高中数学学案-第十章-导数及其应用

第十章导数及其应用_

§10.1导数及其运算_

一、知识导学一

1.瞬时变化率：设函数N=/(x)在X。附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为Ax时，函数值相应

地改变与=/(Xo+Ax)-/(x),如果当Ar趋近于0时，平均变化率包=小叱42二趋近于

AxAx

一个常数C(也就是说平均变化率与某个常数C的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数)，那么常

数C称为函数/(X)在点X。的瞬时变化率。一

2.导数：当Ac趋近于零时，A*)一/趋近于常数量可用符号“f”记作：当AxfO时，

Ax

八也+©)一"电)Tc或记作lim/(/+©)一■/(,%)=。，符号"一”读作“趋近于"。函数在X。的

Ax加T0Ax

瞬时变化率，通常称作/(x)在x=x0处的导数，并记作/'(X。)。_

3.导函数：如果/(X)在开区间仅力)内每一点X都是可导的，则称/(X)在区间(a,6)可导。这样，对开区

间(。/)内每个值X,都对应一个确定的导数/'(X)。于是，在区间(a,b)内，/'(X)构成一个新的函数，

我们把这个函数称为函数y=/(x)的导函数。记为/'(X)或_/(或乂)。一

4.导数的四则运算法则：1)函数和(或差)的求导法则：设/(x),g(x)是可导的，则

(/(x)±g(x))'=/'(x)±g'(x)即，两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)。

2)函数积的求导法则：设/(x),g(x)是可导的，贝U"(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)即，两

个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。一

3)函数的商的求导法则：设/(x),g(x)是可导的，g(x)wO,则一

/(X)=g(x)/'(x)—/(x)g'(x)

_g(x)_|g2(x)

5.复合函数的导数:设函数〃=叭x)在点x处有导数〃；="'(X),函数y=/(〃)在点x的对应点u处有

导数y'u=/'(〃),则复合函数y=f1y(x)]在点x处有导数,且久=y'u-u'x.

6.几种常见函数的导数：

⑴C=0（。为常数）

⑶(sinx)'=cosx(4)(cosx)'=-sinx_

⑸(Inx)，=—⑹(log"x)'=—k)g“e.

XX

(7)(exy=ex⑻⑷)'=a1na_

二、疑难知识导析_

1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率一

2.运用复合函数的求导法则式=X应注意以下几点一

（1）利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量的函数，层层求导.一

（2）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误,

如（cos2x）'=-sin2x实际上应是一2sin2x。_

（3）求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如夕=-J选成歹=’,

（1—3x）u

〃=n-v=1-w,vv=3x计算起来就复杂了。_

3.导数的几何意义与物理意义_

导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的

几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。一

4.7'（%）与/''（X）的关系_

/'（X。）表示/（X）在X=X0处的导数，即/'（X。）是函数在某一点的导数；/'（X）表示函数/（X）在

某给定区间他力）内的导函数，此时/'（X）是在（a,b）上X的函数，即/'（X）是在（4,6）内任一点的导数。一

5.导数与连续的关系一

若函数y=/（x）在与处可导，则此函数在点与处连续，但逆命题不成立，即函数_

y=/（x）在点X。处连续，未必在X。点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充

分条件。.

6.可以利用导数求曲线的切线方程一

由于函数y=/（x）在x=x0处的导数，表示曲线在点尸（Xo，/（Xo））处切线的斜率，因一

此，曲线y=/（x）在点产（乙,/（与））处的切线方程可如下求得：_

（1）求出函数_y=/（x）在点x=x（）处的导数，即曲线y=/（x）在点尸（xo，）（x。））处切线的斜率。.

（2）在己知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：y=yo+/'（xo）（x-/）,如果曲线

y=/(x)在点尸。0，/(%))的切线平行于歹轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为

X=x0._

三、经典例题导讲_

［例1］已知y=(1+cos2x)2,则yf=

错因：复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了，导致错解

为：yf=-2sin2x(1+cos2x)

fr

正解：设y=,〃=1+cos2x,则yx=yuux-2w(l+cos2x)'=2u-(-sin2x)-(2x)

=2u•(-sin2x)-2=-4sin2x(1+cos2x)/.yf=-4sin2x(1+cos2x).

