高考数学二轮专题复习平面向量中的高频小题归类解析版

专题5-1平面向量中的高频小题归类

目录

专题5-1平面向量中的高频小题归类.................................................

翻修发点敦型归的

题型一：平面向量的线性运算........................................................I

题型二；向量数量积问题（含最值，范围问题）........................................5

题型三：向量的夹角...............................................................17

题型四：向量模（含最值，范围问题）...............................................22

题型五：平面向量的平行与垂直问题.................................................29

题型六：三点共线的等价关系.......................................................32

有徽新模考致娘称

~...............................................................40

一、单选题.......................................................................40

二、多选题.......................................................................47

三、填空题.......................................................................49

四、双空题.......................................................................50

题型一：平面向量的线性运算

【典例分析】

例题L（2022•河南开封•一模（文））已知448c中，D为BC边上一点，且BD=&BC,

贝（）

A.-AC+^ABB.-AC+-AR13

C.AC+-ABD.-AC+-AR

33334444

【答案】A

【详解】在ABC中,BC=AC-AB.

因为8Q=，8C,所以BO=18C=，（AC—AB）.

333

1IQ

所以AO=48+80=48+加°-叫=(4。+口8.

故选：A

例题2.（2022•河南新乡•一模（理））在△A8C中，D,E分别为边A8,AC的中点,

且CD与BE交于点G,记C7)=/〃，BE=n，则AG=()

22c1122n11

A.一二〃i一二nB•—加—nC.—m+—nD.-m+-n

3333333

【答案】A

【详解】根据题意可得点6为4A8C的重心,

.-.2・，■29

同〒以AG=G3+GC=——BE——CD=一一m一一n.

3333

故选：A.

例题3.（2022•四川资阳•一模（理））如图，C,。为以A8的直径的半圆的两个三等

则AF=<

分点，E为线段C。的中点，尸为跖的中点，设AC=bf)

A.2与八51,D.』J

BUC.-a+—b

o2428444

【答案】A

【详解】因为C,。为以48的直径的半圆的两个三等分点

则AA〃C。，且AB=2C/)

又E为线段C。的中点，尸为跖的中点

I11-1-1—

：.AF=-(AE-^AB\=-AE-^-ABAC+CE]+-AB=-AC+-CD+-AB

2222242

=-AC+-AB+-AB=-AC+-AB=-a+-b

2822882

故选：A.

【提分秘籍】

平面向量的线性运算主要工具是向量的加，减法：

向量加法法则：

①三角形法则（首尾相接，首尾连）：a+b=AB+BC=AC-

②平行四边形法则（作平移，共起点，四边形，对角线）：a+b=OA+OB=OC

向量减法法则：（共起点，连终点，指向被减向量）

a—b=0A—OB=BA

【变式演练】

1.（2022•河北容城中学模拟预测）在平行四边形A8CD中，”,％分别是4。,。力的中点,

BM=a，BN=b，贝（）

c2r2[

B.—a+—b

33

【答案】B

_ULW11

【详解】如图所不，设人6=/九人£)=〃，且8£)=xa+)办，

则BD=w+)%=x•(gn-in)+y•(〃-g/n)=(gx+y)n-(x-^y)m,

又因为BD=n—m»

-x4-y=1

所以2.,解得2所)以%>-=，2+丑-.

1.3333

X+5JE

故选：B.

2.（2022•吉林市教育学院模拟预测（理））如图，YABCQ中，AB=d，A。=力，点E是

AC的三等分点（比二9。）,则£>E=（）

【答案】B

【详解】DE=AE-A—D=^2A—C-A—D"=2^（A—B+A—D•）-A一D=^2a-^1b-

故选：B.

3.（2022•宁夏•石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边.A8C中，。为重心，。是。8的

中点，贝IJAO=（）

A.AB+ACB.-AB+-ACC.-AB^-ACD.-AB+-AC

322436

【答案】D

【详解】。为.48。的重心，延长AO交BC于£,如图,

-2—21——I一一-

E为8C中点,则有AO=-AE=--(AB+AC)=-(AA+AC),而。是。8的中点,

3323

所以村。=,人8+!40=_1人8+,(43+人0=2八3+,同。.

