高中数学必修 选修全部知识点归纳总结新课标人教A版

高中数学必修+选修学问点归纳

新课标人教A版

复习寄语:高三第一轮藁资料

引言空间向量及立体几何。

1.课程内容：选修2—2:导数及其应用，推理及证明、

必修课程由5个模块组成：数系的扩大及复数

必修1：集合、函数概念及根本初等函数（指、选修2—3:计数原理、随机变量及其分布

对、骞函数）：一列，统计案例。

必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。系列3:由6个专题组成。

必修3:算法初步、统计、概率。选修3—1:数学史选讲。

必修4:根本初等函数（三角函数）、平面选修3—2:信息平安及密码。

对量、三角恒等变换。选修3—3:球面上的几何。

必修5:解三角形、数列、不等式。选修3—4:对称及群。

以上是每一个高中学生所必需学习的。选修3—5:欧拉公式及闭曲面分类。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学选修3—6:三等分角及数域扩大。

根底学问和根本技能的主要部分，其中包括系列4:由10个专题组成。

集合、函数、数列、不等式、解三角形、立选修4—1:几何证明选讲。

体儿何初步、平面解析儿何初步等。不同的选修4—2:矩阵及变换。

是在保证打好根底的同时，进一步强调了这选修4一3:数列及差分。

些学问的发生、开展过程和实际应用，而不选修4-4:坐标系及参数方程。

在技巧及难度上做过高的要求。选修4一5:不等式选讲。

此外，根底内容还增加了向量、算法、选修4—6:初等数论初步。

概率、统计等内容。选修4一7:优选法及试验设计初步。

选修课程有4个系列：选修4—8:统筹法及图论初步。

系列1:由2个模块组成。选修4一9:风险及决策。

选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线及方选修4—10：开关电路及布尔代数。

程、导数及其应用。2・重难点及考点：

选修1一2:统计案例、推理及证明、数系重点：函数，数列，三角函数，平面对

的扩大及复数、框图量，圆锥曲线，立体几何，导数

系列2:由3个模块组成。难点：函数、圆锥曲线

选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线及方高考相关考点：

程、

⑴集合及简易逻辑:集合的概念及运算、简

组成的总体叫做集合。集合三要素：通

易逻辑、充要条件

⑵函数：映射及函数、函数解析式及定义域、定性、互异性、无序性。

值域及最值、反函数、三大性质、

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就

函数图象、指数及指数函数、对数

及对数函数、函数的应用称这两个集合相等。

⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比

数列、数列求和、数列的应用3、常见集合：正整数集合:N*或N-整

⑷三角函数：有关概念、同角关系及诱导公

数集合:Z,有理数集合:Q,实数集

式、和、差、倍、半公式、求

值、化简、证明、三角函数的告R.

图象及性质、三角函数的应用

、集合的表示方法：列举法、描绘法.

⑸平面对量：有关概念及初等运算、坐标运4

算、数量积及其应用

§1.1.2、集合间的根本关系

⑹不等式：概念及性质、均值不等式、不等

式的证明、不等式的解法、确定1、一般地，对于两个集合A、B,假如集

值不等式、不等式的应用

合A中随意一个元素都是集合B中的元

⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的

位置关系、线性规划、圆、素，则称集合A是集合B的壬集。记作

直线及圆的位置关系

⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、

直线及圆锥曲线的位置关

2、假如集合AqB,但存在元素XEB,且

系、轨迹问题、圆锥曲线

的应用xgA,则称集合A是集合B的真子集.

⑼直线、平面、简洁几何体：空间直线、直

记作：A£B.

线及平面、平面及平面、棱

柱、棱锥、球、空间向量

3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作:

⑩排列、组合和概率：排列、组合应用题、

二项式定理及其应用。.并规定：空集合是任何集合的子集.