1(x2+l)(x<l)

［例2］已知函数/(x)=<判断f(x)在X=1处是否可导?

1(x+l)(x>l)

1,1,

-[(1+Ax)2+1]--(12+1)

错解：vlimZ--------------2------=1,；./'(I)=1«

Ar-»0A%

分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导.

1,1

[(1+Ax)2+1]-(127+1)

解：lim—=lim2--------------2------=1

Ar-^OAxAx-»0Ax

■^(l+Ax+l)-i(l2+l)

lim--EmZ-------------&-------

Ax-»O*M

：.f(x)在x=l处不可导.

注：Ar—0+,指Ac逐渐减小趋近于0；Axf0一，指加:逐渐增大趋近于0。

点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即lim,Ax_0,包括o+,与

At->oAX

一0,因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，

如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.一

［例3］求y=2,+3在点尸(1,5)和。(2,9)处的切线方程。一

错因：直接将P,。看作曲线上的点用导数求解。一

分析：点尸在函数的曲线上，因此过点尸的切线的斜率就是夕'在x=l处的函数值;

点。不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线.

2

解：vy=2x+3,.1.y'=4x.y'\X=1=4_

即过点P的切线的斜率为4,故切线为：y=4x+\._

为一9

设过点。的切线的切点为T(xo/o),则切线的斜率为4/，又左尸°=

X。-2

故—----=4x0，ax。？-8x（）+6=0.x（）=1,3。_

xo-2

即切线0T的斜率为4或12,从而过点。的切线为：_

y=4x-l,y=12x-15__

点评：要注意所给的点是否是切点.若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标._

［例4］求证：函数y=x图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0的切线方程.一

X

分析：由导数的几何意义知，要证函数歹=x+」的图象上各点处切线的斜率都小于1,只要证它的导函数

X

的函数值都小于1,因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解._

解：(1)y=x+-,：.y'=\—^＜\,即对函数歹=8+工定义域内的任一x,其导数值都小于1,于是

由导数的几何意义可知，函数y=X+L图象上各点处切线的斜率都小于1._

X

(2)令1—1=0,得％=±1,当x=l时，y=1+-=2；当x=-1时，y=-2,

x21

曲线N=x+，的斜率为0的切线有两条，其切点分别为(1,2)与(-1,-2),切线方程分别为y=2或

x

y=-2o_

点评：在已知曲线y=/(x)切线斜率为左的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标

就是y=/(x)的导数值为左时的解，即方程/•'(口=左的解，将方程/'(X)=左的解代入y=/(x)就可得

切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程/'(》)=%有多少个相异实根，则所求

的切线就有多少条._

［例5］已知。＞0,函数/(x)=/-a,xG［0,+oo),设X］＞0,记曲线y=/(x)在点/区,/区))处

的切线为/.一

(1)求/的方程；_

(2)设/与x轴交点为。2,0)，求证：_

111

3

①x2>6Z;②若X]>,贝lj。3<工2<X]_

分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程._

M/八一//、rAv1-(x+Ax)3-a-x3-}-a

解:(1)f(x)=hm—=litn-------------------------_

Ar70AxaT。Ax

..3X2AX+3X(AX)2+(AX)3

=lim---------------------------_

-Ax

=lim[3x2+3xAx+(Ar)2]=3x2_

AXTO

,2/

.-./(x1)=3x1.•.切线/的方程为y_/(x1)=/(x1)(x-x1)_

即y-(x,-a)=3xJ(x-X1).一

(2)①依题意，切线方程中令y=0得，

।M-a%）-Q

②由①知x2=x}-------，，x2-x}=---------_

11

由过〉a4,..端>a（此时

..<0,/.a3<X2<肛

［例6］求抛物线y=j?上的点到直线x—y—2=0的最短距离._

分析：可设P（x,》2）为抛物线上任意一点，则可把点尸到直线的距离表示为自变量x的函数，然后求函

数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线

x-y-2=0的距离即为本题所求._

解：根据题意可知，与直线x-y—2=0平行的抛物线y=(的切线对应的切点到直线x—y-2=0的距离最短,

2,1

设切点坐标为(勺，勺)，那么，|户颉=2x=2x0=1,/.x0=

,11

12一4一21_7痣

•••切点坐标为(；,；)

