2024-2025学年下学期高一数学北师大版同步经典题精练之从位移、速度、力到向量

第21页（共21页）2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高一同步经典题精练之从位移、速度、力到向量一．选择题（共5小题）1．（2024秋•丽水期末）已知点O（0，0），向量OA→=(-1，2)，向量OB→A．52 B．10 C．83 D2．（2025•昆明一模）已知向量a→=（0，2），b→=（1，0），则A．2 B．3 C．2 D．53．（2024秋•浙江期末）已知向量a→，b→不共线且满足(tA．22 B．±22 C．2 4．（2024秋•北京校级期末）已知a1→，a2→，b1→，b2→，⋯，bk→(A．5 B．6 C．7 D．85．（2025•新余校级模拟）已知平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，﹣2），B（1，2），OP→=λOA→A．(0，43) B．（0，2） C．（3，6） D．（二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•岳阳县校级期末）下列关于向量的说法错误的是（）A．若a→∥b→，B．若单位向量a→，b→夹角为π6，则向量a→在向量C．若a→与b→不共线，且sa→+tbD．若a→⋅c→（多选）7．（2024秋•大连期末）下列关于向量说法，正确的是（）A．若a→∥b→，b→∥c→，则B．在△ABC中，若OA→+OB→+OC→=0C．两个非零向量a→，b→，若|a→-b→|＝|a→|+|bD．若a→∥b→，则存在唯一实数λ使得a（多选）8．（2024•故城县校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题是（）A．若空间向量a→，b→满足|aB．空间任意两个单位向量必相等 C．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有BD→D．向量a→=(1（多选）9．（2024秋•昭通校级期中）如图，在菱形ABCD中，若∠DAB＝120°，则以下说法中正确的是（）A．BD→与OB→B．BD→的模恰为DA→模的3C．与AB→的模相等的向量有9个（不含AB→D．与AB→相等的向量只有一个（不含AB三．填空题（共3小题）10．（2024秋•抚顺期末）若非零向量a→与单位向量e→共线，且|a→+e→|＝|e→|，则|a11．（2024秋•延庆区期末）已知|a→|＝2，|b→|＝4，则|a→+b→|的最大值为12．（2024秋•西城区校级期末）向量a→=(-4，6)，b→=(2，x)满足a→∥b→，其中x∈R，那么x＝四．解答题（共3小题）13．（2024秋•葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ14．（2024秋•淮安月考）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；（2）若A，C，D三点共线，BD→⋅AC15．（2024春•顺义区期末）已知e1→，e2→是两个单位向量，其夹角为120°，（Ⅰ）求|a→|（Ⅱ）求a→与b

2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高一同步经典题精练之从位移、速度、力到向量参考答案与试题解析题号12345答案DDDBB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•丽水期末）已知点O（0，0），向量OA→=(-1，2)，向量OB→A．52 B．10 C．83 D【考点】平面向量的模．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】设OP→=(x，y)，表示出AP→、PB→的坐标，从而得到方程组，解得【解答】解：设OP→由题意可知，PB→AP→因为AP→所以x+1=2(2-x所以OP→故|OP故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的模，属于基础题．2．（2025•昆明一模）已知向量a→=（0，2），b→=（1，0），则A．2 B．3 C．2 D．5【考点】平面向量的模．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】首先求出a→【解答】解：因为向量a→=（0，2），b→=（所以a→所以|a故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的模，是基础题．3．（2024秋•浙江期末）已知向量a→，b→不共线且满足(tA．22 B．±22 C．2 【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】根据向量共线的判定定理可知存在k∈R，使得ta【解答】解：已知向量a→，b→不共线，则由(ta→+b→)∥(2a又向量a→，b→不共线，∴t=2故选：D．【点评】本题考查共线向量基本定理的应用，是基础题．4．（2024秋•北京校级期末）已知a1→，a2→，b1→，b2→，⋯，bk→(A．5 B．6 C．7 D．8【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据条件不妨设a1→=(0，0)，a2→=(0，1)，bj→=(【解答】解：根据条件不妨设a1→=(0，0)因为|a由|a1→-bj→|=1，可得由|a1→-bj→|=2，可得如图这两个圆用实线表示；由|a2→-bj→|=1，可得x2+（由|a2→-bj→|=2，可得x2+（如图这两个圆用虚线表示；由条件可知点（x，y）既要在实线曲线上，又要在虚线曲线上，由图象可知，共有6个交点，即k是最大值是6．故选：B．【点评】本题考查向量的模的结合意义，考查圆与圆的位置关系，属中档题．5．