222636

故选：D

4.(2022.全国.模拟预测(理))在58。中，。为AC的中点，cK=2EB，则虎=()

1]1]I221

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB——ACD.-AB——AC

23326336

【答案】D

._.2—1

【详解】因为CE=2即，所以AK-AC=2(AB-AE),所以4公^相+父。，

DE=AE-AD=\^^\AC-\AC=,AB-JAC.

3323o

故选：D

题型二：向量数量积问题（含最值，范围问题）

【典例分析】

例题1.（2022•湖南•模拟预测）已知直线/与圆。：/+/=9相交于不同两点Q,

点M为线段/'Q的中点，若平面上一动点C满足b=/tCQ（4>0）,则0coM的取值范围

是（）

A.[0,3)B.(0.3&]

C.[0,9)D.(0,65/2]

【答案】C

【详解】因为CP=/ICQ（2＞。），所以P,Q,C三点共线,

且点C在线段PQ外，因为点M为线段PQ的中点，

所以。M_LPQ,即VCOM是直角三角形，

所以cos/COM=^l，由数量积的定义可得：

IIIIOM

OCOM=\OC\\OM\-cosZCOMM-M-pa力小

因为。引0闸＜3,所以0引0例『＜9,即OKOC-OM＜9，

故选:C.

例题2.（2022•全国•模拟预测）如图，在矩形ABC。中，AB=2BC=4fE为边AB上

的任意一点（包含端点），。为AC的中点，则08。£的取值范围是（）

A.[2,10]B.[-2,8]C.[2,8]D.[4,20]

【答案】A

【详解】法—：设AE=/M8(/Le[05)，

因为0为AC的中点，所以BO=5(84+8C)=:hAB+AO),

乙乙

所以。8=；(A8-A。).又OE=AE-AD=/IAB—A。，

所以OBOE=g(AB_4Q)(/lAB-AO)=g(2A/+A£>>=8/l+2,

因为义所以82+2目2,可，

所以08•。石«2/0]；

法二：以A为坐标原点，人8，A。的方向分别为x,y轴的正方向，建立如图所示的平面直

角坐标系，

则0(2,1),0(0,2),3(4,0),设双孙0)(04/nM4),

所以08=(2,-1),DE=(m,-2),所以O8OE=2〃2+2.

因为0W〃底4,所以2m+2w[2,10],

即O8OEe[2,10].

例题3.(2022•江西•模拟预测(理))己知圆。的半径为2,点A满足|AC|=4,E,

户分别是C上两个动点，且团=26,则AEAF的取值范围是()

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,22]D.[4,24]

【答案】c

【详解】取E尸的中点M，连接CM,则CM=商一（可=1，

AE•Ar=（AM+ME）-（AM+/WF）=（AM+MK）•（人M—ME）=八"，一ME?=人用？一3

=\AC+CM|2-3,

又||AC|-|CM||别|AC+CM||/1C|+|CM|,所以3w|AC+CM卜5,

所以6KAEA/422，

当且仅当向量AC与CM共线同向时:4E.4尸取得最大值22；向量AC与CM共线反向时,

AEM尸取得最小值6,

故选：C.

例题4.（2022•上海松江•二模）已知正方形ABCO的边长为4,点M、N分别在边A。、

8C上，且/U/=l,BN=2,若点P在正方形A8CD的边上，则PMPN的取值范围是

（）

A.[-6,6]B.f-6,21C.[-2,6]D.[-2,21

【答案】C

【详解】如图，建立平面直角坐标系,

则M（O,1）,N（4,2）,

当?在A。上时，设P（0,y）（0Ky44）,痴=（o/一）,）,前=（4,2-y），

f31

:.PMPN=/-3y+2=（y--）2--,

当），=白时，（前・丽）当丁=4时，（前•俞）心=6，

即-、WPMPNW6,

4

当尸在8c上时，设尸（4,））（0"'«4）,则痛=（_41_），）,加=（0,2-），），

TT3211

PM-PN=/-3y+2=（y--）——,知——<PMPN<（）t

244

当尸在A8上时，设P（x,0）（0vxK4）,前=（_%,1）,鬲=（4一%2），

PM-PN=X2-4X+2=（.r-2）2-2，

当x=2时，（前•丽）疝°=_2，当x=4时，（前•丽）皿、=2，

即-2WPM/NW2，

当/，在CQ上时，设P（x,4）（0<xK4）,p立=（_苍_3）,而=（4-乂_2），

—>f

：.PM-PN=x2-4x+6=（x-2）2+2，

当x=2时，（前.丽焉=2，当工=4时，（俞.而）皿=6，

即2KPMPNK6.

