数学 第二册（五年制高职）课件 第一章 数列

6.1.1数列的定义江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究（1）某学习小组某时段学习平台积分排名如图所示，请写出总积分排名前5的学员的总积分数.问题探究（2）《庄子·天下篇》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，那么每日所取棰长依次是多少?问题（1）中，根据总积分排名，前5名学员的总积分得到一列数：28109，27843，27698，27684，27521问题（2）中，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为:一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.如果将“一尺之棰”长度视为1，那么“日取其半”每日所取的长度依次为像这样按照一定次序排成的一列数称为数列.数列中的每个数都称为这个数列的项.抽象概括数列的一般形式，简记作

.其中

称为数列的第1项(或首项)，

称为数列的第2项，…，数列的第n项

称为数列的通项.抽象概括项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列.抽象概括如果一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，这样的数列称为递增数列；如果一个数列从第二项起，每一项都小于它的前一项，这样的数列称为递减数列.数列的分类例题讲析例1按照探究问题（1）的学习平台中总积分排名，分别写出前5名学员所选时段积分、10月累计积分所构成的数列.例题讲析例2数列1，3，5，7，9和数列9，7，5，3，1是同一个数列吗?为什么?例题讲析例3分别写出以下数列的首项、第4项和第7项.（1）3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，3.1415926;（2）10,6,2，-2，…;（3）….抽象概括在数列中，对于每一个正整数n(或都有一个数与之对应，因此，数列也是一类特殊的函数.

类似于函数，数列还可以用列表法和图象法表示.合作交流请用项的序号n表示数列…的第n项.课堂练习1.举出两个生活中数列的例子.

2.有两列数:(1)3，3，3，3，3，3，3;(2)3，3，3，3，3，3，3，3.它们是否是数列?如果是数列，它们是否相同?为什么?

3.写出正奇数1，3，5，7，…的倒数依次排成的数列，并说出它的首项和第7项.

4.某病人住院10天，住院期间每天量取一次体温以观察病情变化.将体温(℃)按时间顺序得到数列39.2，39.8，38.1，38.7，38，37.8，38.2，38，37.2，37.6.请用列表法表示这个数列.

5.将数列看作是一种特殊的函数，那么它的自变量和因变量分别是什么？试用列表、描点的方法画出这个数列的图象.课堂小结1.数列、数列项的概念2.数列的一般形式3.数列的分类4.数列与函数6.1.2数列的通项江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究如何用项数n来表示数列的第n项？一般地，如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子称为这个数列的通项公式.抽象概括

例如，数列的通项公式为例题讲析例4已知数列的通项公式，写出它的首项、第3项和第35项。

例5分别写出以下数列的一个通项公式:(1)(2)-1，1，-1，1，-1，…;

(3).例6已知数列{an}的通项公式为

，写出该数列的第5项，第n-1项和第n+1项.合作交流如图，绿色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.课堂练习1.已知下列数列的通项公式，写出它们的前5项.(1)an=3n-2;(2)bn=(-1)n+1；(3)课堂练习2.写出下列数列的一个通项公式：(1)4，7，10，13，16;(2)1，-4，9，-16，25，…;(3)(4)3.已知数列的一个通项公式

，求这个数列的第5项，第n-1项，第n+1项。课堂小结1.本节课学习了数列的什么？2.利用数列的通项公式可以解决什么问题6.2.1等差数列的概念江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究观察以下四个数列：（1）万年历中，某月份星期日的日期依次为1,8,15,22,29.（2）第26届到第32届奥运会的年份依次为1996，2000，2004，2008，2012，2016，2020.（3）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81.

(4)安全无小事，每到汛期，水位线就备受关注.某水库汛限水位附近的水位线刻度数（单位：厘米）从上至下依次为300，290，280，270，260，250，240，230，….这四个数列从第2项起，每一项与前一项的差是多少？这四个数列有何共同特征？问题探究(1)从第2项起，每一项与它前面一项石板数的差都等于7；(2)从第2项起，每一项与它前面一项年份的差都等于4；(3)从第2项起，每一项与它前面一项日期的差都等于9；(4)从第2项起，每一项与它前面一项刻度的差都等于-10.上述四个数列的共同特征是，数列从第2项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数（即等差）.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么称这个数列为等差数列，这个常数称为公差，通常用d表示.抽象概括问题探究中四个数列是等差数列吗？若是，首项、公差分别是多少？由定义可知，若数列是公差为的等差数列，则有

例题讲析例1下列数列是否是等差数列？若是等差数列，写出其首项及公差.(1)2，5，8，11，14;(2)-2，-2，-2，-2，-2;(3)1，0，-1，0，1，0，-1，0，….例2求出下列等差数列中的未知项：（1）3，x，17;（2）y，6，14，z.例题讲析例3以下数列是否是等差数列？请说明理由.（1）

（2）合作交流请写出两个等差数列，并在平面直角坐标系中分别作出它们的图象.这些图象有什么特征？思维拓展你知道“麦田怪圈”吗?麦田怪圈是在麦田或其他农田上，透过某种力量把农作物压平而产生出的几何图案，下图就是其中的一种，这个麦田圈由一组同心圆构成，如果最里面的圆半径为1m，其他的圆半径依次增加1m.那么，这些同心圆的半径、周长、面积由内向外依次排成的数列都是等差数列吗?