（2025•新余校级模拟）已知平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，﹣2），B（1，2），OP→=λOA→A．(0，43) B．（0，2） C．（3，6） D．（【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据向量的线性运算及向量平行的坐标表示求得OP→【解答】解：由题意，OP→AP→由AP→∥OB→，可得8﹣4λ＝2（5﹣3λ），解得故OP→=(0，2)，即P（故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属基础题．二．多选题（共4小题）（多选）6．（2024秋•岳阳县校级期末）下列关于向量的说法错误的是（）A．若a→∥b→，B．若单位向量a→，b→夹角为π6，则向量a→在向量C．若a→与b→不共线，且sa→+tbD．若a→⋅c→【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AD【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据投影向量的定义分析判断；对于C：根据向量共线的判定定理分析判断；对于D：根据数量积的定义分析判断．【解答】解：A：当b→=0→时，满足a→∥b→，b→∥c→，但a→与c→不一定平行，A错误；B：单位向量C：不妨假设s≠0，则a→=-tsb→，可知所以s＝t＝0，C正确；D：因为a→⋅c又c→≠0→，则|a故选：AD．【点评】本题主要考查向量的相关知识，考查计算能力，属于中档题也是易错题．（多选）7．（2024秋•大连期末）下列关于向量说法，正确的是（）A．若a→∥b→，b→∥c→，则B．在△ABC中，若OA→+OB→+OC→=0C．两个非零向量a→，b→，若|a→-b→|＝|a→|+|bD．若a→∥b→，则存在唯一实数λ使得a【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BC【分析】b→=0根据条件得出O为△ABC的重心，然后即可判断B的正误；根据向量减法的三角形法则即可判断C的正误；根据共线向量基本定理即可判断D的正误．【解答】解：b→=0→，满足a→若OA→+OB→+OC→根据重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍即可得出：S△AOC=a→，b→都为非零向量，满足|aa→∥b→，只有b→≠0故选：BC．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，重心的定义，共线向量基本定理，是基础题．（多选）8．（2024•故城县校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题是（）A．若空间向量a→，b→满足|aB．空间任意两个单位向量必相等 C．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有BD→D．向量a→=(1【考点】平面向量的概念与平面向量的模；命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；向量法；空间向量及应用；数学抽象．【答案】CD【分析】根据空间向量的定义以及模长即可结合选项逐一判断．【解答】解：对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以|a→|=|b→对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误；对于C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD→，B1D对于D，由向量a→=(1，1，0)，可得|故选：CD．【点评】本题考查空间向量的基本概念及模长公式，属基础题．（多选）9．（2024秋•昭通校级期中）如图，在菱形ABCD中，若∠DAB＝120°，则以下说法中正确的是（）A．BD→与OB→B．BD→的模恰为DA→模的3C．与AB→的模相等的向量有9个（不含AB→D．与AB→相等的向量只有一个（不含AB【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的模．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】根据题意结合向量的相关概念逐项分析判断．【解答】解：向量BD→与OB→的方向是相反的，是平行向量，故因为BO=3CO所以BD→的模恰为DA→模的3倍，故根据菱形的性质结合∠DAB＝120°，可知对角线AC与菱形的边长相等，故与AB→的模相等的向量有BC→，CB→，AC→，CA→，BA→，AD→，DA→，与AB→相等的向量只有DC→，故故选：BCD．【点评】本题主要考查相等向量、共线向量的定义，属于基础题．三．填空题（共3小题）10．（2024秋•抚顺期末）若非零向量a→与单位向量e→共线，且|a→+e→|＝|e→|，则|a【考点】平面向量的模．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】2．【分析】先判断非零向量a→与单位向量e【解答】解：|a→+e→|＝|e→|则非零向量a→与单位向量e则|a故|a→|＝2故答案为：2．【点评】本题主要考查平面向量的模，属于基础题．11．（2024秋•延庆区期末）已知|a→|＝2，|b→|＝4，则|a→+b→|的最大值为6【考点】平面向量的模．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；数学抽象．【答案】6；2．【分析】根据向量加法的几何性质即可得出结论．【解答】解：根据向量模长的性质，当向量a→和b→同向时，等于两个向量模长之和，即2+4＝6；当向量a→和b→反向时，等于两个向量模长之差的绝对值，即|2﹣4|＝2；因此，|a→+b→故答案为：6；2．