综上可得，-2&PMPN&6,

故选：C

例题5.（2022•黑龙江•哈尔滨三中模拟预测（理））已知抛物线C：x2=4y,点M为

直线y=-1上一动点，过点M作直线M4，MB与抛物线。分别切于点A,则M4M8=

（）

A.0B.1C.-1D.0或1

【答案】A

【详解】由炉=4）,，得y=?/,则/=

42

设A（N，“0a［，M*。，—I）,所以与川=3，

22

得切线M4的方程为），-今=50-%）,即丁=争得，

22

切线超的方程为），-今吟（x-Q即），吟x-今，

又两条切线过切点有T=-1=±%-二，

2424

所以心々是方程即呆2-多工-1=。的两实根，

2442

得内+x2=2/，xtx2=-4,

乂MA=(X)—+1),MB=(x2—工0,~+1),

uuuuuirx22

所以MA,MB=(2一・％)(工2—/)+(寸-+D(q-+D

.、1%1z,>2、1

=xx-x(x+X2)+A0-+；-+—(x~+x-)+l

t2012

22]

=再乂-Xo(N+X,)+$2+%/++X,)2_2MX,]+1

164

将X1+x2=2x0,X1X2=-4代入上式，得用.MB=0.

故选：A

【提分秘籍】

求两个向量的数量枳有三种方法：

（1）利用定义（包括向量数量积几何意义）

（2）利用向量的坐标运算（自主建系，只要题目有可以建系的条件，可通过建系法求解）；

（3）利用向量三角不等式

\\a\-\b||<|a-b\<\a\+\b\（同号同向取等号:异号反向取等号）

例如：||£|一四四£|中间的连接号都是“一”，记忆口诀：同号则〃，/,同向不等式

II〃1-16止|£-加取到等号;

在不等式||〃-6工|。|+仍|中，中间的连接号“一”和“+”，记忆口诀：异号则b反

向不等式I"I-1b||<|。-b|取到等号：

【变式演练】

1.（2022•四川•射洪中学模拟预测（理））在A8C中，4c=3,BC=5,。为线段BC的

中点，=E为线段3c垂直平分线/上任一异于O的点，则24E-C8=（）

A.-B.4C.7D.-6

3

【答案】C

【详解】解：因为在ABC中，。为线段BC的中点，

所以4Q=g（AB+AC）,即2AO=A8+AC，

因为4。=3,BC=5,AD=-BC,

2

所以4k力（=|4«|2+|AC|2+2|AC||/\/?|COSA,即16=卜B？+6卜8卜0$A,

因为8C=AC-AB，

所以卜=|AC|2+|AB|2-2|AC||AB|COSA,即16=网?//孙A,

所以，16=h81+6卜8卜0$4=,5『一6,8卜03/1,即12,qcosA=0,

所以8sA=0,

因为Aw（Oz）,所以4=5,即48c为宜角三角形，

所以|A4「=|8C|2TAe「=16

因为E为线段8c垂直平分线/上任一异于D的点，

所以AE=AO+£>£，CB=AB-ACDE上CB，

所以2AECB=（2AD+2DEYCB=2ADCB=240•（A8-AC）

=（A8+4C）（A8-AC）=„=16-9=7

故选：C

2.（2022•全国•模拟预测）如图，在平行四边形A8C。中，48=4,AO=3,点E是/仍的

中点，点/满足"=2FC，且。/=屈，则EF•DF=（）

A.9B.-C.2^1D.

22

【答案】A

【详解】因为。“=OC+b=A4—‘40,

3

：2.1.,―2>.■-1一・.2

所以=AH一一AD=AB一一ABAD+-AD

I3)39

2——一■

即13=16—§A3-AD+1,解得A8AO=6,

y,EF=EB+BF=-AB+-AD,

23

1W|212122

所以石/。尸=AB--AD--AB+-AD=-AB+-ABAD--AD

I3JU3)229

II2

=-x42+—x6——x32=9.

229

故选：A.

