辽宁省大连市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的定义、性质直线与圆锥曲线（1）教学实录 新人教B版选修2-1

辽宁省大连市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的定义、性质直线与圆锥曲线（1）教学实录新人教B版选修2-1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容辽宁省大连市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的定义、性质直线与圆锥曲线（1），本节课主要学习椭圆、双曲线的定义，以及它们的性质。教材为新人大版选修2-1，内容包括椭圆的定义、标准方程、几何性质；双曲线的定义、标准方程、几何性质。通过本节课的学习，学生能够掌握圆锥曲线的基本概念和性质，为后续学习打下基础。二、核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过椭圆和双曲线的定义及性质的学习，学生能够理解数学概念的形成过程，提高逻辑推理能力；通过建立几何模型，锻炼数学建模能力；通过图形的直观分析，增强直观想象能力；同时，通过方程的推导和运算，提升数学运算能力。三、学情分析本节课面向的是高中一年级学生，他们刚刚接触圆锥曲线这一数学概念，对圆锥曲线的定义和性质还处于初步了解阶段。在知识层面上，学生已经具备了平面几何的基本知识和函数的基本概念，但圆锥曲线的相关知识对他们来说是一个新的挑战。在能力方面，学生的抽象思维能力逐渐增强，但面对复杂几何图形的分析和运算能力还有待提高。在素质方面，学生的自主学习能力、合作探究能力和问题解决能力需要进一步加强。

学生的行为习惯对课程学习有一定的影响。部分学生可能对圆锥曲线的概念理解不够深入，缺乏对数学知识的系统性和逻辑性的认识，容易在解题时出现错误。此外，学生在课堂上的参与度、合作意识和表达交流能力也各不相同，这些因素都会影响教学效果。

针对学生的这些特点，本节课的教学设计应注重以下几点：首先，通过直观的图形演示和实例分析，帮助学生建立圆锥曲线的直观形象；其次，通过引导和启发，鼓励学生积极参与课堂讨论，提高他们的合作探究能力；再次，通过设计不同层次的问题，满足不同学生的学习需求，提高他们的数学思维能力；最后，通过课堂练习和反馈，帮助学生巩固所学知识，培养良好的学习习惯。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都备有新人大版选修2-1教材，以便查阅圆锥曲线的相关章节。

2.辅助材料：准备与圆锥曲线定义、性质相关的图片、图表，以及描述直线与圆锥曲线交点的动画视频，辅助学生理解概念。

3.实验器材：由于本节课主要涉及理论知识，无需实验器材。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行合作学习；在黑板上绘制圆锥曲线的图形，便于学生直观观察和讨论。五、教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们已经学习了椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，那么它们之间有什么关系呢？它们是如何联系起来的呢？