(11)概率及统计：概率、分布列、期望、方差、

4、假如集合A中含有n个元素，则集合A

抽样、正态分布

⑫导数：导数的概念、求导、导数的应用有2”个子集，2"-1个真子集.

⑬复数：复数的概念及运算

§1.1.3、集合间的根本运算

必修1数学学问点

1、一般地，由全部属于集合A或集合B

第一章：集合及函数概念

的元素组成的集合，称为集合A及B的

§1.1.1>集合

注集.记作：

1、把探讨的对象统称为元素，把一些元素

2、一般地，由属于集合A且属于集合B§1.3.2、奇偶性

的全部元素组成的集合，称为A及B的1、一般地，假如对于函数/(x)的定义域内

交集.记作：AQB.随意一个工，都有f(—x)=/(x),则就称

3、全集、补集?CuA={x\x^UiRx^U］函数f(x)为偶函数.偶函数图象关于y轴

§1.2.K函数的概念对称.

1、设A、B是非空的数集，假如依据某种

2、一般地，假如对于函数f(x)的定义域内

确定的对应关系/,使对于集合A中的

随意一个数孙在集合B中都有惟一确随意一个工，都有/(7)=--3,则就称

定的数/侨和它对应，则就称8

为集合A到集合B的一个函教，记作：函数为奇函数.奇函数图象关于原

y=/(X\XGA.

2、一个函数的构成要素为：定义域、对应点对称.

关系、值域.假如两个函数的定义域一学问链接：函数及导数

样，并且对应关系完全一样，则称这两1、函数>、=/(外在点及处的导数的几何意

个函数相等.义：

函数》=/*)在点X。处的导数是曲线

§1.2.2.函数的表示法

y=/(X)在P(x0J(x0))处的切线的斜率

1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、八%),相应的切线方程是

y-7=r(%oXx-T).

列表法.

2、几种常见函数的导数

§1.3.1、单调性及最大(小)值3、导数的运算法则

1、留意函数单调性的证明方法：(1)(w±V)=U±V.

⑴定义法:设小/£［。㈤，王</则(2)(MV)=UV+MV.

/8)—/(%)<00/(幻在切上是增函(3).

数；4、复合函数求导法则

f(2)-f(x)>0<=>/(X)在［〃,句上是减函

2复合函数y=/(g(x))的导数和函数

数.y=/(〃),〃=g(x)的导数间的关系为

即)，对工的导数等于)对〃的导

步骤：取值一作差一变形一定号一推断

数及〃对x的导数的乘积.

格式：解：设内,工2且王<》2，贝IJ：解题步骤:分层一层层求导一作积复原.

/(b)—)=•••

(2)导数法：设函数y=在某个区间5、函数的极值

内可导，若/'(幻>0,则/(X)为增函数;

⑴极值定义：

若0,jglj/(x)为减函数.

极值是在X。旁边全部的点，都有f(x)V3、我们规定：

。(两)，则人%)是函数/“)的极大值；4、运算性质：

极值是在X。旁边全部的点，都有/*)>§2.1.2、指数函数及其性质

x

/Uo),则f(X。)是函数fix)的微小值.1、记住图象:y=a(a>09a^l)

2、性质："y=ax「

(2)判别方法：

①假如在X。旁边的左侧/(X)A0,右侧§221、对曩及对数提算

<0,则人与)是极大值；a>\0<a<1

V

②假如在旁边的左侧/G)V0,右侧

图

/(X)>0,则f(Xo)是微小值.

象,

6、求函数的最值

(1)定义域：R

⑴求y=/(x)在(〃/)内的极值(极大或者性

(2)值域：(0,+8)

质

微小值)

(3)过定点(0,1),即x=0时，

⑵将y=/(x)的各极值点及f(a\f(b)比

y=i

拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个

(4)在R上是(4)在R上是减

为微小值。

增函数函数

注：极值是在部分对函数值进展比拟(部(5)x>o,a>1；(5)x>0,0<av<1;

x<0,0<a'<1x<0,a>1

分性质)；最值是在整体区间上对函数值进1、指数及对数互化式：优=Nox=log”N;

展比拟(整体性质)。2、对数恒等式：I=N.

