2025年高考数学必刷题分类：第77讲、定点、定值问题 (学生版)

第77讲定点、定值问题

知识梳理

1、定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—

函数—定值”，具体操作程序如下：

（1）变量----选择适当的量为变量．

（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．

（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．

2、求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．

常用消参方法：

①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系F(k,m)0，用一个参数表示另外一个

参数kf(m)，即可带用其他式子，消去参数k．

②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．

③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．

④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：

y2kg(x)0，只要因式g(x)0，就和参数k没什么关系了，或者说参数k不起作

用．

3、求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的

的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直

线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的

解为坐标的点即为所求点；

（）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式

3x0,y0yy0kxx0

ykxb来证明．

一般解题步骤：

①斜截式设直线方程：ykxm，此时引入了两个参数，需要消掉一个．

②找关系：找到k和m的关系：mf(k)，等式带入消参，消掉m．

③参数无关找定点：找到和k没有关系的点．

必考题型全归纳

题型一：面积定值

x2y2

例1．（2024·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆C:1(ab0)过点

a2b2

3

Aa,0,B0,b两点，椭圆的离心率为，O为坐标原点，且SOAB1.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P为椭圆C上第一象限内任意一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，

求证：四边形ABNM的面积为定值.

x2y2

例2．（2024·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线C：1a0,b0的焦距为

a2b2

26，且焦点到近线的距离为1.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两点，

O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值.

例3．（2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线

x2y2x

C:1(a0,b0)，渐近线方程为y0，点A2,0在C上；

a2b22

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点（不与A点重合），且两条直

线的斜率k1，k2满足k1k21，直线PQ与直线x2，y轴分别交于M，N两点，求证：AMN

的面积为定值.

变式1．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆

x2y2

E：1ab0过点M2,1，且左焦点为F12,0．

a2b2

(1)求椭圆E的方程；

(2)ABC内接于椭圆E，过点P4,1和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC交

于点Q，满足APQDAQPD，证明：PBC面积为定值，并求出该定值．

2

2y

变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知l1，l2既是双曲线C1：x1的两条渐近线，

4

x2y2

也是双曲线C2：1的渐近线，且双曲线C2的焦距是双曲线C1的焦距的3倍.

a2b2

MN

(1)任作一条平行于l的直线l依次与直线l以及双曲线C，C交于点L，M，N，求的

1212NL

值；

(2)如图，P为双曲线C2上任意一点，过点P分别作l1，l2的平行线交C1于A，B两点，证明：

PAB的面积为定值，并求出该定值.

x2

变式3．（2024·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知椭圆C:y21，A,B是椭圆

4

上的两个不同的点，O为坐标原点，A,O,B三点不共线，记AOB的面积为SAOB.

1

(1)若OAx,y,OBx,y，求证：Sxyxy；

1122AOB21221

1

(2)记直线OA,OB的斜率为k,k，当kk时，试探究S2是否为定值并说明理由.

12124AOB

题型二：向量数量积定值

x2y2

例4．（2024·新疆昌吉·高二统考期中）已知椭圆C:1(ab0)，F1，F2是C的左、

a2b2

△

右焦点，过F1的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且ABF2的周长为42，椭圆C

的其中一个焦点在抛物线y24x准线上，

(1)求椭圆C的方程；

5

(2)已知点M,0，证明:MAMB为定值.

4

例5．（2024·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知M4,m是抛物线

C:y22pxp0上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；

(2)如图所示，过点P2,0的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设QAPA，

QBPB，求证：是定值.

例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考开学考试）已知点P到A(2,0)的距离

是点P到B1,0的距离的2倍.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若点P与点Q关于点B对称，过B的直线与点Q的轨迹交于E，F两点，探索BEBF是

否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

x2y2

变式4．（2024·全国·高二校联考阶段练习）已知椭圆E:1ab0的右焦点为

a2b2

3

F1,0，点P1,在E上．

2

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别

交x4于M，N两点，O为坐标原点，求证：OMON为定值．

x2y2

变式5．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知椭圆C:1ab0的

a2b2

2

离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线ykx1k0与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.

7

①若MBAN，求k的值；②若点Q的坐标为,0，求证：QAQB为定值.