3.（2022•北京・人大附中模拟预测）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传

统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸囱花.图2中正六边形

A4a陀产的边长为4,圆。的圆心为该正六边形的中心，圆。的半径为2,圆。的宜径

MN〃C。，点P在正六边形的边上运动，则的最小值为（）

图1图2

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【详解】如下图所不，由止六边形的儿何性质可知，,048、4OBC、&OCD、.ODE、&OEF、

OFA均为边长为4的等边三角形，

当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，忸。|取最大值4,

当点P为正六边形各边的中点时，|PO|取最小值，即|P01nto=4sin?=2g,

所以，卜0卜[26,4].

所以，PM./W=(PO+QM)(PO+ON)=(PO+OMMPO-OM)=PO14w[8,12].

PM.PN的最小值为8.

故选：D.

4.(2022,全国•模拟预测)在XBC中，已知八4=2,AC=3,A=60。，AM=，AN=2NC，

点。在边8c上，则DWON的最大值为()

A.3B.2C.-D.一

24

【答案】C

【详解】以A为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示,

连接MN,设线段MN的中点为E,连接。E,

则q喘J,DM.DN=(DE+EM)：+EN)=(DE+EM)(DE-EM)

=连接EC,EB,因为点。在线段/3C上，

所以|D£L=max{|明，|幽},

又阻=(河+]瞑打=+《

|EB|2=(2-I)2+0—间=1+(=(,

所以⑷半，所以QM-QN的最大值为日.

故选：C

5.(2022・四川・成都七中一模(文))已知42,0),0(0,0),且|。@=|oc|=2,则洒.髅

的最小值是.

【答案】-2

【详解】解；由题知，A&C三点共圆，圆心为坐标原点，半径为2,

所以，八&40=卜@・卜4cos(4A,4C)，

设|AB|=2x,xe[0,2],

数形结合可得AC在AB上的投影,小£mAC)e[.v-2,x+2],

2z

所以，2Mx-2)"8AC«2x(%+2),^2(x-\)-2<AR-AC<2(x+\)-2t

故当x=l,|4却=2时2(工-1『-2有最小值-2,W-2<ABAC<6.

当x=2时，|AB|=4时2(K+1『-2有最大值16,

所以，-2"AACW16

ULUlUUU1

综上，43乂。的取值范围是[-2,16],

uunutuu

所以，AC的最小值是-2

故答案为：-2

6.（2022・上海崇明•一模）在边长为2的正六边形A8CDEF中，点户为其内部或边界上一

点，则HP的取值范围为.

【答案】[T12]

【详解】正六边形ABCOE尸中，过点8作89JLAO于V,则%4=4,忖。卜3,阿卜1

AD•8尸=闻•网cos〈AD,BPj

又一'。’4'A卜卜。,34cos(AD3P)qA。1.|B'lJ^

即-4平。|•网cos（A。,BP32,故Ab.bP的取值范围为[T12]

故答案为:112]

7.（2022・安徽・全椒县第八中学模拟预测（理））崎自行车是一种环保又健康的运动，如图

是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆。（后轮）的半径均为相，

..ABE,一BEC,AECD均是边长为4的等边三角形.设点尸为后轮上的一点，则在骑行该自

行车的过程中，4cA。的最大值为.

【答案】60

【详解】方法一：以点。为坐标原点，OA为x轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系,

贝IJ4（-8,0）,C（-2,2x/3）,

点尸在以。为圆心，力为半径的圆上，可设P（石cos。,6sin。），

.•.AC=（6,2®AP=（V5cose+8,Gsine）,

ACA尸=6Gcose+6sine+48=12sin（0+q'+48,

则当sin［。+?）=I时,ACAP取得最大值12+48=60.

方法二：ACAP=AC（AD+DP）=ACAD+ACDP

=|AC|2+|AC|-|MCOS<AC,DP>=（4⑹2+46XGeosvAC,OP>=48+12cosvAC,DP>,

则当AC与OP同向，即cos<AC,OP>=1时，AC/W取得最大值为12+48=60.

题型三：向量的夹角

【典例分析】

例题1.（2022•广西北海•一模（文））已知向量；是单位向量，向量/；=（后,夜），且

二-6,贝二与，的夹角为（

【答案】C

【详解】由题意可知

=a+a眇-2b=1+。的-8二—6a卧=abcos

I

故cos(a,b=—，

因为@工”0,利,《叫4,即方吗的夹角为全

故选：C

例题2.（2022•云南大理•模拟预测）已知向量。力满足同=3,同=4,（a+〃）”""）=8,

则向量〃与。所成的夹角为（）

兀c兀八兀c2兀

A.-B.—•C."D.—■

6323

【答案】B

【详解】由题意得I。|=3,g|=4,,+力乂24-》）=2/+作〃一从=18+由〃—16=8,

解得〃/=6,所以烟缶伤二片「三月，

\a\\b\122

因为〈〃,》〉€[0,可，所以向量。与人所成的夹角为1，

故选:B.