第二章：根本初等函数(I)

3、根本性质：log。1=0,logwa=\.

§2.1・1、指数及指数骞的运算4、运算性质：当a>0,aw1,M>0,N>0时:

1、一般地，假如x"，则x叫做。的〃次5、换底公式：

方根。其中〃>1,〃£乂.6、重要公式：

2、当〃为奇数时，也"=a;7、倒数关系：(4>0,4*1,匕>0,人工1).

当〃为偶数时，行=时.

§2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：y=bgaX（〃>0,a#l）§3.2.2、函数模型的应用举例

y=logx

2、性质:a1、解决问题的常规方法：先画散点图，再

0<a<1

用适当的函数拟合，最终检验.

廿

必修2数学学问点

图

第一章：空间几何体

象

⑴定义域：（0,+8）1、空间几何体的构造

性

（1,。），即x=l时，y=0⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台；常

(0,+8)

质界增函数减函数

见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

>l,logox<0;

0<l,log“x<00<x<IJog,,x>0

⑵棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是

§2.3、塞函数

四边形，并且每相邻两个四边形的公共边

1、几种塞函数的图象:

第三章：函数的应用都互相平行，由这些面所围成的多面体叫

做棱柱。

§3.1・1、方程的根及函数的零点

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截

1、方程f（x）=0有实根

。函数y=/（x）的图象及工轴有交点棱锥，底面及截面之间的部分，这样的多

面体叫做棱台。

O函数y=/（x）有零点.

、空间几何体的三视图和直观图

2、零点存在性定理：2

假如函数y=f（x）在区间［。㈤上的图象是把光由一点向外散射形成的投影叫中心

连绵不断的一条曲线，并且有/（的/（。）<0,投影，中心投影的投影线交于一点；把在

则函数y=/（x）在区间（。乃）内有零点，即存一束平行光线照耀下的投影叫平行投影，

在ce（w。），使得f（c）=0,这个C也就是方平行投影的投影线是平行的。

程小）=0的根.3、空间几何倏的外表积及体积

⑴圆柱焕侧面=2乃・，・•/

§3.1・2、用二分法求方程的近似解

⑵圆侧面

1、驾驭二分法.S=»•r•/

⑶圆台侧面积：S侧面=%"•/+〃■•/?•/

§3.2.1、几类不同增长的函数模型

⑷体积公式:直线平行（简称线面平行，则线线平行）。

⑸球的外表积和体积：10、面面平行:

第二章：点、直线、平面之间的位置关系⑴断定：一个平面内的两条相交直线及另一

1、公理1:假如一条直线上两点在一个平个平面平行，则这两个平面平行（简称线

面内，则这条直线在此平面内。面平行，则面面平行）。

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有⑵性质：假如两个平行平面同时和第三个平

且只有一个平面。面相交，则它们的交线平行（简称面面平

3、公理3:假如两个不重合的平面有一个行，则线线平行）。

公共点，则它们有且只有一条过该点的公11、线面垂直:

共直线。⑴定义：假如一条直线垂直于一个平面内的

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线随意一条直线，则就说这条直线和这个平

平行.面垂直。

5、室理：空间中假如两个角的两边分别对⑵断定：一条直线及一个平面内的两条相交

应平行，则这两个角相等或互补。直线都垂直，则该直线及此平面垂直（简

6、线线位置关系:平行、相交、异面。称线线垂直，则线面垂直）。

7、线面位置关系:直线在平面内、直线和⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平

平面平行、直线和平面相交。行。

8、面面位置关系:平行、相交。12、面面垂直:

