2024-2025学年湖北省新高考联考协作体高二（下）3月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省新高考联考协作体高二（下）3月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知{an}是等差数列，a4=20，aA.0 B.5 C.10 D.152.在等比数列{an}中，a4=1，aA.3 B.±3 C.3 D.3.棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A.0 B.1 C.2 D.4.已知圆M：x2+y2+2x=0，圆N：x2+y2−4x−21=0，点P在圆N上运动，直线PAA.8 B.7 C.63 D.5.已知函数f(x)=2x3+3(a+2)x2+12ax+1在x=−2A.a<−2 B.a>−2 C.a>2 D.a<26.已知f(x)=3f(2−x)+2x2−lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为A.3x+2y−1=0 B.3x−4y+7=0 C.3x+2y+1=0 D.3x−4y−7=07.F1，F2是双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点，过F2的直线与C的上、下两支分别交于AA.2 B.4 C.213 8.已知数列{an}，{bn}满足an=3n+1，bn=5n−2，这两个数列的项组成一个集合，集合中的数按从小到大的顺序排列组成数列{cA.551 B.671 C.755 D.869二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G分别为BC、CC1、A.A1G⊥EF

B.三棱锥P−AEF的体积为定值

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9

D.存在实数λ、μ使得10.已知椭圆x24+y2=1，斜率为k且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，P为椭圆的左顶点，MA.若直线OM斜率为k0，则k0⋅k=−1

B.若点M的坐标为(1,12)，则直线l的方程为x+2y−2=0

C.若直线l的方程为y=x−3，则11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数；第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数.记三角形数构成数列{an}，正方形数构成数列{bA.1a1+1a2+1a3+⋯+1an=2nn+1

B.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在棱长为22的正四面体ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，则|MN|=______．13.已知圆(x−1)2+(y−2)2=9，直线l：x+y+b=0，圆上至少有三个点到直线l的距离等于14.已知函数f(x)=xlnx，若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+a−1=0仅有2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx(a>0)．

(1)若a=e，求f(x)在(0,2]上的最大值．

16.(本小题15分)

已知在数列{an}中，An为其前n项和，若an>0，且4An=(an+1)2，n∈N∗，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn⋅bn=17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=2，O为AC的中点．

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)若点M满足CM=λCB(0<λ<1)，且PC与平面PAM所成角的正弦值为34，求平面PAM18.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点P到点F(0,14)的距离与直线y=−14的距离相等.直线l过点M(0,12)交曲线C于A，B两点．

(1)求曲线C的方程；

(2)若AM=12MB，求直线AB的方程；

(3)19.(本小题17分)

意大利画家达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数cℎ(x)=ex+e−x2的图象，现定义双曲正弦函数sℎ(x)=ex−e−x2，他们之间具有类似于三角函数的性质.(已知cosx≥1−12x2)

(1)证明：①倍元关系：sℎ(2x)=2sℎ(x)cℎ(x)；②平方关系：c参考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.D

6.D

7.B

8.C

9.BD

10.BC

11.ACD

12.2

13.[−3−214.{1−e}∪(1,2)∪(2,+∞)

15.解：(1)因为f(x)=12x2−(a+1)x+alnx(a>0)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=x−(a+1)+ax=(x−a)(x−1)x，

当a=e时，则f(x)=12x2−(e+1)x+elnx，f′(x)=(x−e)(x−1)x，

当0<x<1时，f′(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上单调递增，

当1<x≤2时，f′(x)<0，即函数f(x)在(1,2)上单调递减，

所以，当x∈(0,2]时，f(x)max=f(1)=−e−12．

(2)f′(x)=(x−a)(x−1)x，

①当0<a<1时，

令f′(x)>0，解得0<x<a或x>1，令f′(x)<0，解得a<x<1，

所以，函数f(x)的增区间为(0,a)、(1,+∞)，减区间为(a,1)；

②当a=1时，f′(x)=(x−1)2x≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，

所以函数f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；

③当a>1时，

令f′(x)>0，解得0<x<1或x>a，令f′(x)<0，解得1<x<a，

所以，函数f(x)的增区间为(0,1)、(a,+∞)，减区间为(1,a)．

综上所述，当0<a<1时，函数f(x)的增区间为(0,a)、(1,+∞)，减区间为(a,1)；

当a=1时，函数f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；

当a>1时，函数f(x)的增区间为(0,1)、(a,+∞)，减区间为(1,a)．

16.解：(1)由4An=(an+1)2(n∈N∗)，

当n=1时，4a1=(a1+1)2，解得a1=1．

当n≥2时，4An−1=(an−1+1)2，

两式相减可得：4an=(an+1)2−(an−1+1)2，

即an2−an−12−2an−2an−1=0，化为：(an+an−1)(an−an−1−2)=0，

对任意的n∈N∗，an>0，所以，an−an−1−2=0，即an−an−1=2，

所以数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2，则an=1+2(n−1)=2n−1．

当n≥2时，Sn⋅bn=Sn−1⋅bn+1，即Sn⋅(Sn−Sn−1)=Sn−1⋅(Sn+1−Sn)，可得Sn2=Sn+1Sn−1，

因为S1=b1=1，S2=b1+b2=2，

所以数列{Sn}是以1为首项，S2S1=2为公比的等比数列，

所以Sn=1⋅2n−1=2n−1．

(2)证明：因为cn=anSn+1=2n−12n，则Tn=12+322+523+⋯+2n−12n，12Tn18.解：(1)∵曲线C上的动点P到点F(0,14)的距离与直线y=−14的距离相等．

∴曲线C是以点F为焦点，以直线y=−14为准线的抛物线，故曲线C的方程为y=x2．

(2)若直线AB的斜率不存在时，直线AB与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，

设直线AB的方程为y=kx+12，

联立方程组y=kx+12y=x2，消去y整理得x2−kx−12=0，则Δ=k2+2>0，

设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，

则x1x2=−12，x1+x2=k，

由AM=12MB得(−x1,12−y1)=12(x2,y219.解：(1)证明：将双曲余弦函数cℎ(x)=ex+e−x2的图象，

双曲正弦函数sℎ(x)=ex−e−x2，代入方程，

①2sℎ(x)cℎ(x)=2ex−e−x2⋅ex+e−x2=e2x−e−2x2=sℎ(2x)；

②cℎ2(x)−sℎ2(x)=[ex+e−x2]2−[ex−e−x2]2=e2x+2+e−2x4−e2x−2+e−2x4=1．