4

题型三：斜率和定值

x2y2

例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知C:10a4，

1a4a

x2y2

C:1b4．

2b4b

(1)证明：yx2总与C1和C2相切；

(2)在（1）的条件下，若yx2与C1在y轴右侧相切于A点，与C2在y轴右侧相切于B

点．直线l与C1和C2分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线l使得对任意题干所给a，

b，总有kAPkAQkBPkBQ为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

例8．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线

22

C1:y2p1x(p10)与抛物线C2:x2p2y(p20)在第一象限交于点P.

(1)已知F为抛物线C1的焦点，若PF的中点坐标为1,1，求p1；

(2)设O为坐标原点，直线OP的斜率为k1.若斜率为k2的直线l与抛物线C1和C2均相切，证

明k1k2为定值，并求出该定值.

例9．（2024·河南许昌·高二统考期末）已知PAB的两个顶点A，B的坐标分别是(0,3),(0,3),

且直线PA，PB的斜率之积是3，设点P的轨迹为曲线H.

(1)求曲线H的方程；

(2)经过点(1,3)且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直

线BE与BF的斜率之和为定值.

22

，，xy

变式6．（2024·河南商丘·高二校考阶段练习）已知A1A2B是椭圆1ab0的

a2b2

，3

顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的PQ两点，且l//A2B，若椭圆的离心率是，

2

且A2B5，

(1)求此椭圆的方程；

，

(2)设直线A1P和直线BQ的斜率分别为k1k2，证明k1k2为定值.

变式7．（2024·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）过点M1,0的直线为

l,N为圆C:x2(y2)24与y轴正半轴的交点.

(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程：

(2)证明：若直线l与圆C交于A,B两点，直线AN,BN的斜率之和为定值.

题型四：斜率积定值

x2y2

例10．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆C：1ab0

a2b2

2

的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线yax6相切．

2

(1)求C的方程；

(2)直线l:ykx1k0与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段

AB于点Q，且PQ平分APB，设直线OP的斜率为k（O为坐标原点），判断kk是否为

定值？并说明理由．

例11．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点M3,0,N3,0，动点Px,y满足

1

直线PM与PN的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C．

3

(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连

接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．

例12．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系xOy中，点P到点F3,0的距

433

离与到直线l：x的距离之比为，记动点P的轨迹为W.

32

(1)求W的方程；

1

(2)过W上两点A，B作斜率均为的两条直线，与W的另两个交点分别为C，D.若直线

2

AB，CD的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值.

x2y22

变式8．（2024·全国·高二随堂练习）已知椭圆C:1ab0的离心率为，点

a2b22

2,2在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB

的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

题型五：斜率比定值

x2y2

例13．（2024·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线Γ：1实轴AB长为4

a2b2

4

（A在B的左侧），双曲线Γ上第一象限内的一点P到两渐近线的距离之积为.

5

(1)求双曲线Γ的标准方程；

(2)设过T4,0的直线与双曲线交于C，D两点，记直线AC，BD的斜率为k1，k2，请从下

列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.

①k1k2为定值；

②k1k2为定值；

k

③1为定值

k2

x2y2

例14．（2024·四川成都·高二校考期中）已知椭C：1(ab0)，F1,F2为其左右焦

a2b2

3

点，离心率为，F13,0

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点Px0,y0(x0y00)，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为k0，PF1，

k1k1

PF2的斜率分别为k1，k2，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

k0k1k2

x2y2

例15．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线C:1,a0,b0

a2b2

的实轴长为4，左右两个顶点分别为A1,A2，经过点B4,0的直线l交双曲线的右支于M,N

两点，且M在x轴上方，当lx轴时，MN26.

(1)求双曲线方程.

(2)求证：直线MA1,NA2的斜率之比为定值.

题型六：线段定值

2222

例16．（2024·浙江·高二校联考期中）已知圆C1：xym与圆C2：xy4x0.

(1)若圆C1与圆C2内切，求实数m的值；

(2)设A3,0，在x轴正半轴上是否存在异于A的点Bb,0，使得对于圆C2上任意一点P，

PA

为定值？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由.

PB

例17．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知P为平面上的动点，记其轨迹

为Γ.

(1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P为圆心的动圆经过点F1,0，

2

且内切于圆K:x1y216；②已知点T1,0，直线l：x4，动点P到点T的距离

1

与到直线l的距离之比为；③设E是圆O:x2y24上的动点，过E作直线EG垂直于x

2

3

轴，垂足为G，且GPGE.