9、线面平行:⑴定义：两个平面相交，假如它们所成的二

⑴断定：平面外一条直线及此平面内的一条面角是直二面角,就说这两个平面互相垂

直线平行，则该直线及此平面平行（简称直。

线线平行，则线面平行）。⑵断定：一个平面经过另一个平面的一条垂

⑵性质：一条直线及一个平面平行，则过这线，则这两个平面垂直（简称线面垂直,

条直线的任一平面及此平面的交线及该则面面垂直）。

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内第四章：圆及方程

垂直于交线的直线垂直于另一个平面。1、圆的方程：

(简称面面垂直，则线面垂直)O⑴标准方程：(工-。)2+('-/?)2=/

第三章：直线及方程其中圆心为(〃,"半径为一.

1、倾斜角及斜率：⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

2、直线方程：其中圆心为，半径为.

⑴点斜式：y-=%(x-%)2、直线及圆的位置关系

直线Ax+8y+C=0及圆

⑵斜截式：y=kx+b

(x-a)2+(yi)2=/的位置关系有三种：

⑶两点式：

弦长公式:/=2“--2

⑷截距式：

3、两圆位置关系：d=QIQ|

⑸一般式：Ax+By+C=O

⑴夕卜离：d>R+r;

3、对于直线：

(2)外切：d=R+r;

:y=k}x+b]9l2:y=网工+%有：

(3)相交：R-r<d<R+r;

⑵4和，2相交O2产修;

(4)内切：d=R-r;

⑶人和12重合；

⑸内含：d<R-r.

4、对于直线：

3、空间中两点间间隔公式：

有：

必修3数学学问点

⑵4和，2相交OA也工―

第一章：算法

⑶4和12重合;

1、算法三种语言：

5、两点间间隔公式：

自然语言、流程图、程序语言；

6、点到直线间隔公式：

2、流程图中的图框：

7、两平行线间的间隔公式：

起止框、输入输出框、处理框、推断框、

Zi:Ax+By+G=0及4：Av+By+G=0平

流程线等标准表示方法；

行,则

3、算法的三种根本构造:（“=”有时也用"一"）.

依次构造、条件构造、循环构造④条件语句的一般格式有两种：

⑴依次构造示意图：IF—THEN—ELSE语句的一般格式为:

（图1）

⑵条件构造示意图：

©IF-THEN-ELSE格式:

