高考数学二轮复习真题源讲义专题强化训练(十八)

专题强化训练(十八)

一、单项选择题

1.已知点P(l,2),则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时,

a=(B)

A.1B.-i

4

C.iD.V5

4

解析:因为直线恒过定点A(0,4),则当PA与直线2ax+y-4=0垂直时,

点P到该直线的距离最大，此时过点P,A的直线的斜率为-2,所以直线

2ax+y-4=0的斜率为泉即-2a=1,所以a=-i.故选B.

2.(2022•山东济南模拟)已知a>0,b>0,直线11:x+(a-4)y+l=0,

k：2bx+y-2=0,且则」a+1T+三2b的最小值为(D)

A.2B.4

C.-D.-

35

解析：已知a>0,b>0,直线li：x+(a-4)y+l=0,l2:2bx+y-2=0,且li±l2,

所以lX2b+(a-4)X1=0,即a+2b=4,

则工(工+工)J(i+也+£±l+i)泉(2+2/也•山)),

a+l2b5a+12b5a+12b5\]a+12b5

当且仅当2b=a+1,即冶时,取等号,故七+5的最小值为去

24a+12b5

故选D.

3.(2022•浙江临海模拟预测)已知M为直线y=x+l上的动点,N为圆

x2+y2+2x+4y+4=0上的动点，则|MN|的最小值是(D)

A.V2B.2-V2

C.1D.V2-1

解析：由圆x2+y2+2x+4y+4=0,得(x+l)z+(y+2)2=l,可得圆心的坐标为

半径为1,

圆心到直线x-y+l=O的距V离2而M为直线尸x+1上的动

点,N为圆x2+y2+2x+4y+4=0上的动点，则|MN|的最小值是或-L故

选D.

4.从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=l的两条切线,切点分别

为C,D,则NCPD最大时，四边形OCPD(O为坐标原点)的面积是(B)

A.V3B.2V2

C.2V3D.2

解析：圆x2+y2=l的圆心为坐标原点0,建立平面直角坐标系,如图,则

Z0PC=Z0PD,

设N0PC=N0PD=0,贝ijZCPD=20,0C_LPC,则sin0二第二%,

当IOPI取最小值时,0P±l,此时10P|力翼^3,

V32+42

因为|PC|二|PD|二J|OP『-12二2/,|0C|二|0D|,|OP|=|OP|,故△OPC0

△OPD,此时S四边形OCPD=2S&P产|0C|•|PC|二1X2A/2=2V2.故选B.

5.（2022•安徽合肥二模）已知直线L：mx-y=0（m£R）过定点A,直线

l2:x+my+4-2m=0过定点B,L与b的交点为C,则AABC面积的最大值

为（C）

A.VioB.2V5

C.5D.10

解析:直线L:mx-y=0(m£R)过定点A(0,0),直线b:x+my+4-2m=0过定

点B(-4,2),

联立一2巾=。，消去m得(x+2)2+(yT)、5,又A(0,0),

B(-4,2)在圆(x+2)2+(y-l)2=5上,且线段AB为圆的直径，

故心|2+|03|2=2022仆|0|,所以3||CB|^10,

当且仅当ICAUICB31U时，取等号,AABC面积S^ICA•|CB|的最

大值为5.故选c.

6.(2022•甘肃二模)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与阿基米德、

欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现:如果一个动

点p到两个定点的距离之比为常数入(入＞0,且入W1),那么点p的轨

迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到A(-1,O),B(1,O)的距

离之比为百，则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为(A)

A.2V5-V3B.V5-V3

C.2A/5D.V3

解析:设C(x,y),贝■=V3,B|J.==V3,化简得(x-2)2+y2=3,

所以点C的轨迹为以D(2,0)为圆心，厂通的圆，则圆心D到直线

x-2y+8=0的距离匕产+8|二2心所以点c到直线x-2y+8=0的距离

Jl2+(-2)2

的最小值为2V5-V3.故选A.

