2025年高考数学必刷题分类：第60讲、直线与圆、圆与圆的位置关系（教师版）

第60讲直线与圆、圆与圆的位置关系

知识梳理

一．直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

二．直线与圆的位置关系判断

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

|AaBbC|

圆心(a,b)到直线AxByC0的距离，则d：

A2B2

22

dr直线与圆相交，交于两点P,Q，|PQ|2rd；

dr直线与圆相切；

dr直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

AxByC0

由222，

(xa)(yb)r

消元得到一元二次方程px2qxt0，px2qxt0判别式为，则：

0直线与圆相交；

0直线与圆相切；

0直线与圆相离．

三．两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：

O1,O2R,rRrd

dRr两圆相交；

dRr两圆外切；

RrdRr两圆相离

dRr两圆内切；

0dRr两圆内含（d0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系相离外切相交内切内含

dRrdRrRrdRrdRr

几何特征dRr

无实一组实一组实

代数特征两组实数解无实数解

数解数解数解

公切线条数43210

【解题方法总结】

关于圆的切线的几个重要结论

（）过圆222上一点的圆的切线方程为2．

1xyrP(x0,y0)x0xy0yr

（）过圆222上一点的圆的切线方程为

2(xa)(yb)rP(x0,y0)

2

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

（）过圆22上一点的圆的切线方程为

3xyDxEyF0P(x0,y0)

xxyy

xxyyD0E0F0

0022

（）求过圆222外一点的圆的切线方程时，应注意理解：

4xyrP(x0,y0)

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为

，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出

yy0k(xx0)kk

的k值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k值只有一个，则说明斜率

不存在的情形符合题意．

必考题型全归纳

题型一：直线与圆的位置关系的判断

xy

例1．（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆C：(x1)2(y1)21与直线l：1

43

的位置关系为（）

A．相切B．相交C．相离D．无法确定

【答案】A

【解析】圆C：(x1)2(y1)21的圆心为C1,1，半径r1，

xy3412

直线l：1即3x4y120，则圆心到直线的距离d1r，

433242

所以直线l与圆C相切.

故选：A

例2．（2024·全国·高三对口高考）若直线axby1与圆x2y21相交，则点Pa,b（）

A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能

【答案】B

【解析】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：

1

1，即a2b21，

a2b2

据此可得：点Pa,b与圆C的位置关系是点在圆外.

故选：B.

22

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知点Px0,y0为圆C:xy2上的动点，则直线

l:x0xy0y2与圆C的位置关系为（）

A．相交B．相离C．相切D．相切或相交

【答案】C

【解析】利用圆心距d和半径r2的关系来确定直线与圆的位置关系.

22

22d2r

由题意可得x0y02，于是22，所以直线和圆相切.

x0y02

故选:C.

22

变式1．（2024·全国·高三专题练习）直线l:xmy1m0与圆C:x1y29

的位置关系是（）

A．相交B．相切C．相离D．无法确定

【答案】A

【解析】已知直线l:xmy1m0过定点1,1，

22

将点1,1代入圆的方程可得11129，

可知点1,1在圆内，

22

所以直线l:xmy1m0与圆C:x1y29相交.

故选：A.

变式2．（2024·陕西宝鸡·统考二模）直线l：xcosysin1R与曲线C：x2y21

的交点个数为（）

A．0B．1C．2D．无法确定

【答案】B

【解析】曲线C：x2y21是圆心在0,0上，半径r1的圆，

001

则圆心与直线l的距离d1，

cos2sin2

dr，

曲线C与直线l相切，即只有一个交点，

故选：B

变式3．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）直线kxy14k0kR与圆

(x1)2(y2)225的位置关系为（）

A．相离B．相切C．相交D．不能确定

【答案】C

【解析】由直线kxy14k0得kx4y10，

令x40,y10，得x4,y1，

故直线kxy14k0kR恒过点4,1，

又(41)2(12)21825，

即点4,1在圆(x1)2(y2)225内，

故直线kxy14k0kR与圆(x1)2(y2)225的位置关系为相交.

故选：C.