【点评】本题考查向量的模的性质，属基础题．12．（2024秋•西城区校级期末）向量a→=(-4，6)，b→=(2，x)满足a→∥b→，其中x∈R，那么x＝【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】﹣3；13．【分析】结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解．【解答】解：向量a→=(-4，6)，则﹣4x＝12，解得x＝﹣3，故b→所以|b→|=故答案为：﹣3；13．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．四．解答题（共3小题）13．（2024秋•葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．（1）求|BG（2）若BE→=λBA→，BF→=μ【考点】平面向量的概念与平面向量的模；运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；平面向量及应用；运算求解．【答案】（1）203（2）6．【分析】（1）由重心性质可得BG→（2）由平面向量基本定理的推论得13【解答】解：（1）根据题意：BA→=(-4，由G是△ABC的重心，可得BG→所以|BG（2）由BE→可得BA→=1所以BG→因为E，F，G三点共线，所以13则2λ当且仅当8μ3λ=2λ3所以2λ+8μ的最小值为6．【点评】本题考查平面向量的模长公式及平面向量基本定理，考查基本不等式求最值，属中档题．14．（2024秋•淮安月考）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；（2）若A，C，D三点共线，BD→⋅AC【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量数量积的坐标运算．【专题】方程思想；数形结合法；不等式的解法及应用；运算求解．【答案】（1）D（4，3）；（2）D(【分析】（1）设D（x，y），利用BC→=AD（2）利用三点共线，可得AD→=λAC→，可得D（3﹣4λ，【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），∴BC→=（1，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC→设D（x，y），则AD→=（x﹣3，y﹣∴x-3=1y-1=2，解得x=4y（2）由A，C，D三点共线，且AC→可设AD→又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴BD→又BD→•AC→=-4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得∴D(【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．15．（2024春•顺义区期末）已知e1→，e2→是两个单位向量，其夹角为120°，（Ⅰ）求|a→|（Ⅱ）求a→与b【考点】平面向量的模；数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】（Ⅰ）|a→|=|【分析】（Ⅰ）直接利用向量的数量积运算求出结果；（Ⅱ）利用向量的夹角公式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知e1→，e2→为单位向量，夹角为120°，故|a→同理|b→|2=|3e1→（Ⅱ）由已知条件得：a→⋅b→=(2故cos＜由于0≤故＜a【点评】本题考查的知识点：向量的夹角运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．

考点卡片1．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．2．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．3．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．4．平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB【解题方法点拨】﹣计算模：也就是AB→﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．【命题方向】﹣向量模的计算：考查如何计算向量的模，并应用于几何问题．﹣向量长度的应用：在问题中如何利用向量的长度解决实际问题，如物体的位移和距离计算．如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点，且模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有39解：如图，设小正方形的边长为1，则|AB→|=则长度为5的对角线有20个，分别为AB，DE，FG，HI，CD，BF，EH，GK，CO，EM，BP，GN，EQ，IO，AO，MF，NH，PD，OK，FQ，∴模与AB→的模相等的向量（除AB→本身）共有20×2﹣1＝故答案为：39．5．平面向量的平行向量（共线向量）【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE→解：平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，所以图中与AE→平行的向量有EB→，DF→，FC6．平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算7．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【