高中数学人教版必修五第一单元评估验收

单元评估验收（一）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小

题给出的四个选项中，.只有一项是符合题目要求的）

.1.在△A3。中，a=k,b=\[3k（k>0）,A=45°,则满足条件的

三角形有（）

A.0个B.1个

C.2个D.无数个

解析：由正弦定理得急=瘾，

所以01>3=姆必=*>1,即sinb>l,这是不成立的.所以没

（L/

有满足此条件的三角形.

答案：A

2.在△A3。中，已知°=g，b=2,3=45。，则角4=（）

A.30。或150°B.60°或120°

C.60°D.30°

解析：由正弦定理方得，sinA=^sinB=^sin45°=1,

oijn/A.sinIJu乙乙

又因为。>a,故4=30°.

答案：D

3.已知三角形三边之比为5：7：8,则最大角与最小角的和为

（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

解析：设最小边为5,则三角形的三边分别为5,7,8,设边长

为7的边对应的角为0,则由余弦定理可得49=25+64—80cos0,

解得cos夕=；,所以。=60。.则最大角与最小角的和为180°-60°=

120°.

答案：B

4.在△A3。中，a=15,b=20,A=30°,贝！)cos5=()

A.袋B4

JJ

C.TD.害

JJ

解析，因为一^=—^―

常忻.N7jsinAsin5，

圻比15_20

所以sin30°—sin"

2

解得sinB=~.

J

因为。>a,所以5>A,故3有两解，

所以cos5=±六-.

答案：A

5.在△A3。中，已知cosAcos5>sinAsin贝!|△AbC是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

解析：由cosAcosB>sinAsinB,得

cosA-cosB—sinAsin5=cos(A+b)>0,

所以A+bV90°,所以。>90。，。为钝角.

答案：C

6.如图所示，海.平面上的甲船位于中心。的南偏西30。，与。

相距15海里的C处.现甲船以35海里/时的速度沿直线CB去营救

位于中心O正东方向25海里的B处的乙船,则甲船到达B处需要的

时间为（）

AJ小时B.1小时

3

小时D.2小时

解析：在△03。中，由余弦定理，得CB2=CO2+OB2-

222=35

2COOBcos120°=15+25+15X25=35,因此CB3591(小

时），因此甲船到达3处需要的时间为1小时.

答案：B

7.已知△A3C中，sinA：sin：sinC=k:优+1)：2k,则k

的取值范围是()

A.(2,+°°)B.(一8,0)

C2,D.&+8

解析：由正弦定理得：a=mk,b=tn(k+l),c=2mk(m>0),

a+b>c,\m(24+1)>2mk,

因为〈即,、

[a+c>Z>,[3mk>m(k+1),

所以

答案：D

8.△A5C的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为:，则其外

接圆的直径为（）

9啦4

A.

12B.4

9啦

18

解析：设另一条边为x,贝1】一=22+32—2义2><3><；,

所以好=9,所以*=3.

12\l2

设cos8=3,贝"sin

JJ

339A/2

所以2R=

sin02啦4•

3

答案：B

9.已知△ABC中，内角A,B,。所对边长分别为a,b,c,若

A=-r,b=2acosB,c=l,则△ABC的面积等于（）

A.坐B寿

C.乎D.*

解析：由正弦定理得sin3=2sinAcos3,故tan3=2sin4=2sin

甘木,又b£（0,n）,所以3=々，又4=3=三，则△ABC是正三

JJJ

角形，所以S^ABc=50csinA=]X1X1

答案：B

10.在△ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,且sin2]

则△A3C的形状为（）

/C

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

-,一，=1-cosA1b

解析：由已知可得一一=不一二，

即cosA=~,b=ccosA.

法一由余弦定理得

Z>2+c2-«2

COSA=T7,

Z>2+c2—a2

贝ijb=c-

2bc

所以c2=q2+",由此知△Ab。为直角三角形.

法二由正弦定理，得sinB=sinCeosA.

在△ABC中，sinB=sin(A+Q,

从而有sinAcosC+cosAsinC=sinCeosA,

即sinAcosC=0.

在△ABC中，sinA#=0,

元

所以cosC=0.由此得C=刀,

故△ABC为直角三角形.

答案：B

11.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处

时测得公路北侧一铁塔底部。在西偏北30。的方向上，行驶200m后

到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75。的方向上，塔顶D的仰

角为30。，则此铁塔的高度为（）

1一二甲、.

A.10皿B.50\/6m

C.100*mD.100\/2m

解析：设此铁塔高则BC=a,在△45。中，NA4C=

30°,ZCBA=105°,ZBCA=45°,AB=200.

根据正弦定理得舒=端条，解得/

答案：A

12.在△A3。中，AB=7,AC=6,M是3。的中点，AM=4,

则BC等于（）

A.亚B.V106

C.^69D.V154

解析：设bC=a,则bM=MC=g..

在△A5M中，AB2=BM1+AM1-2BM・AM-cosZAMB,

即72=；“2+42—2XTX4XCOSNAM5,①

在△4CM中，AC2=AM2+CM2-2AM-CM-COSZAMC,

即62=42+ja2+2X4X^XcosZAM5,②

①+②得72+62=42+42+；〃，所以豕.