切点到直线x-y-2=0的距离d

V28

抛物线上的点到直线的最短距离为逑.一

8

四、典型习题导练_

1.函数_y=/(x)在x=/处不可导，则过点尸(xo，/(xo))处，曲线y=/(x)的切线()

A.必不存在B.必定存在C.必与x轴垂直D.不同于上面结论一

x+3

2.y=在点x=3处的导数是__________

x2+3

3.已知/(x)=办3+3/+2,若/(-1)=4,则a的值为._

4.已知P(—1,1),Q(2,4)是曲线丁=/上的两点，则与直线尸。平行的曲线丁=一的切线

方程是,_

5.如果曲线y=d+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行，求切点坐标与切线方程.一

6.若过两抛物线歹=——2x+2和夕=-/+◎+b的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：

抛物线y=—，+“X+b过定点。，并求出定点。的坐标.一

§10.2导数的应用一

一、知识导学一

1.可导函数的极值一

(1)极值的概念一

设函数/(x)在点X。附近有定义，且若对与附近的所有的点都有/(x)<f(x0)(或/(x)>/(/)),则

称/(4)为函数的一个极大(小)值，称x0为极大(小)值点.一

(2)求可导函数/(x)极值的步骤:_

①求导数/'(X)。求方程/'(x)=0的根.一

②求方程//(x)=0的根.

③检验/'(x)在方程/'(x)=0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函

数丁=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数y=/(X)在

这个根处取得极小值.一

2.函数的最大值和最小值

⑴设y=/(x)是定义在区间［a,司上的函数，y=f(x)在(a,b)内有导数，求函数y=/(x)在［a,h］上

的最大值与最小值，可分两步进行.

①求y=/(x)在(a,b)内的极值.

②将y=/(X)在各极值点的极值与/(a)、/«)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小

值.

(2)若函数/(x)在［a,同上单调增加，则/(a)为函数的最小值，/(b)为函数的最大值；若函数/(X)在

［a,以上单调递减，贝U/(a)为函数的最大值，/(b)为函数的最小值.

二、疑难知识导析

1.在求可导函数的极值时，应注意：(以下将导函数/'(X)取值为0的点称为函数/(x)的驻点可导函数的

极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数y=|x|在点x=0处有极小值/(0)=0,可是

这里的/'(0)根本不存在，所以点x=0不是/(%)的驻点.

(1)可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数/(乃=刀3的导数/'(乃=3/,在

点x=0处有/'(0)=0,即点x=0是/(x)=d的驻点，但从/(x)在(—8,+0。)上为增函数可知，点

x=0不是/(x)的极值点.

(2)求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区

间的增减情况一目了然.

(3)在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定

义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导(其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可

导)，并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大(小)值(如果定义域是闭区间，那么只要函数

在此闭区间上连续，它就一定有最大(小).记住这个定理很有好处)，然后通过对函数求导，发现定义域

内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,

因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处

的值进行比较等步骤.

2.极大(小)值与最大(小)值的区别与联系

极值是局部性概念，最大(小)值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大(小)

值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(。力)内只有一

个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.

三、经典例题导讲

2

［例1］已知曲线S:y=-§/+/+4x及点尸(0,0),求过点尸的曲线S的切线方程.

错解：y'=—2/+2x+4,.•.过点P的切线斜率％=ME=4,.•・过点尸的曲线S的切线方程为

y=4x.

错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，

点P凑巧在曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点P,上述解法对求过点P的切线方程

和求曲线在点P处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.

正解：设过点尸的切线与曲线S切于点。(Xo/o)，则过点尸的曲线S的切线斜率

左=y|许与=~2x0+2x0+4,又kpg=—,..~2x0+2x0+4=—。①.点0在曲线S上,

人0人0

232/

2一./+xo+4%

yo=—XQ+XQ~+4x0.②，②代入①得一2工0~+2XQ+4=-----------------------

30%

4.3

化简，得§演/一项/9=0,，/=0或％=a,若而=0，则左=4,过点P的切线方程为y=4x；

33535

若为二则左=三，过点P的切线方程为歹二三x..•.过点P的曲线S的切线方程为y=4x或

35

y=­X.