得到

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

i）：用较大的数m除以较小的数n得到

一个商S。和一个余数几；

ii）:若&=0,则n为m,n的最大公

约数；若人力0,则用除数n除以余数仆得

到一个商5和一个余数与；

适）：若舄=0,则与为m,n的最大公约

数；若为力0,则用除数%除以余数与得到

一个商S,和一个余数R;……

依次H算直至&=0,此时所得到的

即为所求的最大公约数。

②更相减损术一结果是以减数及差相等而

得到

利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：

i）：随意给出两个正数；推断它们是否都

是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第

②输出语句的△般格式：PRINT”提示内二步。

ii）:以较大的数减去较小的数，接着把较

容”；表达式小的数及所得的差比拟，并以大数减小数。

接着这个操作，直到所得的数相等为止，则

③赋值语句的一般格式：变量=表达式这个数（等数）就是所求的最大公约数。

③进位制

十进制数化为k进制数一除k取余法

取值为百，叼，…,X”的频率分别为P\，P2,…，Pn，

k进制数化为十进制数

第二章：统计则其平均数为X|Pj+必，2+…+；

1、抽样方法：留意：频率分布表计算平均数要取组中值。

①简洁随机抽样（总体个数较少）⑵方差及标准差：一组样本数据内,电，…，匕

②系统抽样（总体个数较多）方差：；

③分层抽样（总体中差异明显）标准差：

留意：在N个个体的总体中抽取出n个个注：方差及标准差越小，说明样本数据越稳

体组成样本，每个个体被抽到的时机（概率）Zt-o

均为/平均数反映数据总体程度；方差及标准差反

2、总体分布的估计：映数据的稳定程度。

⑴一表二图：⑶线性回来方程

①频率分布表——数据详实①变量之间的两类关系：函数关系及相关关

②频率分布直方图一一分布直观系；

③频率分布折线图一一便于视察总体分布②制作散点图，推断线性相关关系

趋势③线性回来方程：＜=bx+a（最小二乘法）

注：总体分布的密度曲线及横轴围成的面积留意：线性回来直线经过定点丘亍）。

为lo第三章：概率

⑵茎叶图：1、随机事务及其概率：

①茎叶图适用于数据较少的状况，从中便于⑴事务：试验的每一种可能的结果，用大写

看出数据的分布，以及中位数、众位数等。英文字母表示；

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据依据⑵必定事务、不行能事务、随机事务的特点;

从小到大书写，一样的数据重复写。⑶随机事务A的概率：P（A）=NOWP（4）WI.

n

3、总体特征数的估计：2、古典概型：

⑴平均数：口~+必+必+…+/；⑴根本领件：一次试验中可能出现的每一个

根本结果；⑸对立事务：两个互斥事务中必有一个要发

⑵古典概型的特点：生，则称这两个事务为对立事务。

①全部的根本领件只有有限个；①事务A的对立事务记作入

②每个根本领件都是等可能发生。②对立事务确定是互斥事务，互斥事务未必

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可是对立事务。

能根本领件共有n个，事务A包含了其中必修4数学学问点

的m个根本领件，则事务A发生的概率第一章：三角函数

P(A)=：.§1.1.K随意角

3、几何概型：1、正角、负角、冬角、象限角的概念.

⑴几何概型的特点：2、及角a终边一样的角的集合：

①全部的根本领件是无限个；§1.1.2、弧度制

②每个根本领件都是等可能发生。1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫

⑵几何概型概率计算公式：p(A)=篇能；做1弧度的角.

其中测度依据题目确定，一般为线段、角度、2、.

面积、体积等。3、弧长公式:.

4、互斥事务：4＞扇形面积公式:・

⑴不行能同时发生的两个事务称为互斥事§1.2.1.随意角的三角函数

务；1、设。是一个随意角，它的终边及单位圆

⑵假如事务随意两个都是互斥事交于点P(x,y),则：

务，则称事务Ai?,…,&彼此互斥。sina=ycos(z=x,tana=—

9x

⑶假如事务A,B互斥，则事务A+B发生2、设点A(x,y)为角a终边上随意一点，

的概率，等于事务A,B发生的概率的和，

即：尸(A+8)=P(A)+P(8)

⑷假如事务4,4,•••,彼此互斥，则有：

限的符号和三角函数线的画法.（其中：keZ）

正弦线：MP;2、诱导公式二:

余弦线：OM;3、诱导公式三:

正切线：AT4、诱导公式四:

5、特殊角0°,30°,45°,60°,5、诱导公式五:

90°,180°,270等的三角函数值.6、诱导公式六:

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

1、记住正弦、余路函数图象：

y=sinx\

2、/可以眈照图象喊出正弦、余弦函数的相

§1.2.2.同角三角函数的根本关系式

Hi最大最小值、

1、平方关系:sin2+cos2a=1.

对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、

2、商数关系:.

周期性.

3、倒数关系：tanezcota=l

3、会用五点法作图.

§1.3、三角函数的诱导公式y=sinx在xe［0,2;r］上的五个关键点为:

（概括为“奇变偶不变，符号看象限"壮Z）（0,0）心,1）,（万,0）,（若,」）,（2%,0）.

22

］、诱导公式一:

§1.4.3、正切函数的图象及性质2、记住余切函数的图象:

1、记住正切函数的图象:

y=tanx

3、可以比照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、

周期性.

周期函数定义:对于函数f14,假如存在一个非零常数T,使得当X取定义域内的每一个值

时,都有坛止®,则函数就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y=sinxy=cosxy=tanx

卜

yyyA

\)\1/

图象-3<l/-2.I/OS'

T!