7.(2022•江西模拟预测)设A(-2,0),B(2,0),0为坐标原点，点P满足

|PA|2+|PB|2^16,若直线kx-y+6=0上存在点Q使得/PQ04,则实数k

6

的取值范围为(C)

A.[-4^/2,4亚

B.(-oo,-4V2]U[4V2,+8)

C.(-8,一争U[y,+8)

D.中,李

解析:设P(x,y),因为|PA12+1PB12W16,所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y2<解

BPx2+y2^4,

所以点P的轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆面.若直线kx-y+6=0

则PQ为圆x2+yM的切线时NPQ0最大,所以sinNPQO二黑二焉21

即|0Q|W4,

所以圆心到直线kx-y+6=0的距离d;备＜4,所以苧或k等.

故选C.

8.(2022•广东铁一中学高三期末)己知mWR,过定点A的动直线

mx+y=0和过定点B的动直线x-my-m+3=0交于点P,则|PA|+g|PB|的

取值范围是(D)

A.(V10,2A/10]B.(J1U,V30]

C.V30)D.[V10;2A/10]

解析:动直线mx+y=O过定点A(0,0),动直线x-my-m+3=0,

即x+3-m(y+l)=0过定点B(-3,-1),且两条直线垂直，

所以点P在以AB为直径的圆上，|AB|=Vl2+32=V10,

设NABP=。，则iPAlWIUsin0,|PB|=V10cos。，。£[0,发，

所以|PA|+B|PB|="Usin0+V30cos0=2V10sin(0+-),

因为0e[0,9所以0+善耳争，所以$打(09)e1],

所以2V10sin(*)WhM2VT0].故选D.

二、多项选择题

9.(2022•山东淄博三模)己知圆01:x2+y2-2x-3=0和圆02：x2+y-2y-l=0

的交点为A,B,贝ij(ABD)

A.圆a和圆O2有两条公切线

B.直线AB的方程为x-y+l=0

C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|

D.圆0i上的点到直线AB的最大距离为2+V2

解析:对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确；

对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为

x-y+l=0,故B正确；

对于C,直线AB经过圆。2的圆心（0,1）,所以线段AB是圆。2的直径，

故圆Oz中不存在比线段AB长的弦,故C错误；

对于D,圆的圆心坐标为（1,0）,半径为2,圆Ch的圆心到直线

AB:x-y+l=0的距离为空-二位,所以圆G上的点到直线AB的最大距离

为2+V2,故D正确.故选ABD.

10.（2022•江苏通州高三期末）已知点A（4,3）在以原点0为圆心的圆

上,B,C为该圆上的两点,满足血＞&,则（ABD）

A.直线BC的斜率为；

4

B.ZA0C=60°

C.AABC的面积为25V3

D.B,C两点在同一象限

解析:BC=OA则BC,0A平行且相等,kmc=k°d，A正确;

t4

因为10B|=10A|,所以四边形OACB是菱形,且△AOC,AB0C都是正三角

形，即NA0C=60。，B正确,

10A|=V42+32=5,S^BC=1X52Xsin120°二竽,C错误，

24

设BC所在直线方程为y^x+b,即3x-4y+4b=0,

4

因为|BC|=5,所以0到BC的距离为尊,则蜷『二等解得b二士萼，

当b巨务5时,由y-x+—,取y=0,可得x=--＜-5,

8486

则B,C均在第二象限；

当b=-等＜-5时，由y1x-萼,取y=0,可得X二等＞5,

8486

则B,C均在第四象限.综上,B,C两点在同一象限,D正确.故选ABD.

11.（2022•湖北恩施高三期末）已知圆M:x?+（y-2）2=1,点P为x轴上

的一个动点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与MP

交于点C,则下列结论正确的是（ACD）

A.四边形PAMB周长的最小值为2+2V3

B.|AB|的最大值为2

C.直线AB过定点

D.存在点N使使N|为定值

解析:如图所示.

