数学 第二册（五年制高职）课件 第五章 简单几何体

10.1.1投影江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

在太阳光下，改变一个直角三角板的位置，可以得到哪些形状的影子？

通过实验不难发现，当三角板所在的平面和太阳光不平行时，三角板的影子是三角形，而且改变三角板的位置，可以得到大小不同、角度不等的各类三角形，如图10-1(1)；当三角板所在的平面和太阳光平行时，三角板的影子是一条线段，而且改变三角板的位置，线段的长短也可能发生变化，如图10-1(2).（1）

（2）图10－1

投影的概念

一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子称为物体的投影，照射光线称为投影线，投影所在的平面称为投影面.抽象概括中心投影的概念

不同的投影光源发出的光线（投射线）往往也不同.投影线交于一点（由点光源发出）的投影称为中心投影.例如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就可以看作是中心投影.抽象概括抽象概括

平行投影的概念

投影线互相平行的投影称为平行投影.例如太阳离我们非常远，射到地面的太阳光就可以看成是一组互相平行的投射线.平行投影按照光线投射方向是否正对投影面，又分为正投影和斜投影两种(如下图).例题讲析例1一根直的细铁丝在一个平面内的正投影可能是什么形状？例2

如图10-5，点E、F分别是长方体

ABCD-A1B1C1D1的棱

BB、CC1

的中点，试说出四边形

A1EFD1在平面ABCD和平面BB1C1C上的

正投影.例题讲析例3

如图，点E，F，G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，A1B1，

AA1上的点，试分别画出∆EFG在平面DD1C1C和平面ABCD上的正

投影.合作交流

当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与它本身的形状和大小有怎样的关系？课堂练习1.一块正方形纸板的正投影不可能是（）.A.正方形B.长方形C.平行四边形D.梯形2.有四个大小相同的立方体如图（1）放置，当投影线从不同的方向投

射时，得到不同的正投影（2）（3）（4）.那么，投影线是从左向右的方向，正投影是

；投影线是从上向下的方向，正投是

；投射线是从前向后的方向，正投影是

.（1）

（2）

（3）

（4）

3.

如图放置的圆柱、圆锥和球，当投影线从左向右投射时，它们的

正投影的形状分别是

、

和

.

课堂练习课堂小结1.中心投影和平行投影的概念;2.掌握正投影和斜投影异同;10.1.2三视图江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究1.

如果一个物体的某个视图是一个正方形，能判断出它的真实形状吗？

2.

如果一个物体从上向下的视图是正方形，从前向后的视图也是正方形，

能判断出它的真实形状吗？三视图的概念

一般地，光线自物体的前面向后投射所得到的正投影称为主视图（或正视图），自上而下投射所得到的正投影称为俯视图，自左向右投射所得到的正投影称为左视图.用这三种视图刻画空间物体的具体形状称之为三视图.抽象概括抽象概括抽象概括

画三视图时，要把三个视图放在正确的位置上，并且注意主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等.例题讲析例4

如图，已知长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm和3cm，试画出

它的三视图.例5

如图，已知圆锥的底面直径和高均为4cm，试画出它的三视图.合作交流

有没有几何体的三视图是三个完全相同的平面图形？如果有，请举例说明.课堂练习1．已知长方体的长、宽、高分别为4cm、4cm、2cm，试画出它的

三视图.2．画出如图所示的圆柱及半球的三视图.课堂小结1.实物或空间图形的正视图、俯视图、左视图;2.

三视图所表达的简单几何体;3.

简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、柱体等）的三视

图，能识别上述三视图表示的立体模型.10.1.3简单组合体的三视图江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）例题讲析例6如图，这是由7个小正方体组成的几何体，试画出它的三视图.例题讲析例7

请画出如下图所示几何体的三视图.例题讲析例8

如图，请根据三视图(1)、(2)、(3)分别描述几何体的形状.（1）

（2）

（3）

合作交流

由四个相同的小正方体组成的组合体，其主视图和左视图可能完全相同吗？如果可能，试画出组合体的草图.课堂练习1.如图，下列几何体分别由三个相同的小正方体组合而成，试分别画出这两个几何体的三视图.2.如图，试画出下列几何体的三视图.课堂练习3.如图，试根据几何体的三视图描述几何体的形状.课堂小结1.