2.学生思考，自由发言。

3.老师总结：今天我们就来探究圆锥曲线的定义、性质以及直线与圆锥曲线的关系，希望通过这节课的学习，大家能够更好地理解圆锥曲线的特点和应用。

二、新课讲授

1.圆锥曲线的定义

a.老师展示圆锥曲线的实物模型，引导学生观察并描述其形状。

b.学生描述圆锥曲线的形状，老师总结并给出圆锥曲线的定义。

c.老师解释圆锥曲线的定义，强调其几何意义。

2.椭圆的定义与性质

a.老师展示椭圆的实物模型，引导学生观察并描述其形状。

b.学生描述椭圆的形状，老师总结并给出椭圆的定义。

c.老师讲解椭圆的标准方程，并引导学生推导出椭圆的几何性质。

d.学生跟随老师一起推导椭圆的几何性质，如焦点、长轴、短轴等。

3.双曲线的定义与性质

a.老师展示双曲线的实物模型，引导学生观察并描述其形状。

b.学生描述双曲线的形状，老师总结并给出双曲线的定义。

c.老师讲解双曲线的标准方程，并引导学生推导出双曲线的几何性质。

d.学生跟随老师一起推导双曲线的几何性质，如焦点、实轴、虚轴等。

4.直线与圆锥曲线的关系

a.老师展示直线与圆锥曲线的交点模型，引导学生观察并描述交点的形状。

b.学生描述交点的形状，老师总结并给出直线与圆锥曲线的交点性质。

c.老师讲解直线与圆锥曲线的交点性质，如渐近线、切线等。

三、课堂练习

1.老师提出问题：请同学们根据所学知识，判断以下圆锥曲线的类型。

a.学生独立完成判断，并举手回答。

b.老师点评并讲解正确答案。

2.老师提出问题：请同学们根据所学知识，推导出椭圆和双曲线的渐近线方程。

a.学生独立完成推导，并举手回答。

b.老师点评并讲解正确答案。

四、课堂小结

1.老师总结本节课所学内容，强调圆锥曲线的定义、性质以及直线与圆锥曲线的关系。

2.老师提醒同学们，在课后复习时要关注圆锥曲线的几何意义和应用。

五、布置作业

1.请同学们完成教材中的相关练习题，巩固所学知识。

2.请同学们思考：圆锥曲线在实际生活中有哪些应用？

六、课堂反馈

1.老师提问：同学们对本节课的内容有什么疑问？

2.学生提问，老师解答。六、教学资源拓展1.拓展资源：

a.圆锥曲线的历史背景：介绍圆锥曲线的发现者及其历史意义，如阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》。

b.圆锥曲线在物理学中的应用：探讨圆锥曲线在行星运动、光学、天文学等领域的应用。

c.圆锥曲线在现代工程学中的应用：分析圆锥曲线在建筑设计、机械设计、航空航天等领域的应用。

2.拓展建议：

a.阅读相关书籍：《圆锥曲线论》等经典著作，了解圆锥曲线的起源和发展。

b.观看科普视频：通过视频了解圆锥曲线在现实生活中的应用，如行星轨道模拟、光学原理等。

c.参与数学竞赛：参加数学竞赛，如美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克（IMO）等，提升解题能力和数学思维。

d.实践操作：利用计算机软件（如MATLAB、Python等）进行圆锥曲线的图形绘制和性质探究。

e.小组合作：与同学组成学习小组，共同研究圆锥曲线的性质和应用，提高团队合作能力。

f.撰写论文：针对圆锥曲线的某个特定领域进行研究，撰写论文，提升学术写作能力。

g.参观科技馆：参观科技馆中的相关展览，如天文馆、光学馆等，直观感受圆锥曲线的应用。

h.开展课外活动：组织数学兴趣小组，定期开展圆锥曲线相关的课外活动，如讲座、研讨会等。七、教学反思与改进这节课下来，我对自己在教学过程中的表现和效果进行了一些反思。

首先，我觉得课堂的互动性还有待加强。虽然我尝试通过提问和讨论来激发学生的兴趣，但发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对圆锥曲线的理解还不够深入，或者是对课堂讨论的形式不太适应。所以，我计划在未来的教学中，设计更多层次的问题，既有基础知识的巩固，也有拓展性的思考，让不同层次的学生都能找到参与的机会。

其次，我发现有些学生对于圆锥曲线的性质理解不够透彻。在讲解过程中，我可能过于注重公式的推导，而忽略了性质的直观解释。因此，我打算在下一节课中，更多地使用图形和实例来帮助学生理解这些性质，比如通过绘制椭圆和双曲线的图像，让学生直观地看到焦点、离心率等概念的实际意义。

再者，我在课堂上的时间分配上可能存在一些问题。有些内容讲解得不够深入，而有些地方又显得过于匆忙。为了改善这一点，我会在课前做好更详细的备课，合理规划每一部分的教学时间，确保每个知识点都能得到充分的讲解和练习。

此外，我注意到学生的作业完成情况参差不齐。有的学生能够独立完成，而有的学生则显得有些困难。为了提高作业的质量，我打算在课后提供一些额外的辅导，帮助那些需要帮助的学生，同时鼓励学生之间互相帮助，形成良好的学习氛围。

最后，我想说的是，教学是一个不断学习和改进的过程。我会认真听取学生的反馈，特别是对于圆锥曲线这一较为抽象的概念，我会思考如何更好地帮助他们建立起直观的理解。同时，我也会关注同行的教学方法和经验，不断丰富自己的教学手段。八、板书设计①圆锥曲线的定义