课堂练习1.已知下列数列都是等差数列，填出所缺的项，并求其公差.(1)7，3，_______，_______，_______，…;(2)5，_______，_______，_______，25，….

下列数列是否是等差数列?若是，写出其首项及公差.(1)

2，9，16，23，30;;(2)-1，-1，-1，-1，-1.(3)2.课堂练习3.如图，请写出由空心圈个数构成的数列.它是等差数列吗?若是，写出其首项及公差.(1)(2)(3)课堂小结1.等差数列的文字定义2.等差数列的符号定义6.2.2等差数列的通项公式江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）复习回顾提问：等差数列的定义？

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么称这个数列为等差数列.问题探究（1）为了达到较好的音响效果，剧场的座位大多排成圆弧形。某剧场座位的排列规律是第一排有30个座位，从第2排起，后一排比前一排多6个座位，各排的座位数构成一个数列，（为第n排的座位数）,这个数列的第20排有多少个座位？（2）某饮料的品牌推广策划方案，需要在超市搭建景观墙。从上至下每层的易拉罐数构成数列。其中=3，公差d=2.如果计划摆放30层，那么最底层需要多少个易拉罐？（3）如果数列

是等差数列，它的公差为d，那么这个数列的第n项是什么？一般地，如果数列

是公差为

的等差数列，那么它的通项公式为抽象概括例题讲析例4已知等差数列

的首项为1，公差为3，求第11项.例6已知等差数列

中，

，

，求数列

的通项公式.例5求等差数列-13，-9，-5，-1，…的第56项.合作交流如果

是等差数列，数列

是等差数列吗?课堂练习1.已知等差数列

的首项为7，公差为2，求

.2.求等差数列17，14，11，8，…的第10项.3.已知等差数列

中，

，求数列

的通项公式.4.已知数列

是等差数列.（1）若

（2）若.课堂小结本节课学习了什么？6.2.3等差数列的性质江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）复习回顾问1：等差数列的定义？问2：等差数列的通项公式？问题探究（1）如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项.如何用x和y表示A？（2）等差数列

的通项公式为

，试求

.你有什么发现？（3）等差数列

中,如果正整数m，n，s，t满足

，那么

之间有什么关系？一般地，对于等差数列

，有如下结论：抽象概括（1）除去首末两项，其他任意一项都是它前后两项的等差中项，即（2）如果正整数m，n，s，t

满足

，那么例题讲析例7求出下列等差数列中的未知项:（1）5，A，15;（2）31，b，11，c;（3）

，p，

.

例9等差数列

中，

，试求

.例题讲析例8已知等差数列首项为2，公差为4，（1）将这个数列中的每一项都乘以3，所得的新数列是等差数列吗？如果是等差数列，它的首项和公差分别是多少？（2）这个数列中的所有奇数项，按原来的顺序组成的新数列是等差数列吗？如果是等差数列，它的首项和公差分别是多少？

结论：等差数列中的每一项乘以同一个常数，所得的数列仍然是等差数列；等差数列中，间隔相同的项构成的数列仍然是等差数列。合作交流等差数列

中，已知

是方程

的两个根，求

的值.课堂练习1.求出下列等差数列中的未知项:（1）12，x，26;（2）

，y，

；（3）46，m，n，p,-2.2.已知

是公差为d的等差数列，那么数列

也是等差数列吗？如果是等差数列，公差是多少？课堂练习3.已知一个等差数列

的公差为d.（2）取出数列

中的所有偶数项，依次构成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是等差数列，它的首项与公差分别是多少？（3）取出数列

中的所有项数是3的倍数的各项，依次构成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是等差数列，它的首项与公差分别是多少？4.在等差数列

中，若

，求

的值

.（1）将数列

的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列吗？如果是等差数列，它的首项与公差分别是多少？课堂小结等差数列

的性质如下：性质1：除去首末两项，其他任意一项都是它前后两项的等差中项.性质2：如果正整数

m，n，s，t

满足

，那么性质3：等差数列中的每一项乘以同一个常数，所得的数列仍然是等差数列；性质4：等差数列中，间隔相同的项构成的数列仍然是等差数列.6.2.4等差数列的前n项和公式江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

一般地，数列从第1项起到第n项止的各项之和称为数列的前n项和，记作即如何求等差数列的前n项和？问题探究（1）搭建6.2.2问题探究中的超市景观墙，共需多少个易拉罐？问题探究（2）如何用等差数列

的项与项数表示该数列的前n项和？设等差数列

公差为d，前n项和为Sn，则①②①②两式相加，得由此得出等差数列前n项和公式

一般地，如果等差数列

的公差为d，则其前n项和公式为抽象概括

据等差数列的通项公式

，可得抽象概括例题讲析例10已知数列为等差数列.