2

(2)在（1）的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A，B，若过点K1,0的直线m的

斜率存在且不为0，设直线m交曲线Γ于点M，N，直线n过点T1,0且与x轴垂直，直线

TP

AM交直线n于点P，直线BN交直线n于点Q，则线段的比值是否为定值?若是，求出

TQ

该定值；若不是，请说明理由.

x2y2

例18．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆C:1(ab0)的左右焦点分

1a2b2

△

别为F1，F2，点A为C1上的一个动点(非左右顶点)，连接AF1并延长交C1于点B，且ABF2

△

的周长为8，AF1F2面积的最大值为2．

(1)求椭圆C1的标准方程；

(2)若椭圆C2的长轴端点为F1,F2，且C2与C1的离心率相等，P为AB与C2异于F1的交点，

直线PF2交C1于M,N两点，证明：|AB||MN|为定值．

2

变式9．（2024·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线C1:ypxp0的

21

焦点为F，抛物线C:y2px的焦点为F2，且FF．

12122

(1)求p的值；

(2)若直线l与C1交于M，N两点，与C2交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四

MN

象限，且MP2NQ，证明：为定值．

PQ

变式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线E:x22py（p为常

数，p0）.点Mx0,y0是抛物线E上不同于原点的任意一点.

x

(1)若直线l:y0xy与E只有一个公共点，求p；

20

(2)设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A,B，且直线PA，PB与x轴分别

交于C，D两点.

①证明：PAPB

PCAB

②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

PBCD

变式11．（2024·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知圆O：x2y2r2与直线xy320

相切.

(1)若直线l:y2x5与圆O交于M，N两点，求MN；

PD

(2)已知C9,0，D1,0，设P为圆O上任意一点，证明：为定值.

PC

变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知A，B分别是椭圆C：

x2y21

1ab0的右顶点和上顶点，AB5，直线AB的斜率为.

a2b22

(1)求椭圆的方程；

(2)直线l//AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于点C，D.

（i）求OCM的面积与△ODN的面积之比；

22

（ⅱ）证明：CMMD为定值.

变式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知圆C过点A1,2，B2,1，

且圆心C在直线yx上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.

(1)求圆C的方程；

(2)若点P的坐标为0,3，求证：无论l的位置如何变化PMPN恒为定值；

(3)对于（2）中的定值，使PMPN恒为该定值的点P是否唯一？若唯一，请给予证明；

若不唯一，写出满足条件的点P的集合.

25

变式14．（2024·云南·校联考模拟预测）已知点M到定点F3,0的距离和它到直线l：x

3

3

的距离的比是常数．

5

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)若直线l：ykxm与圆x2y216相切，切点N在第四象限，直线l与曲线C交于A，

B两点，求证：FAB的周长为定值．

题型七：直线过定点

x2y2

例19．（2024·全国·高三专题练习）已知F1,F2分别为椭圆C:1(ab0)的左、右

a2b2

焦点，过点F1(1,0)且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点，ABF2的周长为8.

122

(1)若ABF2的面积为，求直线AB的方程；

7

(2)过A,B两点分别作直线x4的垂线，垂足分别是E,F，证明：直线EB与AF交于定点.

x2y2

例20．（2024·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆C:1ab0的离心率为

a2b2

3△

，左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上任意一点，PF1F2面积最大值为3.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)过x轴上一点F1,0的直线与椭圆交于A,B两点，过A,B分别作直线l:xa2的垂线，垂

足为M，N两点，证明：直线AN，BM交于一定点，并求出该定点坐标.

例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆C：

x2y25325

过点,，离心率为

221(a>b>0).

ab225

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点K(2，0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x

a2

＝的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点

c

是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

x2y2

变式15．（2024·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆E:1ab0的左、右焦点分

a2b2

2

别为，离心率2，点在上．

F1,F2eP1,E

22

(1)求E的方程；

(2)过点F2作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N

分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点．

变式16．（2024·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2y2

1ab0的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，AF3FB，

a2b2

AFFB3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、k1、

k2.若kk1k21，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．

x2y2

变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知A､B分别为椭圆E∶1(ab0)的右顶

a2b2

22

点和上顶点､椭圆的离心率为，F1､F2为椭圆的左､右焦点，点P是线段AB上任意一点，

3

71

且PFPF的最小值为.