【解题方法总结】

判断直线与圆的位置关系的常见方法

（1）几何法：利用d与r的关系．

（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．

（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

题型二：弦长与面积问题

例4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知直线l：3xy50与圆C：

22

xy2x6y60交于A，B两点，则AB．

【答案】6

【解析】由C:(x1)2(y3)24，故圆心C1,3，半径为r2，

5510

d

所以，圆心到直线l的距离为Cl2，

321102

∴AB2r2d26．

故答案为：6

1

例5．（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知圆C:x2y26x50，直线yx1与圆

3

C相交于M，N两点，则MN．

4154

【答案】/15

55

2

【解析】由x2y26x50，得x3y24，则圆的圆心为(3,0)，半径r2，

3014

所以圆心(3,0)到直线x3y10的距离为d

123210

116415

所以MNr2d24，解得MN．

2105

故答案为：415

5

2

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l:xmy10与C:x1y24交于A，

8

B两点，写出满足“ABC面积为”的m的一个值．

5

11

【答案】2（2,2,,中任意一个皆可以）

22

【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB24d2，

1284525

所以S△ABCd24d，解得：d或d，

2555

1122452251

由d，所以或，解得：或．

22m2m

1m1m1m251m252

11

故答案为：2（2,2,,中任意一个皆可以）．

22

变式4．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）圆心在直线y2x上，与x

轴相切，且被直线xy0截得的弦长为14的圆的方程为.

2222

【答案】x1y24或x1y24

【解析】设所求圆的圆心为a,2a，半径为r，

圆与x轴相切，r2a，

a2a2

又圆心到直线xy0的距离da，

22

1

2r2d224a2a214，解得：a1或a1，

2

所求圆的圆心为1,2或1,2，半径r2，

2222

圆的方程为x1y24或x1y24.

2222

故答案为：x1y24或x1y24.

变式5．（2024·广东广州·统考三模）写出经过点(1,0)且被圆x2y22x2y10截得的

弦长为2的一条直线的方程．

【答案】yx1或yx1

22

【解析】圆的方程可化为x1y11，圆心为(1,1)，半径r1．

当过点(1,0)的直线的斜率不存在时，直线方程为x1，此时圆心在直线上，弦长2r2，不

满足题意，

所以过点(1,0)的直线的斜率存在，设过点(1,0)的直线的方程为yk(x1)，即

kxyk0，则

|k1k|1

圆心(1,1)到直线kxyk0的距为d，

k21k21

1k2

依题意22r2d2212，即k21，解得k1或k1，

k21k21

故所求直线的方程为yx1或yx1．

故答案为：yx1或yx1．

变式6．（2024·广东深圳·校考二模）过点(1,1)且被圆x2y24x4y40所截得的弦

长为22的直线的方程为.

【答案】xy20

22

【解析】圆x2y24x4y40，即x2y24，

圆心为2,2，半径r2，

2

2l

若弦长l22，则圆心到直线的距离dr2，

2

显然直线的斜率存在，设直线方程为y1kx1，即kxyk10，

2k2k1

d2

所以2，解得k1，所以直线方程为xy20.

k21

故答案为：xy20

变式7．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知直线l：kxy2k20被圆

C：x2(y1)216所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有条.

【答案】9

【解析】将直线l的方程整理可得kx2y20，易知直线恒过定点2,2；

圆心C0,1，半径R4；

所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径2R8；

易知，当圆心C0,1与2,2的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；

此时弦长为2R2223323，所以截得的弦长为整数可取4,5,6,7,8；

由对称性可知，当弦长为4,5,6,7时，各对应两条，共8条，

当弦长为8时，只有直径1条，

所以满足条件的直线l共有9条.

故答案为：9

22

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知A，B分别为圆x1y21与圆x2y24

上的点，O为坐标原点，则OAB面积的最大值为.

333

【答案】/3

22

【解析】设M：(x1)2y21，则M1,0半径为1；

圆N：(x2)2y24，则N2,0，半径为2.

以ON为直径画圆，延长BO交圆于F，连接FE，NE，NF，

如图:

则NFOB，又NBNO，所以F为BO的中点，

由对称性可得OEOA，

11

SOAOBsinAOB，及SOEOBsinAOB，

ABO2EBO2

所以SABOSEBO2SEFO，

故当SEFO最大时，SABO最大，

故转化为在半径为1的内接三角形OEF的面积的最大值问题，

对于一个单位圆内接三角形ABC的面积，

1

SabsinC，又a2sinA，b2sinB，

ABC2

sinAsinBsinC3

所以S2sinAsinBsinC2()，

ABC3

当且仅当sinAsinBsinC时，即三角形ABC为等边三角形时等号成立，

π3

此时sinAsinBsinCsin，

32

sinAsinBsinC33333

所以S2()2，

ABC384

33

即三角形OEF的面积的最大值为，

4

3333

所以SABO最大值为2.

