2025年高考数学必刷题分类：第60讲、直线与圆、圆与圆的位置关系（学生版）

第60讲直线与圆、圆与圆的位置关系

知识梳理

一．直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

二．直线与圆的位置关系判断

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

|AaBbC|

圆心(a,b)到直线AxByC0的距离，则d：

A2B2

22

dr直线与圆相交，交于两点P,Q，|PQ|2rd；

dr直线与圆相切；

dr直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

AxByC0

由222，

(xa)(yb)r

消元得到一元二次方程px2qxt0，px2qxt0判别式为，则：

0直线与圆相交；

0直线与圆相切；

0直线与圆相离．

三．两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：

O1,O2R,rRrd

dRr两圆相交；

dRr两圆外切；

RrdRr两圆相离

dRr两圆内切；

0dRr两圆内含（d0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

【解题方法总结】

关于圆的切线的几个重要结论

（）过圆222上一点的圆的切线方程为2．

1xyrP(x0,y0)x0xy0yr

（）过圆222上一点的圆的切线方程为

2(xa)(yb)rP(x0,y0)

2

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

（）过圆22上一点的圆的切线方程为

3xyDxEyF0P(x0,y0)

xxyy

xxyyD0E0F0

0022

（）求过圆222外一点的圆的切线方程时，应注意理解：

4xyrP(x0,y0)

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为

，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出

yy0k(xx0)kk

的k值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k值只有一个，则说明斜率

不存在的情形符合题意．

必考题型全归纳

题型一：直线与圆的位置关系的判断

xy

例1．（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆C：(x1)2(y1)21与直线l：1

43

的位置关系为（）

A．相切B．相交C．相离D．无法确定

例2．（2024·全国·高三对口高考）若直线axby1与圆x2y21相交，则点Pa,b（）

A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能

22

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知点Px0,y0为圆C:xy2上的动点，则直线

l:x0xy0y2与圆C的位置关系为（）

A．相交B．相离C．相切D．相切或相交

22

变式1．（2024·全国·高三专题练习）直线l:xmy1m0与圆C:x1y29

的位置关系是（）

A．相交B．相切C．相离D．无法确定

变式2．（2024·陕西宝鸡·统考二模）直线l：xcosysin1R与曲线C：x2y21

的交点个数为（）

A．0B．1C．2D．无法确定

变式3．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）直线kxy14k0kR与圆

(x1)2(y2)225的位置关系为（）

A．相离B．相切C．相交D．不能确定

【解题方法总结】

判断直线与圆的位置关系的常见方法

（1）几何法：利用d与r的关系．

（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．

（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

题型二：弦长与面积问题

例4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知直线l：3xy50与圆C：

22

xy2x6y60交于A，B两点，则AB．

1

例5．（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知圆C:x2y26x50，直线yx1与圆

3

C相交于M，N两点，则MN．

2

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l:xmy10与C:x1y24交于A，

8

B两点，写出满足“ABC面积为”的m的一个值．

5

变式4．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）圆心在直线y2x上，与x

轴相切，且被直线xy0截得的弦长为14的圆的方程为.

变式5．（2024·广东广州·统考三模）写出经过点(1,0)且被圆x2y22x2y10截得的

弦长为2的一条直线的方程．

变式6．（2024·广东深圳·校考二模）过点(1,1)且被圆x2y24x4y40所截得的弦

长为22的直线的方程为.

变式7．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知直线l：kxy2k20被圆

C：x2(y1)216所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有条.

22

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知A，B分别为圆x1y21与圆x2y24

上的点，O为坐标原点，则OAB面积的最大值为.

变式9．（2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线l:xy50与

22

圆C:xy2x4y40交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则△MAB面积的最大

值是.

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C的方程为(x3)2(y4)225，若直线

l:3x4y50与圆C相交于A,B两点，则ABC的面积为.

变式11．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，过点A(0,3)的直线l

6

与圆C:x2(y2)29相交于M，N两点，若SS，则直线l的斜率为.

