第八章 立体几何初步章末小结课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步章末小结01知识回顾RetrospectiveKnowledge研究立体几何内容的基本思路整体观察空间几何体认识结构特征、直观图了解表面积和体积计算方法抽象基本元素点、直线、平面直线与直线直线与平面平面与平面直线、平面的平行和垂直重点研究判定和性质直观认识基本元素的位置关系结合长方体基本立体图形柱体椎体台体球多面体/旋转体简单组合体由简单几何体拼接而成、由简单几何体截去或挖去一部分而成用斜二测画法画直观图：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′Oy′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.用斜二测画法画直观图：画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.柱体、锥体、台体的表面积公式柱体锥体台体多面体围成它们的各个面的面积的和旋转体

r′=r柱体、锥体、台体的体积公式柱体锥体台体

S′=S球的表面积、体积公式表面积体积关于平面的基本事实与推论基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面确定平面推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面关于平面的基本事实与推论基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内判断直线是否在平面上基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线判断点是否在直线上基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.（空间中平行线的传递性）空间中“垂直于同一条直线的两条直线平行”是不一定成立的！长方体在研究空间直线、平面之间的位置关系时的重要作用空间中直线与直线的位置关系共面直线相交直线有且只有一个公共点平行直线没有公共点异面直线没有公共点线线垂直：相交垂直、异面垂直空间中直线与平面的位置关系直线在平面内无数个公共点直线在平面外直线与平面相交有且只有一个公共点直线与平面平行没有公共点空间中平面与平面的位置关系两个平面平行没有公共点两个平面相交有一条公共直线空间角异面直线所成的角线面角二面角(及二面角的平面角)立体几何中证明直线与直线平行的常用方法1.平行四边形对边平行2.三角形、梯形中位线平行于底边3.基本事实4（平行线的传递性）4.直线与平面平行的性质定理5.平面与平面平行的性质定理6.直线与平面垂直的性质定理空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．02知

识

精

讲ExquisiteKnowledge【例1】(1)我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC­A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，当“阳马”即四棱锥B­A1ACC1体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC­A1B1C1的表面积为

。【例1】(2)已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为__________．【变式训练1】(1)如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为△ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，则该几何体的体积为

.6A2B2【变式训练1】(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为π，那么这个正三棱柱的侧面积为

.【例2】如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上．【例2】如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上．【变式训练2】

如图，O是正方体ABCD­A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点．求证：O，M，A1三点共线．【例3】如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.O【例3】如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.【变式训练3】

如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.O【变式训练3】

如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【例4】如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB以AB为轴运动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD.(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．E【例4】如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB以AB为轴运动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD.(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【变式训练4】如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，DF＝2BE＝2，BE∥DF，FC＝AF＝2.(1)求证：平面ACE⊥平面BDFE.(2)求点F到平面ACE的距离．【变式训练4】如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，DF＝2BE＝2，BE∥DF，FC＝AF＝2.(2)求点F到平面ACE的距离．【例5】

如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成角的大小．(2)证明：AE⊥平面PCD.(3)求二面角A­PD­C的正弦值．【例5】

如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成角的大小．(2)证明：AE⊥平面PCD.(3)求二面角A­PD­C的正弦值．【例5】

如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(3)求二面角A­PD­C的正弦值．M【变式训练5】如图，在四棱锥P­ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值．(2)求证：PD⊥平面PBC.(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【变式训练5】如图，在四棱锥P­ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值．(2)求证：PD⊥平面PBC.(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【变式训练5】如图，在四棱锥P­ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.(3)求直线AB与平面P