-定义：动点到定点F和定直线L的距离之比是常数e的点的轨迹。

-定点F：焦点

-定直线L：准线

-常数e：离心率

②椭圆的性质

-焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a（a为半长轴）。

-椭圆的焦点在长轴上，且长轴是椭圆上最长的一条弦。

-椭圆的短轴垂直于长轴，且短轴的长度为2b（b为半短轴）。

-椭圆的离心率e满足0<e<1。

③双曲线的性质

-定点F1和F2：焦点

-定直线L：准线

-常数e：离心率

-双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数2a（a为实半轴）。

-双曲线的焦点在实轴上，且实轴是双曲线上最长的弦。

-双曲线的虚轴垂直于实轴，且虚轴的长度为2b（b为虚半轴）。

-双曲线的离心率e满足e>1。

④直线与圆锥曲线的关系

-直线与椭圆相交：交点个数取决于直线与椭圆的位置关系。

-直线与双曲线相交：交点个数取决于直线与双曲线的位置关系。

-直线与抛物线相交：交点个数取决于直线与抛物线的位置关系。重点题型整理1.题型一：求椭圆的标准方程

题目：已知椭圆的焦点F1(-c,0)和F2(c,0)，离心率e=1/2，且椭圆上一点P(3,4)满足PF1+PF2=10，求椭圆的标准方程。

解答：由椭圆的定义，有PF1+PF2=2a，所以2a=10，得到a=5。又因为e=c/a，所以c=a/2=5/2。椭圆的半长轴a=5，半焦距c=5/2，根据椭圆的关系式b^2=a^2-c^2，得到b^2=25-(5/2)^2=25-25/4=75/4。因此，椭圆的标准方程为x^2/25+y^2/(75/4)=1。

2.题型二：求双曲线的标准方程

题目：已知双曲线的焦点F1(-c,0)和F2(c,0)，离心率e=2，且双曲线上一点P(3,4)满足|PF1-PF2|=6，求双曲线的标准方程。

解答：由双曲线的定义，有|PF1-PF2|=2a，所以2a=6，得到a=3。又因为e=c/a，所以c=2a=6。双曲线的半实轴a=3，半焦距c=6，根据双曲线的关系式b^2=c^2-a^2，得到b^2=36-9=27。因此，双曲线的标准方程为x^2/9-y^2/27=1。

3.题型三：求椭圆的焦点坐标

题目：已知椭圆的标准方程为x^2/16+y^2/4=1，求椭圆的焦点坐标。

解答：由椭圆的标准方程，可以直接读出a^2=16，b^2=4，得到a=4，b=2。椭圆的半焦距c=√(a^2-b^2)=√(16-4)=√12。因此，椭圆的焦点坐标为F1(-√12,0)和F2(√12,0)。

4.题型四：求双曲线的渐近线方程

题目：已知双曲线的标准方程为x^2/9-y^2/16=1，求双曲线的渐近线方程。

解答：由双曲线的标准方程，可以直接读出a^2=9，b^2=16，得到a=3，b=4。双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x，即y=±(4/3)x。因此，双曲线的渐近线方程为y=±(4/3)x。

5.题型五：直线与圆锥曲线的位置关系

题目：已知椭圆的标准方程为x^2/4+y^2/9=1，直线方程为y=mx+c，求直线与椭圆相交的条件。

解答：将直线方程代入椭圆方程，得到(9m^2+4)x^2+18mcx+9c^2-36=0。根据判别式Δ=(18mc)^2-4(9m^2+4)(9c^2-36)，当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆不相交。因此，直线与椭圆相交的条件是Δ>0。作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材第二章圆锥曲线与方程2.5课后练习题，包括椭圆和双曲线的定义、性质以及直线与圆锥曲线的关系的相关题目。

2.阅读教材中关于圆锥曲线应用的部分，思考圆锥曲线在实际生活中的应用场景。

3.选择一个圆锥曲线的性质，如椭圆的焦点到任意一点的距离之和等于常数2a，或者双曲线的渐近线方程，进行详细的分析和证明。

4.设计一个几何问题，涉及圆锥曲线的性质，并尝试用数学语言进行描述和解答。

作业反馈：

1.对学生的作业进行及时的批改，确保每位学生的作业都能得到反馈。

2.对于作业中的错误，不仅要指出错误本身，还要分析错误产生的原因，如概念理解不清、计算错误等。

3.对于学生的优秀作业，给予肯定和表扬，鼓励学生继续保持良好的学习态度。

4.对于作业中的典型问题，可以在下一节课上进行集体讲解，帮助学生共同克服难点。

5.针对学生的作业表现，