答案：B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填

在题中横线上）

13.已知△ABC中，3。2—2而+3"—3。2=0,则cosC=.

解析：由3层一2而+3"—3c?=0,

得c2=a2-\~b2—^ab.

根据余弦定理，得

«2+Z>2-c2

COSC=Zl_a7b

2

〃2+。2—〃2一左+王必

J

lab

=1

一3，

所以COSC=T.

J

1

答案：Q

J

14.设△ABC的内角A,B,。所对边的.长分别为a,b,c.若办

+c=2a,3sinA=5sinB,则角。=.

解析：由已知条件和正弦定理得：3a=5b,且。+c=2a,

n,5b一，=7b

贝4a=q,c=2a-b9

a2+Z>2—c21

cosC=lab=~T

2元

又OVCV兀，因此角。=大■.

J

答案：v

J

15.在△A3。中，4满足点sinA+cos4=LAB=2,BC=2小,

则△A3C的面积为.

\/3sinA+cosA=l,

解析：由•22241

Ism2A+cosA=l,

f.A至

sin

得‘

cosA=—

所以4=120°,

由正弦定理得彘

所以sinC=T.

因为AB<BC,

所以。=30°,所以3=30°,

所以S=^ABXBCXsin5=；义2X24Xsin30°=小.

答案：小

16.太湖中有一小岛C,沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽

车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15。的方向上，汽车行驶1km

到达3处后，又测得小岛在南偏西75。的方向上，则小岛到公路的距

离是km

解析：如图所示，ZCAB=15°,ZCBA=180°-75°=105°,N

ACB=180°-105°-15°=60°,AB=lkm.

A

B

BCAB

由正弦.定理得

sinZCABsinNACb'

72

所..以5C=刖1唱K15。=A/6^—^(km).

设。到直线4b的距离为d,

贝1d=BCsin7.^f乖；P=兴(km).

答案:平

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字

说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)设△A3C的内角4、B、。所对的边长分

别为“、b、c,且acosb=3,bsinA=4.

(1)求边长a；

(2)若△ABC的面积S=10,求△A3。的周长/.

解：⑴由题意得：器!甘，

由正弦定理得：|=sinA

sin3'

cosB3

所以

sinB不

cos2.B=^sin2£?=看(1—cos2.B),

即cos2B=^,

由题意知：a2cos2,B=9,

所以"=25,得a=5或a=—5(舍去).

所以a=5.

(2)因为S=^bcsinA=2c,

所以，由S=10得c=5,

应用余弦定理得：

b=Aja12+*c2-2accosB=2/.

故△ABC的周长，=a+)+c=2(5+d^).

18.(本小题满分12分)在△A5C中，角4、B、。所对的边分别

为。、b、c,且a=2,cosb=g.

(1)若b=4,求sinA的值;

(2)若△45。的面积S^BC=4,求从c的值.

3

解：.⑴因为cos3=w>0,0<8<兀，

所以sinB=\I1—COS2B=~^.

由正弦定理得f=3，

smAsinB9

a2

所以B=~z.

sinA=Tbsin5

14

(2)因为S^ABc=^acsinB=-c=49

所以c=5.

由余弦定理得b2=a2-\~c2—2«ccosB=

3

22+52-2X2X5X-=17,

所以行或》=一亚(舍去).

所以b=\[17.

19.(本小题满分12分)设△45。的内角A,B,。的对边分别为

a,b,c,(a-\-b~\-c)(a-b+c)=ac.

⑴求B；

木―1,

⑵右sinAsinC=-一,求vC.

解：(1)因为(a+0+c)(a—0+c)=ac,

所以a2+c2—b2=­ac,

层+，一万2

由余弦定理得cos

又3£(0°,180°),因此5=120°.

(2)由(1)知A+C=60。，①

所以cos(A—,C)=cosAcosC+sinAsinC

=cosAcosC—sinAsinC+2sinAsinC

=cos(A+C)+2sinAsinC

=1+2X小一1_小

4・2，

又因为一60°<4—。<60°,

故4一。=30。或4一。=一30°.②

由①②得。=15。或C=45。.

20.（本小题满分12分）某观测站在城4南偏西20。方向的。处,

由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°,在C处测得公路距C

处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达

O处，此时C、。间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到

达城4?

解：如图所示，设NAC£）=a,

ZCDB=fi.

在△03。中，由余弦定理得cos/?=

BD2+CD2-CB2

2BDCD

202+212~312_1

2X20X21=-7J

4小

所以sinfi=

7,

4\/31A/3

而优

sina=sinQ?—60°)=sinos60°—sin60°cos///

yl=5^3

X7-14,

4人，21AD

在△AC0中，sin60o=^；,

〜21Xsina,,

所以矿=15（千米）.

所以这人还要再走15千米可到达城A.

21.（本小题.满分12分）在△A3C中，角A,B,。所对的边分别

为a,b,c,cos2。+26cosc+2=0.

（1）求角。的大小；

⑵若b=^2a,/\ABC的面积为岸sinAsinB,求sin4及c的值.

解：（1）因为cos2C+2啦cosC+2=0,

所以2COS2C+2^/2COSC+l=0,

即NicosC+1）2=0,

所以cosC=

37t

又。£（0,兀），所以。=].