河北省邢台市临西县翰林高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年下学期高一年级第二次质量检测数学本试卷共4页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.下列量中是向量的为（）A.频率 B.拉力 C.体积 D.距离2.（）A B. C. D.3.已知向量，若，则（）A. B. C.1 D.24.设都是单位向量,且,则向量,的夹角等于（）A B. C. D.5.已知向量，，且与的夹角，则（）A B. C. D.6.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（）A.120° B.45° C.60° D.30°7.如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（）A. B. C. D.8.已知向量，，且，则的最大值为（）A.1 B.2 C. D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在中，分别是的中点，则（）A.与共线 B.与共线C.与共线 D.与共线10.下列说法中正确的是（）A.若，，且与共线，则B.若，，且，则与不共线C.若、、三点共线，则向量都是共线向量D.若向量，且，则11.在中，内角所对的边分别为，，，，则（）A.BC.D.的面积为或三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．13.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则______________________.14.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是平面上两个不共线的向量，且.（1）若，方向相反，求的值；（2）若，，三点共线，求的值.16.设，，，为平面内的四点，且，，.（1）若，求点的坐标；（2）设向量，若与平行，求实数的值.17.已知向量，.（1）求；（2）已知，且，求向量与向量的夹角.18.在中，分别是角的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若，，求a的值．19.记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面积为，求c．

2024-2025学年下学期高一年级第二次质量检测数学本试卷共4页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.下列量中是向量的为（）A.频率 B.拉力 C.体积 D.距离【答案】B【解析】【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故选：B2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减法的几何意义，即可求得答案.【详解】由题意可得,故选：D3.已知向量，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.4.设都是单位向量,且,则向量,的夹角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等式将移到另一端,两边同时平方,由都是单位向量可求出,的夹角.【详解】解析:由,可知,故,∴.设,的夹角为,即,又,∴.故选::A5.已知向量，，且与的夹角，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题知，进而得，再根据求解即可.【详解】解：因为，所以，所以，所以.故选：C6.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（）A.120° B.45° C.60° D.30°【答案】A【解析】【分析】应用余弦定理结合角的范围计算求解.【详解】因为，所以，即，所以，由余弦定理得．因为，所以，故选：A．7.如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.【详解】由已知，，，，所以.由已知是的中点，所以，，.所以，，所以，故选：B.8.已知向量，，且，则的最大值为（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根据向量的坐标运算和平行关系得到的关系，再利用基本不等式的推论即可得解.【详解】由题意得，,，因为，所以，即.所以，即，当且仅当，时等号成立.所以的最大值为2.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在中，分别是的中点，则（）A.与共线 B.与共线C.与共线 D.与共线【答案】BD【解析】【分析】根据向量共线概念即可求解结果．【详解】对于A，因为与不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，A错；对于B，因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确；对于C，因为与不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，C错；对于D，因为D是AB的中点，所以，所以与共线，D正确．故选：BD10.下列说法中正确的是（）A.若，，且与共线，则B.若，，且，则与不共线C.若、、三点共线，则向量都是共线向量D.若向量，且，则【答案】BCD【解析】【分析】根据共线向量的性质判断即可.详解】对于A，或时，比例式无意义，故A错误；对于B，若，，与共线，则一定有，故B正确；对于C，若、、三点共线，则，，在一条直线上，则，，都是共线向量，故C正确；对于D，若向量，且，则，即，故D正确.故选：.11.在中，内角所对的边分别为，，，，则（）A.B.C.D.的面积为或【答案】AD【解析】【分析】对于A，利用正弦定理即可得解；对于B，利用小边对小角判断得的范围，再利用三角函数的平方关系即可得解；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，利用三角形面积公式即可得解.【详解】对于A，因为，，，所以由，得，解得，故A正确；对于B，因为，所以，故，因为，所以，故B错误；对于C，由，得，解得或，经检验，与都满足要求，故C错误；对于D，当时，；当时，；所以的面积为或，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．【答案】【解析】【详解】分析：（解法1）根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；（解法2）换元，令c＝a－b，结合数量积的运算律运算求解．详解：（解法1）因为|a＋b|＝|2a－b|，即（a＋b）2＝（2a－b）2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0.因为|a－b|＝，即（a－b）2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝.（解法2）设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b.由题意可得：（c＋2b）2＝（2c＋b）2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝.【考查意图】模与夹角的运算．13.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则______________________.【答案】【解析】【分析】首先设向量，根据条件，结合数量积公式，即可求解.【详解】设.因为，所以.因为，所以，化简得，解得，，所以，.因为是与轴平行的向量，故舍去，所以.故答案为：.14.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据正弦定理解三角形即可得解.【详解】在中，，，所以，在中，由正弦定理可得所以，.故答案为：1；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知是平面上两个不共线的向量，且.（1）若，方向相反，求的值；（2）若，，三点共线，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由，方向相反，则存在负数使得，再根据向量相等即可求出的值；（2）由三点共线，则存在存在，使得，再根据向量相等即可求出的值．【小问1详解】由题意知，，则存在，使得，即，整理，得.由，是不共线的向量，得解得或又，方向相反，则，，故的值为2.【小问2详解】由题意得,.由，，三点共线得，存在，使得，即，整理得.由，是不共线的向量，得解得或综上，或.16.设，，，为平面内的四点，且，，.（1）若，求点的坐标；（2）设向量，若与平行，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算以及相等向量、共线向量的坐标运算即可得解.【小问1详解】设点，则,.因为，所以，即得.所以点的坐标为.【小问2详解】由题意得，所以，.因为，所以，解得.17.已知向量，.（1）求；（2）已知，且，求向量与向量的夹角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.（2）由向量的模，结合向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再求出夹角作答.【小问1详解】由题知，，，所以，所以.【小问2详解】由题知，，，设向量与向量的夹角为，所以，即，解得，因为，所以向量与向量的夹角为.18.在中，分别是角的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若，，求a的值．【答案】（1）（2）1或3【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式,再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后,由不为0,即可得到的值,根据B的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）利用余弦定理得到,配方后把b,及的值代入,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值．【详解】解：（1）由正弦定理得,得,代入,即,化简得：,,,,,,又∵角B为三角形的内角,；（2）将,,,代入余弦定理,得,或．【点睛】本题主要考查了正弦与余弦定理以及三角函数和差角公式的运用