1210

（1）求椭圆E的方程；

3232

（2）若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点(,)处的切线，点M是直线l上任一点，过点

22

M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是

否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

x2y2

变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：1ab0的右顶点是M（2，

a2b2

1

0），离心率为．

2

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，

问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

题型八：动点在定直线上

例22．（2024·江苏南通·高二校考阶段练习）已知B1,0,C1,0为ABC的两个顶点，P为

ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之和为6.

(1)求点P的轨迹T的方程.

(2)已知点N3,0,E2,0,F2,0，直线PN与曲线T的另一个公共点为Q，直线EP与FQ

交于点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，

请说明理由.

2

x2

例23．（2024·上海·高二专题练习）已知双曲线y1的两焦点为F1,F2，P为动点，若

2

PF1PF24.

（1）求动点P的轨迹E方程；

、

（2）若A1(2,0),A2(2,0)M(1,0)，设直线l过点M，且与轨迹E交于RQ两点，直线A1R与

A2Q交于S点.试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定

直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

3

例24．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C的离心率e，长轴的左、右端点分别为

2

A12,0，A22,0

(1)求椭圆C的方程；

，

(2)设直线xmy1与椭圆C交于PQ两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化

时，点S是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，

请说明理由.

x2y2

变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线E:1，直线l:yxm与曲线E交

63

于y轴右侧不同的两点A,B．

(1)求m的取值范围；

(2)已知点P的坐标为2,1，试问：△APB的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该

直线方程；若不是，请说明理由．

变式20．（2024·浙江台州·高二校联考期中）已知直线l：xmy1与圆C：x2y24x0

交于A､B两点.

(1)若m1时，求弦AB的长度；

(2)设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.试探究：当m变

化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.

变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知直线l:xmy1，圆C:x2y24x0.

(1)证明：直线l与圆C相交；

(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程；

(3)在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，l1与l2的交点为Q.

证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上?若是，请

求出这条直线的方程；若不是，说明理由.

x2y2

变式22．（2024·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆C:1ab0的左、右顶

a2b2

3

点分别为M1、M2，短轴长为23，点C上的点P满足直线PM1、PM2的斜率之积为．

4

(1)求C的方程；

(2)若过点1,0且不与y轴垂直的直线l与C交于A、B两点，记直线M1A、M2B交于点Q．探

究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

x2y2

变式23．（2024·高二课时练习）已知椭圆C：1（ab0）过点P2,2，且

a2b2

离心率为2．

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)记椭圆C的上下顶点分别为A,B，过点0,4斜率为k的直线与椭圆C交于M,N两点，证

明：直线BM与AN的交点G在定直线上，并求出该定直线的方程．

题型九：圆过定点

x2y2

例25．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆C：=1(a>b>0)的离

a2b2

22

心率e=，左、右焦点分别为F1,F2，抛物线y42x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶

2

点.

（1）求椭圆C的方程；

2

（2）已知圆M：x2y2的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于A,B两点，

3

求证：以AB为直径的圆是否经过坐标原点.

x2y22

例26．（2024·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆C:1(ab0)的离心率e，

a2b22

2

左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y42x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.

（1）求椭圆C的方程；

2

（2）已知圆M:x2y2的切线l（直线l的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A、B两点，

3

那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.

x2y2

例27．（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知直线l1:xy10过椭圆C:1(b0)的

4b2

左焦点，且与抛物线M:y22px(p0)相切.

(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;

(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶

点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求

出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.

变式24．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x4的距离

等于点M到点D(1,0)的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

13

(2)已知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点P1,，设直线

22

、

PA、PB的斜率分别为kPAkPB，求kPAkPB的值；

(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以EF为直径的圆恰

过Q点，试判断直线EF是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请

说明理由．

变式25．（2024·广西·高三象州县中学校考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点M到定点

F(1,0)的距离比到y轴的距离大1．

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)当x0时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，

OQ与直线x1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出

定点坐标；若不是，请说明理由．

变式26．（2024·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期末）已知双曲线C：

x2y2221

1a0,b0经过点A2,0，且点A到C的渐近线的距离为．

a2b27

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点4,0作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M，N两点，直线x4分别交直线AM，

AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反

之，请说明理由．

题型十：角度定值

x2y2

例28．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1ab0上的点到它的两个焦点

a2b2

的距离之和