求求

(1)若

(2)若例11求正奇数数列1，3，5，7，…前100项之和.例12在等差数列

中，已知求其前13项和，合作交流

某种卷筒卫生纸（如图），开启时中空部分的直径为40mm，外沿的直径为120mm.已知卫生纸的厚度为0.1mm，则一卷该卫生纸的总长度大约是多少?(精确到0.1m)思维拓展等差数列

中，首项

，公差d=-3，当n为何值时，前n项和

最大？

课堂练习1.若等差数列

中，

公差

则

（）A.1B.0C.

D.-12.已知数列

为等差数列.(2)求3.已知等差数列

中，(1)若

(2)若

(1)求此数列的通项公式;4.在等差数列

中，课堂小结等差数列前n项和公式（1）（2）6.3.1等比数列的概念江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究下面两个数列有哪些共同特点？（1）如图6-10，（1）一个细胞在分裂过程中,1个分裂为2个,每次分裂前的细胞总数构成数列

:

1,2,4,8,16,….

图6-10（2）数列

：

.问题探究

观察数列

和数列

，发现这两个数列从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。数列

从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；数列

从第2项起，每一项与前一项的比都等于

。抽象概括

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项之比都等于同一个不为零的常数，那么称这个数列为等比数列，这个常数称为公比，通常用

表示

.公比q可以为正数和负数，但不可以为零.

问题探究中，数列

是首项为1、公比为2的等比数列，数列

是首项为

、公比为

的等比数列.

由等比数列的定义可知，若数列

是公比为

的等比数列，则有

例题讲解

例1下列数列是否是等比数列？若是，写出其首项及公比.(1)-1，-5，-25，-125，-625，…;(2)

1，

，2，

，4

;(3)

;(4)0，-1，-4，-16，-64.例题讲解

例2已知以下数列都是等比数列，填写所缺的项，并求其公比.(1)1，

，______，______，…;(2)

，______，______，

，…;(3)

3，______，______，3，….合作交流《增删算法统宗》中的“诵课倍增”歌：“有个学生心性好，一部《孟子》读了三日，每日添增一倍多，问君每日读多少？”这个学生三日里各读多少？（《孟子》全书为34685字，“一倍多”指一倍．）课堂练习1.下列数列是否是等比数列?若是，写出其首项及公比.(1)

1，-1，1，-1，…;(2)

;(3)

1000，10，

，

，…;(4)

0，0，0，0，….2.已知下列数列都是等比数列，填写所缺的项，并求其公比.(1)

，-2，______，______，…

;(2)81，______，______，3，….课堂练习3.诸葛统兵：诸葛统领八员将，每将又分八个营.每营里面排八阵，每阵先锋有八人。每人旗头俱八个，每个旗头八队成。每队更该八个甲，每甲该有八个兵.请你仔细算一算，孔明共领多少兵.课堂小结1认识等比数列及其特点；2.会判断一个数列是否为等比数列；3.会求等比数列的首项及公比。6.3.2等比数列的通项公式江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究1.数列

：3,6,12,24,48，…的通项如何表示？2.数列

的第10项是多少？3.如果数列

是等比数列，它的公比是

，那么这个数列的第n项是什么？问题探究在数列

中，首项

，公比q=2，公比

，

……以此类推，该数列的通项为

问题探究类似地，数列（2）中的第10项是

数列

是一个等比数列，首项为

，公比为

，则…

以上n-1个等式左右对应相乘，得

即

.抽象概括一般地，设数列

是一个等比数列，首项为

，公比为q，则其通项公式为

从等比数列的通项公式可以得出

，即等比数列中第n项与首项的比等于公比的n-1次方.例题讲析例3已知等比数列2，6，18，54，…，求此数列的通项公式.例4已知等比数列

的通项公式

，求其首项及公比.例5在等比数列

中

，

，

.求这个数列的通项公式及

.思维拓展

如图6-11，将一个边长为1的正三角形(1)的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形(2).如此继续下去，得图形(3).

试用n表示出第n个图形的边数

.