8

［例2］已知函数〃x)=办3+3——X+I在及上是减函数，求。的取值范围.

错解:尸(刈=3Q2+61一1,・・・/(%)在/?上是减函数，.・.尸(工)<0在/?上恒成立,

/.3ax2+6x-1<0对一切xeR恒成立，..A<0,即36+12。<0,a<-3.

正解：/''(X)=3QX2+6X—1,・・・/(工)在R上是减函数，.・.广(X)<0在H上恒成立，.・.A«0且。<0,

即36+12aW0且。<0,/.a<-3.

X

［例3］当x>0,证明不等式」一<ln(l+x)<x.

1+x

证明：f(x)=ln(x+1)--—,g(x)=ln(x+1)—x,则f'(x)=-J，当x>0时。/(x)在(0,+8)

1+x(1+x)

X—Y

内是增函数，内0),即ln(l+X)-------->0,又g<x)=-------当x>0时,g'(x)<0,g(x)

1+x1+x

在(0,+oo)内是减函数，g(x)<g(0),即ln(l+x)—x<0,因此，当x>0时，不等式上，<ln(l+x)<x

1+x

成立.

x

点评：由题意构造出两个函数/'(x)=ln(x+l)———,g(x)=ln(x+l)—x.利用导数求函数的单调区间，

1+x

从而导出/(x)>/(0)及g(x)<g(O)是解决本题的关键.

［例4］设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在

铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果己知每千米的铁路运费与公

路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？

解：设BD之间的距离为xkm,则lADkJ?G7,|CD|=100-X.如果公路运费为a元/km,那么铁路运

3a

费为《元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费y

为：y=”(ioo_x)+aJ3+400,(0WXW100).对该式求导，得

.-3aaxci(5x—3yj4-400)人,八口”口2々?4八八、田、加

yf=——+/二——I~-,4/=0,即得25X2=9(x2+400),解之得

5yjx2+4005V%2+400

匹=15,%=T5(不符合实际意义,舍去).且匹=15是函数y在定义域内的唯一驻点,所以匹=15是函数

y的极小值点，而且也是函数丁的最小值点.由此可知，车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费

最省,

点评：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是一个复合函数，用过去的知识求其最值往往没有

一般方法,即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.

一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理

函数、简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值.由此也可见，导数的引入，大大拓

宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.

［例5］函数/(工)=3/+3改一1应(刈=f(x)—ax—5,其中/'(x)是/(无)的导函数.(1)对满足TWa

W1的一切a的值，都有g(x)<0,求实数x的取值范围；

(2)设a=—m2,当实数〃?在什么范围内变化时，函数y=/(x)的图象与直线歹=3只有一个公共点.

解：(1)由题意g(x)=3x?-ar+3a-5

令W(x)=(3-尤)a+3x?-5,-1<a<1

对一1WaW1,恒有g(x)<0,即夕(a)<0

9⑴<0f3x2-x-2<0

9（-1）<0[3X2+X-8<0

2

解得—±<x<l

3

故xe［—时，对满足一IWaWl的一切a的值，都有g（x）<0.

（2）/（x）=3x2-3/M2

①当加=0时，/（X）=d一1的图象与直线y=3只有一个公共点

②当加时，列表：

X（-哈阿）TH帆(|w|,+oo)

/(x)+0—0+

/(x)/极大极小/

/(X)极小=/(W)=-2/同_1<-1

又•••/（X）的值域是R，且在（同,+00）上单调递增

...当x〉W|时函数y=/（x）的图象与直线歹=3只有一个公共点.

当X〈帆时,恒有/（X）<

由题意得/（一］〃“<3

即2机217Ml-i=2|〃『一1<3

解得加式一蚯,0）U（0,正）

综上，〃，的取值范围是（-3,蚯）.

［例6］若电灯B可在桌面上一点0的垂线上移动，桌面上有与点0距离为a的另一点A,问电灯与点0的

距离怎样，可使点A处有最大的照度？（/8/。=如胡=心照度与5/9成正比，与厂2成反比）

分析：如图，由光学知识，照度歹与sine成正比，与户成反比，

即y=。呼（C是与灯光强度有关的常数）要想点A处有最为

rAao

大的照度，只需求y的极值就可以了.

