b条支路的电路，设各支路电压、电流为uk

、ik

。若采用关联参考方向，在任何时刻，则各支路的功率代数和为零。拟功率守恒特勒根定理二：即：

01==bkkkiu

功率守恒（证明略）如果网络

和网络具有相同的拓扑结构。（电路元件可以不同），在任何时刻，若设

1.对应支路取相同的参考方向

2.各支路电压、电流均取关联的参考方向则拟功率守恒注意：拟功率守恒定理只是符合电路计算时的一种规律。证明1221iuuiukk)(-=122121iuiu-=212121iuiu+=211221iiiuuukk-==-=

,

令流出1流出21i流出节点1的所有支路电流和同理可证：

12ukik+-

12ukik+-^^N

L++==2211iuiuiubkkk1n个节点,有n项=0

例题：

电路如图,

求电流ix解:N+-10V1Ai1设电流i1和i2，方向如图所示。由特勒根定理，得Aiixx5.0510=-=-\+-5Vixi2kkkkkkkuiiRiiu==

\四、对偶原理

(DualPrinciple)例题网孔电流方程：(R1+R2)il=us节点电压方程：(G1+G2)un=isR2+–usilR1G1G2unis一.

网络对偶的概念1.平面网络；3.两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换,互换的元素称为对偶元素;这两个方程所表示的两个电路互为对偶。2.两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路）；成对的相似性称对偶性对应元素互换，两个方程可以彼此转换，两个电路互为对偶。二.

对偶原理注意=对偶等效（或陈述）S成立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶两个对偶电路N，N，如果对电路N有命题元素替换，所得命题（或陈述）S对电路N成立。对偶关系通过对偶性，可以帮助记忆一些电路分析的方法，公式。例题：证网孔方程：节点方程：两个电路互为对偶电路。(R1+R2)il1-R2

il2=us1-(R2-

rm)il1+(R2+R3)il2=0(G1+G2)un1-G2

un2=is1-(G2

-

gm)un1+(G2+G3)un2

=0R3R1R2+–us1il1il2i1+–rm

i1G2G3G1un1un2+–u1is1gmu1对应元素

网孔电阻阵CCVST形节点导纳阵VCCS

形对偶项目

对偶关系状态开路短路元件或参数电压源电流源电阻电导

自阻

自导

互阻

互导

电感

电容变量

电压

电流

结点电压