图6-11

课堂练习1求等比数列1，0.3，0.09，0.027，…

的通项公式.2求通项为an=2×

的等比数列的首项与公比

.3已知等比数列

中，

，

，求

.4在等比数列中

，（1）已知

；（2）已知

；（3）已知

.课堂小结1等比数列的通项公式

.2等比数列中，

四个量，已知三个量，求第四个量.6.3.3等比数列的性质江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

1.如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项.如何用x和y表示G？

2.等比数列

的通项公

，试求

.

你有什么发现？

3.等比数列

中,

如果项的序号m，n，s，t

满足

，那么

之间有什么关系？问题探究

对于问题1，如果x，G，y三个数成等比数列，根据等比数列的定义可知，

，因此

，即等比中项G是它前后两项x与y积的平方根.

对于问题2，根据等比数列通项公式求出

，且

=

=

，不难发现，它们的下标(即项的序号)和也相等，即3+10=5+8=6+7=13.

对于问题3，由等比数列通项公式，

=，=，因为，所以抽象概括一般地，对于等比数列

，有如下结论：

（1）除去首末两项，其他任意一项都是它前后两项的等比中项，即

；（2）如果项的序号m，n，s，t

满足

，那么

.例题讲析例6求出下列等比数列中的未知项:（1）

，G，16

;

（2）

.例7已知等比数列首项为3，公比为2.（1）将这个数列中的每一项都乘以5，所得的新数列是等比数列吗？如果是等比数列，它的首项和公比分别是多少？（2）将这个数列中的所有奇数项按原来的顺序所组成的新的数列，这个新的数列是等比数列吗？如果是等比数列，它的首项和公比分别是多少？由例7可以看出，等比数列中的每一项乘以同一个非零常数，所得数列仍然是等比数列；等比数列中，间隔相同的项构成的数列仍然是等比数列。例题讲析例8等比数列

中，

，试求

的值.课堂练习1.求出下列等比数列中的未知项:（1）4，x，9

;（2）

，y，

;（3）1，m，9，n

.2.已知两个数k+2和2k-3的等比中项是k，求k.3.已知

是公比为q的等比数列，新数列

也是等比数列吗？如果是，公比是多少？课堂练习4.已知一个等比数列

的首项为a1，公比为q.（1）将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？（2）取出数列中的所有偶数项，依次构成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？（3）取出数列中所有项的序号是3的整数倍的各项，依次构成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别为多少？5.在等比数列

中，若

.课堂小结等比数列

（1）除去首末两项，其他任意一项都是它前后两项的等比中项，即

；（2）如果项的序号m，n，s，t

满足

，那么

.（3）等比数列中的每一项乘以同一个非零常数，所得数列仍然是等比数列；等比数列中，间隔相同的项构成的数列仍然是等比数列。6.3.4等比数列的前n项和公式江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究1.传说古希腊国王要嘉奖数学家阿基米德.阿基米德的要求是在国际象棋棋盘（如图6-12）的方格上，第1个方格放1颗麦粒，第2个方格放2颗麦粒，第3个方格放4颗麦粒，第4个方格放8颗麦粒，…每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直至放满64格，棋盘上的麦粒就是他的奖品.假设每1000颗麦粒的重量为40克，请问国王有能力满足阿基米德的要求吗？图6-12

2.已知等比数列

的公比为q，试用该数列的项与项数表示它的前n项和.问题探究

对于问题1，

棋盘上每个方格中的麦粒数构成首项为1，公比为2的等比数列

，

则放满棋盘方格的麦粒数就是这个等比数列的前64项的和，即

两边同乘以2得到：两式相减得，

即

是一个天文数字，

，奖品的总质量约为

，很显然国王没有能力满足阿基米德的要求。问题探究对于问题2，设等比数列前n项和为

，则即①上式两边同时乘以q，得②①②两式相减，得当

时，因为

，所以当q=1时，

.抽象概括一般地，若等比数列

首项为

，公比为q，则其前n项和公式为

，或例题讲析思维拓展解决《白话九章算术》中“女子善织”问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何．”题目的意思是“一女子是织布能手，每天织的布都是前一天的2倍．已知她5天里共织布5尺．问这位女子每天织布多少？”课堂练习3.《增删算法统宗》中的“行程减半”：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．课堂小结1等比数列前n项和公式:或

2

等比数列前n项和公式的运用6.4.1数列在经济生活中的应用江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）

例1某人制定5年存款方案，计划每年生日当天存10000元，每年存款到期后自动转存，到第五年存款到期后连本带利一起取出,银行年利率为2%，.问:此人共可取回多少钱（精确到0.01元）?例题讲析例题讲析

例2：分期付款是当今经济生活中与老百姓息息相关的事，买房、买车、甚至购买数码产品都用上了分期付款，如何根据自己的实际经济情况，选择恰当的分期付款方式是每一个参与经济活动的公民的迫切需要。小明同学采用分期付款的方式(（如图6-