解：设。到6的距离为x,贝ijsine='，r=Vx2+a2

r

22

工目「sin。「x°x,„a-2x

于是y=C——=C—=C--------（0<x<oo）,y=C----------=0.

（x2+a2y（x2+a2y

a

当V=0时，即方程/一2》2[0,+8)内,

=0的根为匹=正(舍)与超=~=,在我们讨论的半闭区间

所以函数了=/(X)在点云a

取极大值，也是最大值。即当电灯与。点距离为正时，点Z的照度歹为最

(0,

V2(专+8)

+-

y'

yX

/

点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得/'(x)=0且在该点两

侧，/'(X)的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大(小)值点.

四、典型习题导练

1.已知函数/(幻=。/+(2。-1)/+2,若x=-l是y=/(x)的一个极值点，则。值为()

A.2B.-2C,-D.4

7

2.已知函数/(x)=/+or?+笈+/在x=1处有极值为10,则/(2)=.

1X

3.给出下列三对函数：©/(X)=,g(x)=-x-'®f(x)=ax2(a>0),g(x)=

Xa

③/(X)=-(_)"g(X)=-10g(-X);其中有且只有一对函数”既互为反函数，又同是各自定义域上

的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是f(x)

g'(x)=---------------------

4.已知函数/(力=/+352+3(。+2口+1有极大值和极小值，求a的取值范围.

5.已知抛物线=+2,过其上一点尸引抛物线的切线/,使/与两坐标轴在第一象限围成的三角形

的面积最小，求/的方程.

6.设g(y)=l—7+4盯374在歹641,0］上的最大值为/(》)，xsR,

(1)求/(x)的表达式；(2)求/(x)的最大值.

§10.3定积分与微积分基本定理

一、知识导学

1.可微：若函数y=/(x)在X。的增量©可以表示为Ax的线性函数ZAx(/是常数)与较Av高阶的

无穷小量之和：Ay=NAr+o(Ar)(1)，则称函数/在点/可微，(1)中的力Ax称为函数/在点4的

微分，记作方二=或力(x)|、=ZAr.函数/(x)在点x°可微的充要条件是函数/(x)在/可导，

这时(1)式中的/等于/'(X。).若函数y=/(x)在区间/上每点都可微，则称/(x)为/上的可微函数.

函数歹=/(x)在/上的微分记作dy=/'(x)Ax.

2.微积分基本定理：如果/(x)=/(x),且/(X)在口,切上可积.则

f/(x)dx=E(b)—尸(a).其中F(x)叫做/(x)的一个原函数.

由于［尸(x)+c］'=/(x),尸(x)+c也是/(x)的原函数，其中C为常数.

二、疑难知识导析

I.定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，

只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.

1)一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者X趋近于0,这样所

有的小区间的长度才能都趋近于0,但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成〃份，这样只要2

其中的使L30就可以了.

n

2)对每个小区间内&的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.

3)求极限的时候，不是〃-00,而是4—0.

2.在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不

带常数的。因为，/(x)dx=［R(x)+c］,=F(x)|:=F(b)-F⑷.

3.利用定积分来求面积时，特别是位于x轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分

的代数和.

三、经典例题导讲

［例1］求曲线y=sinx与x轴在区间［0,2万］上所围成阴影部分的面积S.

错解：分两部分，在［0,7］=2,在［肛2万］,"sinx=-2,因此所求面积S为2+(-2)

=0o

分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反

数。所以不应该将两部分直接相加。

71.广2%

［sinxdx+sinxdx=2+2=4

［例2］用微积分基本定理证明

rbre《b

f(x)dx=f{x}dx+f{x}dx(a<c<b)

JaJaJc

分析：即寻找/(x)的原函数代入进行运算。

解；设F(x)=/(x),则［/(x)dx+『f(x)dx

=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)=F(b)-F(a)

由微积分基本定理的逆运用可知：上式=1/(%)公

所以原式成立，即证。

注：该式可用来求分布在x轴两侧的图形的积分。

［例3］根据等式求常数。的值。

x1dx-18(tz>0)2)［一=3

-aJex

分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入a求解

解：1)「