△AON5△ACM

变式12．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在圆x2y22x6y0内，过点E0,3的最

长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．

【解题方法总结】

弦长问题

l

①利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系r2d2()2，这

2

也是求弦长最常用的方法．

②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距

离公式计算弦长．

③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，，，，将直线方程

l:ykxb(x1y1)(x2y2)

代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：

l1k2|xx|(1k2)[(xx)24xx](1k2)．

121212A

题型三：切线问题、切线长问题

例7．（2024·辽宁锦州·校考一模）写出一条与圆x2y21和曲线yx25都相切的直线

的方程：.

22

例8．（2024·河南开封·统考三模）已知点A(1,0)，B(2,0)，经过B作圆x3y25

的切线与y轴交于点P，则tanAPB．

例9．（2024·全国·高三专题练习）经过点1,0且与圆x2y24x2y30相切的直线方

程为．

变式13．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知圆C：x2y22x2y0，直线l的横纵

截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为．

变式14．（2024·福建福州·统考模拟预测）写出经过抛物线y28x的焦点且和圆

2

x2y14相切的一条直线的方程.

变式15．（2024·重庆·统考模拟预测）过点P3,2且与圆C：x2y22x4y10相

切的直线方程为

变式16．（2024·湖北·高三校联考开学考试）已知过点P3,3作圆O:x2y22的切线，

则切线长为.

变式17．（2024·江苏无锡·校联考三模）已如P3,3，M是抛物线y24x上的动点（异

22

于顶点），过M作圆C:x2y4的切线，切点为A，则MAMP的最小值为.

变式18．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线xy60上一点P

22

向圆C:x3y54引切线，则切线长的最小值为．

变式19．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）若在圆C：x2y2r2r0

22

上存在一点P，使得过点P作圆M：x2y1的切线长为2，则r的取值范围

为．

变式20．（2024·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知圆

M:x2y22ay0(a0)与直线xy0相交所得圆的弦长是22，若过点A3,6作圆M

的切线，则切线长为.

2

变式21．（2024·天津南开·统考二模）若直线kxy2k30与圆x2y14相切，

则k.

变式．（·湖北·高三校联考阶段练习）已知e22，

222024O1:xy21

e22，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，当

O2:x3y69xPMN

PMPN取到最小值时，点P坐标为.

【解题方法总结】

（1）圆的切线方程的求法

①点，在圆上，

M(x0y0)

法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．

klkOM1kOMkl1

法二：圆心O到直线l的距离等于半径r．

②点，在圆外，则设切线方程：，变成一般式：

M(x0y0)yy0k(xx0)

，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．

kxyy0kx00k

注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一

个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．

（2）常见圆的切线方程

过圆222上一点，的切线方程是2；

xyrP(x0y0)x0xy0yr

过圆222上一点，的切线方程是

(xa)(yb)rP(x0y0)

2．

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

题型四：切点弦问题

2

例10．（2024·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）从抛物线y4xy0上一点

22

P作圆C：x5y1得两条切线，切点为A,B，则当四边形PACB面积最小时直线AB方

程为.

例11．（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆C:x2y22y0，过直线

l:xy10上任意一点P，作圆的两条切线，切点分别为A,B两点，则AB的最小值

为.

x2y2

例12．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆1上一点M作圆x2y22的

94

两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ面积的最小值

为（）

123

A．B．C．D．前三个答案都不对

234

变式23．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知直线l:mxym10(m0)与圆

22

C:xy4x2y40，过直线l上的任意一点P向圆C引切线，设切点为A,B，若线段

AB长度的最小值为3，则实数m的值是（）

121277

A．B．C．D．

5555

变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知点P在直线l:3x4y330上，过点P作圆

C:(x1)2y24的两条切线，切点分别为A,B，则圆心C到直线AB的距离的最大值为（）

124

A．B．C．1D．

333

变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）若圆C:x2(y2)216关于直线axby120对

称，动点P在直线yb0上，过点P引圆C的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，

则直线MN恒过定点Q，点Q的坐标为（）

A．(1,1)B．(1,1)C．(0,0)D．(0,12)