例题3.（2022•浙江•模拟预测）已知平面向量。力"满足：\a\=\,ba=-\f若对满足

条件的任意向量/八|c-/，以C—I恒成立，则cos〈e+aa)的最小值是.

【答案】g

2

【详解】由题意设〃=(1,0),〃==(x,y),c-b=(x+ty-m),c-a=(x-ty),

由|c一力以c一。|,J(x+1/>\](x-\)2+y2，

化简得〃/一2〃少+4x2。恒成立，所以0,)3K4x,x>0,

c+a=(x+l,y),

/\x+\x+1I、近

cos(c+a,a)=/>/=,>—

yj(x+\)2+y2J(X+1)2+4XJJ4422，

当且仅当V=4%且x=l时取到等号；

故答案为：旦.

2

【提分秘籍】

.9

八abx.x?+y.y7

求向量夹角公式：COS"K■前二八，，「，

【变式演练】

1.(2022・全国•模拟预测(理))已知平面向量〃+〃与互相垂直，模长之比为2：1,

若|〃|=后，则a与a+〃的夹角的余弦值为()

A.空B.延C.正D.；

5552

【答案】A

【详解】平面向量a+〃与ai互相垂直，模长之比为2：1,则(。+外(。->)二。且

\a+b\=2\a-b\^得《，=//，又|。|=6,则|〃|=|。|=有，将|〃+〃|=2|。一/”平,方得

a+2ab+b=4〃-8〃•0+4〃，解得a•力=3,\a+b\2=a+2ab+b=16,则|。+4=4,设〃

a\a+b\J+。•力—5+326

与a+人的夹角为0，则cos6=#_r=|-r

\a\\a+h\H卜+0\/5X45

故选：A.

2.（2022.山东德州.模拟预测）已知|a|二l,网=2,ab=~,则COS(/?M-/?)=()

A.1B1r3x/6n376

4488

【答案】c

/\19

【详解】解：因为闷=1,W=2,二/=一g所以2•k_/?)=〃4_/>2=_5_22=_j,

22

\a-b\=y]a-2a-b+b2d+2?=瓜,

z、9

因此'cos（/?,fl-/?）=j—X----7=——^==--3限

、/硝…2乂瓜

故选：C.

3.（2022•湖南•模拟预测）已知向知万满足同=1,"〃)_1_胸一8)，则a与力的夹角的

最大值为（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【答案】A

【详解】设〃与〃夹角为〃，。句0,引

（a-0）.（3〃-〃）=0

整理可得：3(4『一44七+仅『=0,即3,(一4a6+1(=0

•"《=1,代入3忖-4ab+1/?|=0

可得3-4〃6+上『二0

日「得：3-4同4cose+l同2=0,即3-4,卜05夕+,『二0

整理可得：cose=4i+"2k用="

4M4忡142

当且仅当即M=6取等号

4忖411

故cos。之*，结合夕日。句，

根据余弦函数图象可知。最大值：£

6

故选：A.

4.(2022.广西北海•一模(理))己知向量a是单位向量，向量〃=(J5,J5),且

(a+2/“・(〃-〃)=一6,则“与人的夹角为.

【答案】y##60

【详解】解：由题意可知,卜1,忖=2,

所以，（a+2b^'[a-b^=a+ab-2b'=\+ab-S=-6,a-b=\

所以a/=W•W•cos（a，）=2cos（a,/“=1,解得cos（〃6

2

因为&©e[0,180]

所以，@斗=60,即a和力的夹角为60.