42

故答案为：33

2

变式9．（2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线l:xy50与

22

圆C:xy2x4y40交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则△MAB面积的最大

值是.

【答案】223/322

【解析】C:(x1)2(y2)29，则圆C的圆心为C1,2，半径为r3，

125

圆心C到直线l（弦AB）的距离为d22，

2

则AB2r2d22982，

则M到弦AB的距离的最大值为dr223，

1

则△MAB面积的最大值是AB223223.

2

故答案为：223

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C的方程为(x3)2(y4)225，若直线

l:3x4y50与圆C相交于A,B两点，则ABC的面积为.

【答案】12

【解析】圆C：(x3)2(y4)225，得圆心为C3,4，半径为r=5，

圆心到直线的距离d4，因此AB2r2d2225166，

11

所以SABd6412.

ABC22

故答案为：12.

变式11．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，过点A(0,3)的直线l

6

与圆C:x2(y2)29相交于M，N两点，若SS，则直线l的斜率为.

△AON5△ACM

314

【答案】

7

【解析】由题意得C(0,2)，直线MN的斜率存在，设Mx1,y1，Nx2,y2，直线MN的方

22

程为ykx3，与x2(y2)29联立，得k1x10kx160，

22221610k16

100k64k136k640，得k，x1x2，x1x2.因为

9k21k21

6161

SS，所以3x5x，则x22x1，于是x22x1，（由点A及C

△AON5△ACM22521

在y轴上可判断出x1，x2同号）

10k

3x

12

k1x218314

所以，两式消去1，得k，满足0，所以k.

16

2x277

1k21

314

故答案为：

7

变式12．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在圆x2y22x6y0内，过点E0,3的最

长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．

【答案】610

【解析】圆的方程x2y22x6y0化为标准方程为：(x1)2(y3)210，

则圆心1,3半径r10，由题意知最长弦为过E点的直径，最短弦为过E点和这条直径垂直

的弦，即ACBD，且|AC|210，圆心和E点之间的距离为1，

故|BD|2(10)2126，

11

所以四边形ABCD的面积为S|AC||BD|2106610．

22

故答案为：610

【解题方法总结】

弦长问题

l

①利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系r2d2()2，这

2

也是求弦长最常用的方法．

②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距

离公式计算弦长．

③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，，，，将直线方程

l:ykxb(x1y1)(x2y2)

代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：

l1k2|xx|(1k2)[(xx)24xx](1k2)．

121212A

题型三：切线问题、切线长问题

例7．（2024·辽宁锦州·校考一模）写出一条与圆x2y21和曲线yx25都相切的直线

的方程：.

【答案】22xy30（答案不唯一）

2222

【解析】设切线l与圆xy1相切于点x0,y0y00，则x0y01，

x

0

切线l的方程为yy0xx0，即xx0yy01，

y0

22

将xx0yy01与yx5联立，可得y0xxx05y010，

2

令Δx04y05y010，

22224343

x,x,x,x,

0000

联立解得3或3或7或7

1111

yyyy,

03030707

所以切线l的方程为22xy30或22xy30或43xy70或43xy70.

故答案为：22xy30（答案不唯一）

22

例8．（2024·河南开封·统考三模）已知点A(1,0)，B(2,0)，经过B作圆x3y25

的切线与y轴交于点P，则tanAPB．

1

【答案】

3

【解析】如图所示，设圆心为C点，则C3,2，

2220

B

23025，则点在圆上，且kBC2，

32

1

PB

由与圆相切可得：kPBkBC1kPB，则tanOPB2，OB2，

2

则OP1，故P0,1，则tanAPO1，

tanOPBtanOPA211

从而可得tanAPDtanOPBOPA,

1tanOPBtanOPA1213

1

故答案为：.