设|MP|=t,则AP|二|BP|八仔五,所以四边形PAMB的周长为2VFn+2,

当点P位于原点时,t取最小值2,故当t取最小值2时，四边形PAMB

的周长取最小值为2V3+2,故A正确；

由S四边形PAMB二2s△PAM可得:•|MP|•|AB|=2X|X|PA|XI,

则|ABI座号二2后,而122,则8W|AB|<2,故B错误；

tyj

设P(x0,0),A(xbyi),B(X2,y2),则PA的方程为Xix+(y-2)(y-2)=l,PB

的方程为x2x+(y2-2)(y~2)=l,

而P(x0,0)在切线PA,PB上，故x1Xo+(y-2)X(-2)=1,

-

x2xo+(y22)X(-2)=1,故AB的直线方程为xxo+(y~2)X(-2)=1,

当x=0时,y=|,即AB过定点(0,|),故C正确；

由圆的切线性质可知MP1AB,设AB过定点0(0,|),则点C位于以MD

为直径的圆上,设MD的中点为N,则N(0,今，则|CN|为定值，故D正确.

故选ACD.

22

12.(2022•山东临沂高三期末)已知圆C：x2+y2=l,圆C2:x+y=4,

P(x|,yI)在圆G上,Q(x2,y2)在圆C2上，则(ABD)

A.|PQ|的取值范围是[1,3]

B.直线x1x+y1y=l是圆G在点P处的切线

C.直线xix+y1y=4与圆C2相交

D.直线x2x+y2y=l与圆x2+y2q相切

解析：圆G：x2+y2=l的圆心为G(0,0),半径为1,圆C2：x?+y2=4的圆心

为C2(0,0),半径为2,

观察图象可得2-1W|PQ|W2+1,所以|PQ|的取值范围是[1,3],

A正确；

因为XiXi+yiyFl,所以点P(xby)在直线Xix+y1y=l上，

又G(0,0)到直线xix+yu=1的距离山二下^=1,又圆G的半径为1,

所以直线x1X+yiy=l是圆C在点P处的切线,B正确;

因为点P(xby)在圆G上,所以优+资=1,

所以C2(0,0)到直线x1X+yiy=4的距离d2=-=^=4,又圆C2的半径为2,

丫2」,2

所以直线xix+yiy=4与圆C2相离,C错误;

圆x?+y2=的圆心为(0,0),半径为点点(0,0)到直线x2x+y2y=l的距离

□—1」

32,

所以直线x2x+y2y=l与圆一+产4相切,D正确.故选ABD.

4

三、填空题

13.过点P(2,2)的直线L与圆(x-l)2+y2=l相切,则直线11的方程

为.

解析:当过P(2,2)的直线L斜率不存在时,方程为x=2,

与圆(x-l)2+y2=l相切，满足题意;

当过P(2,2)的直线L斜率存在时,设方程为y-2=k(x-2),

即kx-y-2k+2=0,

所以圆-1)廿1的圆心(1,0)到L的距离d*瑞组1,解得咛

所以l1：Hx-y4-i=0,即3x-4y+2=0,所以直线11的方程为3x-4y+2=0或

42

x=2.

答案：3x-4y+2=0或x=2

14.平面直角坐标系xOy中，已知A(-l,0),B(2,1),在aABC中,BC边

上的高所在直线的斜率为aAC边上的中线所在直线的方程为y=l,则

直线BC的一般式方程为,以AC为直径的圆的标

准方程为

解析：因为BC边上的高所在直线的斜率为a所以直线BC的斜率为-2,

直线BC的方程为y-l=-2(x-2),即2x+y-5=0.

设C(x°,y。)，因为AC边上的中线所在直线的方程为尸1,所以养1,

即yo=2,

因为直线BC的方程为2x+y-5=0,所以2xo+yo-5=O,

则Xo=1,C(1,2),AC的中点为©1),白(1+62+1哼,所以所求圆的标准

224416

方程为(x-；)2+(yT)2哼.

416

答案：2x+y-5=0(x-i)2+(y-D2=^

15.(2021•浙江模拟预测)已知直线l:mx-尸1,若直线1与直线

x-my-l=0平行,则实数m