变式26．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知圆C：(x3)2y24，点M在抛

2MPQ

物线T：y4x上运动，过点引直线l1,l2与圆C相切，切点分别为P,Q，则下列选项中

能取到的值有（）

A．2B．22C．23D．25

2

变式27．（2024·江苏南京·高三统考开学考试）过抛物线y8x上一点P作圆

22

C:x2y1的切线，切点为A、B，则当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程

为（）

A．2x10B．x10C．2x30D．4x70

【解题方法总结】

过圆222外一点，作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为

xyrP(x0y0)

2

x0xy0yr

过曲线上，，做曲线的切线，只需把2替换为，2替换为，x替换

P(x0y0)xx0xyy0y

xxyy

为0，y替换为0即可，因此可得到上面的结论．

22

题型五：圆上的点到直线距离个数问题

例13．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若圆C:x2y212x10y250上有

四个不同的点到直线l:3x4yc0的距离为3，则c的取值范围是（）

A．,17B．17,13C．13,17D．12,18

例14．（2024·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）圆C：

2

x2y2R2R0上恰好存在2个点，它到直线y3x2的距离为1，则R的一个取

值可能为（）

A．1B．2C．3D．4

例15．（2024·全国·高三专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等

于1的点至少有2个，则a的取值范围为()

A．32,32B．,3232,

C．22,22D．,2222,

222

变式28．（2024·全国·高三专题练习）若圆C1:(x1)(y2)r(r0)上恰有2个点到

直线l:4x3y100的距离为1，则实数r的取值范围为（）

223222

A．(3,5)B．(4,6)C．,D．,6

555

变式29．（1991·全国·高考真题）圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为2的

点共有

A．1个B．2个C．3个D．4个

变式30．（2024·全国·高三专题练习）若圆x2y2r2r0上仅有4个点到直线xy20

的距离为1，则实数r的取值范围为（）

A．21,B．21,21C．0,21D．0,21

【解题方法总结】

临界法

题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题

22

例16．（2024·湖北·统考模拟预测）已知点P在圆O:xy1运动，若对任意点P，在直

π

线l:xy40上均存在两点A,B，使得APB恒成立，则线段AB长度的最小值是（）

2

A．21B．21C．221D．422

例17．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知圆

22

M:x5y516，点N在直线l:3x4y50上，过点N作直线NP与圆M相切于

点P，则△MNP的周长的最小值为.

例18．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E是边

AB上的一动点，FGEC交EC于点P，且直线FG平分正方形ABCD的周长，当线段BP的

长度最小时，点A到直线BP的距离为.

变式31．（2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线xy20分别与x

1

轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2(y1)2上，则ABP面积的取值范围

2

是.

变式32．（2024·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若x2y24，则

22

x2y1x1的最小值为.

变式33．（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆O:x2y2r2与直线

相切，函数过定点P，过点P作圆的两条互相垂直

3x4y100fxloga2x12O

的弦AC,BD，则四边形ABCD面积的最大值为.

变式34．（2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知a,b,c是平面内的三个单位

向量，若ab，则a2c3a2b2c的最小值是．

变式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知

22

M:xy2x2y10，直线l:x2y20,P为l上的动点，过点P作M的切线

PA,PB，切点为A,B，当PMAB最小时，直线AB的方程为.

变式36．（2024·全国·高三专题练习）已知C:(x1)2(y1)23，点A为直线l:y1

上的动点，过点A作直线与C相切于点P，若Q(2,0)，则|AP||AQ|的最小值

为.

变式37．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）若直线l1:xmy20

22

与l2:mxy20(mR)相交于点P，过点P作圆C:(x2)(y2)1的切线，切点为M，

则|PM|的最大值为．

变式38．（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数fxalnx11aR

22

的图象恒过定点A，圆O:xy4上两点Px1,y1，Qx2,y2满足PAAQR，则

2x1y172x2y27的最小值为．

2

变式39．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知圆C：x1y29与直线l：

13x1y240(R)交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方程

是.

变式40．（2024·北京西城·高三北京市回民学校校考阶段练习）已知圆

C:x2y24x4y40与直线l:kxyk10相交于A,B两点，则|AB|的最小值是.