3

例9．（2024·全国·高三专题练习）经过点1,0且与圆x2y24x2y30相切的直线方

程为．

【答案】xy10

22

【解析】圆x2y24x2y30的标准方程为：x2y12，

当直线的斜率不存在时，直线方程为x1，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线方程为ykx1，即kxyk0，

因为直线与圆相切，

k1

所以圆心到直线的距离相等，即d2，

1k2

化简得k22k10，

解得k1，xy10，

综上：直线方程为：xy10，

故答案为：xy10

变式13．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知圆C：x2y22x2y0，直线l的横纵

截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为．

【答案】yx，或xy20，或xy20

22

【解析】圆C的标准方程为x1y12，圆心为C1,1，半径为2，

因为直线l的横纵截距相等，所以直线l的斜率存在，

当直线l过原点时，设直线l的方程为ykx，因为直线l与圆C相切，

k1

此时圆心到直线l的距离等于半径，可得2，解得k1，所以切线方程为yx；

1k2

当直线l不过原点时，设直线l的方程为xya，因为直线l与圆C相切，

11a

此时圆心到直线l的距离等于半径，可得2，解得a2，所以切线方程为

11

xy20或xy20，

综上所述，直线l的方程为yx，或xy20，或xy20.

故答案为：yx，或xy20，或xy20.

变式14．（2024·福建福州·统考模拟预测）写出经过抛物线y28x的焦点且和圆

2

x2y14相切的一条直线的方程.

【答案】x2（或3x4y60，写出一个方程即可）

2

【解析】抛物线y28x的焦点为(2,0)，圆x2y14的圆心为(0,1)，半径为2.

2

记过点(2,0)的直线为l，当l斜率不存在时，由图可知l与圆x2y14相切，此时l的

方程为x2；

当l斜率存在时，设其方程为yk(x2)，即kxy2k0，

212k3

因为直线l与圆x2y14相切，所以2，解得k

k214

33

所以l的方程为xy0，即3x4y60.

42

故答案为：x2（或3x4y60，写出一个方程即可）

变式15．（2024·重庆·统考模拟预测）过点P3,2且与圆C：x2y22x4y10相

切的直线方程为

【答案】x3或3x4y10

22

【解析】将圆C方程化为圆的标准方程x1y24，得圆心C1,2，半径为r2，

当过点P3,2的直线斜率不存在时，直线方程为x3是圆C的切线，满足题意；

当过点P3,2的直线斜率存在时，

可设直线方程为y2kx3，即kxy3k20，

2k43

利用圆心到直线的距离等于半径得2，解得k，

k214

即此直线方程为3x4y10，

故答案为：x3或3x4y10．

变式16．（2024·湖北·高三校联考开学考试）已知过点P3,3作圆O:x2y22的切线，

则切线长为.

【答案】4

【解析】由圆O:x2y22，可得圆心O(0,0)，半径r2，

设切点为C，因为P3,3，可得PO32，

2

所以切线长为PCPOr2(32)224.

故答案为：4.

变式17．（2024·江苏无锡·校联考三模）已如P3,3，M是抛物线y24x上的动点（异

22

于顶点），过M作圆C:x2y4的切线，切点为A，则MAMP的最小值为.

【答案】3

222

【解析】依题意，设M(x0,y0),x00，有y04x0，圆C:(x2)y4的圆心C(2,0)，半

径r2，

于是22222，

|MA||MC|r(x02)y04x0x0

因此MAMPx0MP，表示抛物线C上的点M到y轴距离与到定点P的距离的和，

而点P在抛物线C内，当且仅当M是过点P垂直于y轴的直线与抛物线C的交点时，x0MP

取得最小值3，

所以MAMP的最小值为3.

故答案为：3.

变式18．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线xy60上一点P

22

向圆C:x3y54引切线，则切线长的最小值为．

【答案】2

【解析】设过点P的切线与圆C相切于点E，连接CE，则PECE，

2

圆C的圆心为C3,5，半径为r2，则PEPCr2，

356

当PC与直线xy60垂直时，PC取最小值，且最小值为22，

2

2

所以，PEPCr2842，即切线长的最小值为2.

故答案为：2.

变式19．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）若在圆C：x2y2r2r0

22

上存在一点P，使得过点P作圆M：x2y1的切线长为2，则r的取值范围

为．

【答案】23r23

22

【解析】设点P(rcos,rsin)，过点P作圆M：x2y1的切线，切点为Q，

222

由题意可知：PMMQPQ123，因为点M(2,0)，

所以(rcos2)2(rsin)23，化简整理可得：r24rcos10，

r21

所以cos，因为cos[1,1]，r0，

4r

r21

11

所以4r，解得：23r23，

r0

所以r的取值范围为23r23，

故答案为：23r23.

变式20．（2024·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知圆

M:x2y22ay0(a0)与直线xy0相交所得圆的弦长是22，若过点A3,6作圆M

的切线，则切线长为.