故答案为：60

题型四：向量模（含最值，范围问题）

【典例分析】

例题1.（2022•浙江绍兴•一模）已知向量〃满足卜卜1,卜-四=⑺，（。&=150,

则小（）

A.2B.GC.1D.B

2

【答案】D

【详解】解：因为卜-24=/，

所以,一叫=p|+4忖-4a4=++乖|-4K.Mcos卜力）=7,

因为忖=1,«©=150,

所以1+4忙+2网*7,即哂+码力卜3=0,解得恸=乎或忖=—G（舍）

所以，

故选：D

例题2.（2022•山东•德州市教育科学研究院三模）已知平面向量。=（2,0）,U（0,l）,

且非零向量c满足（a-2c）_LS-c）,则R的最大值是（）

A.1B.72C.73D.2

【答案】B

设c=(x,y),则"2c=(2-2x,-2y\b-c=(-x,1-y)»

(a-2c)-(/?-c)=(2-2x)-(-x)+(-2j)-(1-y)=2x2-2x+2y2-2y=0,

整理得卜』+"[=；，则点(x，y)在以屋)为圆心，自为半径的圆上，则

耳=&+)，2表示(0,0)和圆上点(x,y)之间的距离，

又(0,0)在圆上，故H的最大值是2：<等=夜.

故选:B.

例题3.(2022•四川资阳•一模(理))已知平面向量”，入c满足忖=忖=卜+力|=2,

且卜-2〃-4二近，则上的最大值为.

【答案】3币

【详解】由题意，3+/?)2=〃2+246+6=4，又，=6=2，

故a•/?=-2，

故卜-叫=：(a-2Z?)2=力+4/；="+8+16=2"，

由向量模长的三角不等式，卜-助卜同同〃一力一,卜卜-可+同，

即即-卜|卜12员印

解得：V7<|^<3>/7,则卜的最大值为3万.

故答案为：3汨

例题4.（2022•浙江绍兴•一模）已知圆C：（x-2>+），2=4,线段EF在直线/：y=x+\

上运动，点P为线段石厂上任意一点，若圆。上存在两点A,B,使得则线段E尸

长度的最大值是.

【答案】V14

【详解】解：由题意知,圆心C（2,0）,半径r=2

所以，圆心到直线的距离d=一=主旦>一即直线和圆相离.

1近I"2

从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线为切线时/APB最大，

不妨设切线为PM,PN,由尸A/BWO知NAP8N90。，即44相290。.

所以$由/加夕。=二-20访45。=也，解得PC42尬.

PC2

所以在直线上，当放最大时，点£尸到圆心的距离为2百.

所以，此时所长度最大值为2,2&丫,乎'=714.

故答案为：而

例题5.（2022•江西南昌•模拟预测（文））已知OAOC为正交基底，且

OB=WA,OD=JLIOC.2>//>1,只。分别为4C，W）的中点，若卜胤。|=1,贝！）|PQ|的最

小值为

【答案】—

22

【详解】因为。A,OC为正交基底，所以0400=0，

因为O8=/IOAOO=〃OC,/1>〃>1,

所以AB=(2-1)OA,C。=(//-1)OC,

所以A4co=(4—1)(〃-1)OA0C=(),

因为p,Q分别为AC/。的中点，|PQ|=|OQ—闭，

所以0Q|=；(O8+OO)TOA+OC)|

=^\AB+CD\

=；J(A8+C”

=-y]AB2+2ABCD+C[f

2

=2何+时吗/网同|邛,

当且仅当|ilLAU8卜।时ULU।取等号，

所以IPQI的最小值为正，

2

故答案为：旦

2

【提分秘籍】

求两个向量的模方法：

(1)|a|==荷十八可通过基底法表示向量求模,也可通过建系法用坐标表示向量

求模

(2)利用向量三角不等式

\\a\-\b||<|a-b\<\a\+\b\(同号同向取等号；异号反向取等号)

例如：||〃|-⑻国中间的连接号都是“一”，记忆口诀：同号则〃，人同向不等式

||a|—|b四。一切取到等号；

在不等式区|。|十|。|中，中间的连接号“一”和“十”，记忆口诀：异号则〃，b反

向不等式||a|-1〃||<|a-b\取到等号;

【变式演练】

1.(2022・全国•大化瑶族自治县高级中学模拟预测(文))已知点A、8在单位圆上，乙408=%,

4

若OC=2Q4+xO3(xeR),则|OC『的最小值是()

A.2B.3C.5-2&D.4

【答案】A

【详解】|OC『=(2OA+xOB)2=4OA2++4^|OA||cosm=V-2&x

+4=(x-近尸+2之2,因此|0。汽2.

故选：A.