T0x1/71

定义域RR

R

值域[-1,1][-1,1]

“2氏+寸，)，a=l

x=2k冗,kGZ时，、z=1

最值

7C.x=2kn+h,k€ZH'J',ymin=-1无

x=2左〃一一£Z时，y^t=-1

r=2万T=2TTT=7T

周期性

奇偶性奇偶奇

在上单调递增在［22］-肛2Z幻上单调递增

单调性

在上单调递增

keZ在上单调递减在［22肛22）+加上单调递减

对称轴方程：对称轴方程：x=k4无对称轴

对称性

k对称中心供犯0）对称中心对称中心

§1.5、函数）=Asin（6n+°）的图象缩变换关系.

1、对于函数：①先平移后伸缩：

y=i4sin(6zr+^)+B(4>0,<y>0)^:振幅A,y=sinx平移|勿个单位y=sin(x+°)

------------->

周期，初相（P,相位3T+0,频率/=7=#.（左加右减）

2、可以讲出函数），=sinx的图象及

横坐标不花”

y=Asin（3+协+8的图象之间的平移伸

y=Asin(x+0)

点联络.

纵坐标变为原来的A倍

求函数）=Asin（@工十夕）图像的对称轴及对称

纵坐标不花.中心，只需令及8+0=%］（Z£Z）

解出,t即可.余弦函数可及正弦函数类比可

y=Asin（s+0）

得.

横坐标变为原来的I口倍4、由图像确定三角函数的解析式

G）

利用图像特征：，.

平移181个单位

口要依据周期来求,e要用图像的关键点来

y=4sin（公v+0）+B

求.

（上加下减）

§1.6、三角函数模型的简洁应用

②先伸缩后平移：

1、要求熟识课本例题.

y=sinx横坐标不期>y=Asinx

第三章、三角恒等变换

纵坐标变为原来的A倍

§3.1・1、两角差的余弦公式

纵坐标不亦,

记住15°的三角函数值:

y=Asincoxasinacosatana

瓜

横坐标变为原来的1口倍12442-V3

（0

平移上个单位§3.1.2.两角和及差的正弦、余弦、正切公式

-------------

y=Asin（如+°）1、sin(cr+/7)=sinacos/y+cosasinp

（左加右减）2、sin(a-/7)=sincrcos/?-cosasinp

平移四个单位3、cos(a+〃)=cosacos〃-sinasin〃

y=Asin®x+°）+34、cos(cr-^)=coscrcos^+sinasinft

夕

5、tan(a+/?)=tana+tan

（上加下减）l-tanatan/7

夕

6、tan(«-/?)=tana-tan

3、三角函数的冏期，对称轴和对称中心1+tanatan/?

函数尸sin（s+夕），x€R及函数§3.L3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

y=cosicox+（p）,xWR（A,6）为常数，且A

、

于0）的周期;函数y=tan（3x+°）,（A,s,0为1sin"=2sinacosa,

常数，且ARO）的周期._«：sinacosa=^sin2a.

对于y=Asin（5+°）和y=4cos（tyx+e）来

说，对称中心及零点相联络，对称轴及最值2、cos2a=cos2«-sin2a

变形如下:A量(或共线向量).规定:零向量及随意

升幕公式:向量平行.

cos2a=)1(1+cos2a)§2.1・3、相等向量及共线向量

降暮公式:；

2

sina=-^(1-cos2a)1、长度相等且方向一样的向量叫做相等向

3、.量.

.sin2a1-cos2a

4、tana=--------------=---------------§2.2.1、向量加法运算及其几何意义

1+cos2asin2a

§3.2、简洁的三角恒等变换1、三角形加法法则和平行四边形加法法

1、留意正切化弦、平方降次.则.

2、协助角公式2、

(其中协助角。所在象限由点(。,勿的象限