变式41．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知M,N分别是圆

2222

C1:xy4x4y70，圆C2:xy2x0上动点，P是直线xy10上的动点，

则PMPN的最小值为．

变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足：(x2)2(y1)21，则

12

xy

的取值范围是．

变式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）已知Ax1,y1,Bx2,y2是

22π

圆O:xy1上两点，若AOB，则x1y11x2y21的最大值为.

2

变式44．（2024·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）已知P是直线3x4y80上

的动点，PA,PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四

边形PACB面积的最小值为．

变式45．（2024·全国·高三专题练习）设A2，0，B2，0，O为坐标原点，点P满足

22

PA|PB|16，若直线kxy60上存在点Q使得PQO，则实数k的取值范围

6

为（）

，，，

A．4242B．4242

，55，5，5

C．D．

2222

变式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）德国数学家米勒曾提出

最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A，B是MON的ON边上的两个定点，C是

OM边上的一个动点，当C在何处时，ACB最大？问题的答案是：当且仅当ABC的外接

圆与边OM相切于点C时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点D，E的坐标分别是0,1，

π

0,m，F是x轴正半轴上的一动点.若DFE的最大值为，则实数m的值为（）

6

1

A．2B．3C．或mD．2或4

m33

变式47．（2024·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知直线l:x2y40与x轴和y轴分别交于

A，B两点，以点A为圆心，2为半径的圆与x轴的交点为M（在点A右侧），点P在圆上，

当MBP最大时，△MPB的面积为（）

3648

A．B．8C．2210D．

55

22

变式48．（2024·江西赣州·统考模拟预测）已知圆C：x1y25，圆C是以圆

x2y21上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆C交于A，B两点，则当ACB最

大时，CC（）

A．1B．2C．3D．2

变式49．（2024·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）已知点P在圆

22

x5y516上，点A4,0，B0,2，则错误的是（）

A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2

C．当PBA最小时，PB32D．当PBA最大时，PB32

变式50．（2024·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）德国数学家米勒曾提出过如下

的“最大视角原理”：对定点A、B和在直线l上的动点P，当l与△APB的外接圆相切时，

APB最大．若A(0,2)，B(0,8)，P是x轴正半轴上一动点，当P对线段AB的视角最大时，

△APB的外接圆的方程为（）

A．(x4)2(y4)225B．(x4)2(y5)216

C．(x5)2(y4)216D．(x4)2(y5)225

【解题方法总结】

直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与

圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．

题型七：圆与圆的位置关系

例19．（2024·河南·校联考模拟预测）已知直线l:xcosysin102π与圆

22

C:x2y54相切，则满足条件的直线l的条数为（）

A．2B．3C．4D．5

22

例20．（2024·黑龙江大庆·统考三模）已知直线l是圆C:x2y11的切线，并且

点B3,4到直线l的距离是2，这样的直线l有（）

A．1条B．2条C．3条D．4条

2222

例21．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C1：xy2x0，圆C2：x3y14，

则C1与C2的位置关系是（）

A．外切B．内切C．相交D．外离

22

变式51．（2024·全国·高三专题练习）圆C1：xy6x10y20与圆C2：

x2y24x14y40公切线的条数为（）

A．1B．2C．3D．4

222

变式52．（2024·山西·校联考模拟预测）已知圆C1：xyaaa0的圆心到直

22

线xy20的距离为22，则圆C1与圆C2：xy2x4y40的公切线共有（）

A．0条B．1条C．2条D．3条

变式53．（2024·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知

圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则

点P的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

变式54．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两点O0,0，A3,4

到直线l的距离分别是1与4，则满足条件的直线l共有（）

A．1条B．2条C．3条D．4条

变式55．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆C:(x4)2(y3)24和两点

A(a,0),B(a,0)(a0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则a的最小值为（）

A．6B．5C．4D．3

2222

变式56．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C1：x＋y＋4ax＋4a－4＝0和圆C2：x＋

11

y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（）

a2b2

A．3B．8C．4D．9

【解题方法总结】

已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：

r1,r2d

（）两圆外离；

1r1r2d

（）两圆外切；

2r1r2d

（）两圆相交；

3|r1r2|dr1r2

（）两圆内切