2.(2022•河南・平顶山市第一高级中学模拟预测(文))已知A,B为圆O:f+y2=4上的

两动点，|4例=2k，点P是圆C:(x+3)2+(y—4尸=1上的一点，则|E4+PB|的最小值是

()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【详解】设M是43的中点，因为|人或=26，所以|0/0|=45=1,

即M在以0为圆心，I为半径的圆上，

PA+PB=PM+MA+PM+MB=2PM，所以IPA+PB\=\2PM\.

又|PO|"OC|T=W=-1=4,所以1PM.=1POL-1=4-1=3,

所以|弘+明.=2x3=6.

故选：C.

3.（2022.浙江•乐清市知市中学模拟预测）平面向量a力满足|〃-力|=3,匕|=2|切，则j与

a夹角最大值时|可为（）

A.V2B.&C,2&D.2石

【答案】D

【详解】因为平面向量a』满足|。一切=3,|a|=2|R,所以

（a-b）2=a2-2ab+b2=4b2-2ab+b2=9,

所以a/=g〃2_2,所以（4_力）.々=。2_〃力=4户_』力2+2=3〃2+2

222222

3913

由夹角公式，8$<._〃,〃>=丝二如1=亡2=，|以+工之正（当且仅当?"土南,

\a-h\a\6|〃|44|〃|211

即|切=6时等号成立）.

因为04<白一。,4>〈乃，所以0W<o-b,a>4二，即时<。-。,。>=二最大.

66

此时|〃|=2仍|=26.

故选：D

4.（2022•海南华侨中学模拟预测）已知不共线的平面向量a,/，,c两两所成的角相等，且

|t/|=1.|Z?|=4.|£7+/?+C|=\Fl,则|c|=（）

A.V2B.2C.3D.2或3

【答案】D

【详解】由不共线的平面向量a,〃，c两两所成的角相等，可设为仇则。=券.设lcl=〃?.

因为闷二1,,小4,,+〃+4=>/7,所以,+/?+c[=7,

^a2+2ab+b2+2bc+2a-c-hc2=7

所以F+2xlx4cos-^+42+2x4xmcos—+2x1xmcos—+m2=7

333

即m2-5m+6=0,解得：加=2或3.

所以g=2或3

故选：D

5.(2022.浙江•三门县观澜中学模拟预测)已知c为单位向量，“满足

(a-c>c=0,20230=a+2022c,当〃与》的夹角最大时，1卜.

【答案】叵Z

2023

【详解】不妨取c=(l,0),设°=。方),故(a-c)V=a—l，9j(注却-=,故耳=1：

设〃=(工,%),贝1)2023。=a+2022c,

即(202342023必)=。2)+(2022,0)=(2023,%),故±=1,y=2023%,

设〃与人的夹角为。，则e=ZAOC—NAO8,不妨取为%>0，

M

IX

一…—2022%.2022,20221011^2023

则1+），跖1+2。23）『1,，「1-乂2023

+2023>2—.2023y2

\y2

当’=2023为，即=叵3时等号成立，

此时夹角最大，

?22023

\b-c\=狂上+人引出2^.

故答案为：黯

题型五：平面向量的平行与垂直问题

【典例分析】

例题1.(2022•黑龙江•哈尔滨三中模拟预测)已知向量〃=(，〃，2),〃=(2,1),若(。+6)16,

则〃?=()

A.-8B.-7C.1D.4

2

【答案】C

【详解】因为向量a=(皿2),〃=(2,1),

所以a+b=(〃?+2,3),又(。+〃)_!,力，所以(〃+/?),》=2(〃?+2)+3=0,

解得：m=--1,

故选：C.

例题2.(2022•江苏•扬州中学模拟预测)已知向量。=(2,4),b=(\,n)t若〃〃〃，则上卜

()

A.x/5B.2C.8D.4x/5

【答案】A

【详解】由a=(2,4),〃二(1,〃)，aHb»得2x〃-4x1=0,解得“=2.

所以〃=(1,2),所以忖=、4+22=6.

故选：A.

例题3.(2022•四川省绵阳八一中学模拟预测(理))己知向量”=(-1,3),〃=。,,〃)，旦

aA.(a-2b)f则6=.

【答案】2

【详解】因为4_!_(4_2/?),由a=(-1,3),a-2b=(-3,3-2m)t

则a(4—2/0=0,所以(T)X(-3)+3X(3-2m)=0,解得〃?=2.

故答案为：2

例题4.(2022•陕西渭南•一模(文))已知点夕(一