【答案】21

【解析】由x2y22ay0(a0)，得x2(ya)2a2(a0)，

则圆心为M(0,a)，半径为ra，

a

圆心(0,a)到直线xy0的距离为d，

2

因为圆M:x2y22ay0(a0)与直线xy0相交所得圆的弦长是22，

2

2

a2

所以2a，解得a2或a2（舍去），

2

所以圆心为M(0,2)，半径为r2，

所以A3,6与M(0,2)间的距离为AM(30)2(62)25，

2

所以所求的切线长为AMr225421，

故答案为：21.

2

变式21．（2024·天津南开·统考二模）若直线kxy2k30与圆x2y14相切，

则k.

3

【答案】/0.75

4

【解析】由题意圆心为(0,1)，半径为2，

12k33

所以2，解得k．

k214

3

故答案为：．

4

变式．（·湖北·高三校联考阶段练习）已知e22，

222024O1:xy21

e22，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，当

O2:x3y69xPMN

PMPN取到最小值时，点P坐标为.

3

【答案】,0

4

2

【解析】e2的圆心为O(0,2)，半径r1，

O1:xy2111

22

e的圆心为O(3,6)，半径r3，

O2:x3y6922

设Pt,0，则222，

PMPO11t41t3

22222

PNPO23(t3)69(t3)27

所以PMPNt23(t3)227(t0)2[0(3)]2(t3)2(033)2，

取A(0,3)，B(3,33)

2

则PMPNPAPBAB324357，

当P,A,B三点共线时取等号，

43

此时AB直线：y3(x0)

3

33

令y0，则x，P,0，

44

3

故答案为：,0

4

【解题方法总结】

（1）圆的切线方程的求法

①点，在圆上，

M(x0y0)

法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．

klkOM1kOMkl1

法二：圆心O到直线l的距离等于半径r．

②点，在圆外，则设切线方程：，变成一般式：

M(x0y0)yy0k(xx0)

，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．

kxyy0kx00k

注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一

个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．

（2）常见圆的切线方程

过圆222上一点，的切线方程是2；

xyrP(x0y0)x0xy0yr

过圆222上一点，的切线方程是

(xa)(yb)rP(x0y0)

2．

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

题型四：切点弦问题

2

例10．（2024·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）从抛物线y4xy0上一点

22

P作圆C：x5y1得两条切线，切点为A,B，则当四边形PACB面积最小时直线AB方

程为.

【答案】2x23y90

【解析】如图，由题可知C(5,0)，SPACBSPACSPBC，由对称性可知，

1

S2S2(PAAC)PAPC21

PACBPAC2

所以求四边形PACB的最小面积即求PC的最小值

m2m21

设P(,m)，m0，则PC(5)2m2(m212)216

4416

2

当m12，即m23时，PCmin4，四边形PACB的最小面积为15

所以P(3,23)

所以以PC为直径的圆的方程为：(x4)2(y3)24

则AB为以圆C和以PC为直径的圆的公共弦

如图所示

两圆方程作差得：2x23y90

所以直线AB方程为2x23y90

故答案为：2x23y90

例11．（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆C:x2y22y0，过直线

l:xy10上任意一点P，作圆的两条切线，切点分别为A,B两点，则AB的最小值

为.

【答案】2

【解析】由题意得，圆C:x2y22y0的圆心为C0,1，半径为r1，

如图所示，

根据圆的切线长公式，可得PA2PC21，

11

则SPAAC2PAPCAB，

四边形PBCA22

当PC取最小值时，AB取最小值，此时P1,0，则PA1,PC2，

则|AB|min2.

故答案为：2.

x2y2

例12．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆1上一点M作圆x2y22的

94

两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ面积的最小值

为（）

123

A．B．C．D．前三个答案都不对

234

【答案】B

22

x0y0

【解析】设点Mx0,y0，由于点M在椭圆上，所以1，

94

由切点弦方程l:x0xy0y20，

12

所以S△BQQ|OP||OQ|，

2x0y0

x2y21

由于100xy，

94300

32

当x0,y0,2时，上述不等式取等号，x0y0取得最大值3，此时SPCQ面积取得

2

最小值2．

3

故选：B.

变式23．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知直线l:mxym10(m0)与圆

22

C:xy4x2y40，过直线l上的任意一点P向圆C引切线，设切点为A,B，若线段

AB长度的最小值为3，则实数m的值是（）

121277

A．B．C．D．

5555

【答案】A

π

【解析】圆C:(x2)2(y1)21，设ACP0，

2