简单组合体的组合方法;2.

简单空间图形的三视图，提高作图、识图能力，培养协作

探究精神和意识.10.2空间图形的画法江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

如图10-20(2)中，正方体的6个面是全等的正方形，为什么在直观图中这6个面不全等呢？图10-20例题讲析例1画水平放置的正三角形的直观图.例2画棱长为2cm的正方体的直观图.合作交流

用斜二测画法画几何体的直观图时，几何体各面的形状在直观图中是否都发生改变？请举例说明.课堂练习1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图.（1）（2）2．已知长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、2cm，试

画出该长方体的直观图.例题讲析例3用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.例4根据下面所给的三视图，画出相应空间图形的直观图.合作交流如何用斜二测画法画水平放置的圆的直观图？课堂练习1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图.

课堂练习2．根据下面所给的三视图，画出相应空间图形的直观图.

课堂小结1.空间图形直观图的斜二测画法;2.

斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图;3.

提高空间想象力以及直观感受.10.3.1直棱柱的表面积江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

观察图中的每一个空间图形，指出它们分别有几个面？每个面分别是什么形状？这些空间图形有哪些共同特征？问题探究

通过观察可以发现，图中的每个空间图形都是多面体，这些多面体的上下两个面都是全等的多边形，其余的面都是矩形．这些空间图形都是直立的柱状体形．

一般地，有两个面是全等的多边形，其余各面均为矩形的空间图形称为直棱柱．两个全等的多边形面称为直棱柱的底面，其余矩形面称为直棱柱的侧面，相邻两个侧面的公共边称为直棱柱的侧棱，底边多边形的顶点也称为直棱柱的顶点．直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高．特别地，底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱．抽象概括问题探究抽象概括

问题探究抽象概括

与直棱柱相对应的还有一种棱柱叫斜棱柱，主要区别在于它的侧面都是平行四边形且不全是矩形（如图）．斜棱柱一个底面上的任意一点与它在另一个底面上的正投影的连线段的长是这个斜棱柱的高．直棱柱与斜棱柱统称为棱柱．合作交流

直四棱柱集合、正四棱柱集合、长方体集合、正方体集合之间有怎样的关系？如何用维恩图表示？问题探究抽象概括

观察直棱柱可以发现，直棱柱的侧面都是矩形，且相邻两个矩形的公共边（直棱柱的侧棱）的长都相等．如果将直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展开在一个平面内，那么这个展开图是一个矩形，且这个矩形的面积就是直棱柱的侧面积.问题探究抽象概括

例题讲析

例题讲析例2

如图所示为正六棱柱形喜糖盒，其底面边长为5cm，高为6cm，制

作一个这样的糖盒需要用多大面积的材料（不计损耗和重叠部分，

精确到0.01cm2）？合作交流

用一张A4大小（21cm×29.7cm）的卡纸，在不拼接的情况下，最多可以制作几个底面边长为4cm、高为10cm的正三棱柱形纸筒（不含底面）？

课堂练习1．已知正方体的棱长为3cm，试求它的表面积．2．如图，直三棱柱状小礼盒的长为15cm，底面是一个边长

为4cm的正三角形，求它的表面积．课堂小结1．直棱柱的概念；2．直棱柱的表面积．10.3.2正棱锥的表面积江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

如下图所示，将正棱柱的一个底面正多边形向内收缩到原来的中心，此时得到一个新的空间图形，观察这个空间图形，它的各个面之间有什么特征？问题探究

通过观察可以发现，在正棱柱的一个底面收缩时，另一个底面没有变化，仍然是一个正多边形，它的侧面由矩形变化成等腰三角形，等腰三角形的底就是正多边形的边，各等腰三角形的腰等长，且这些等腰三角形有一个公共顶点，该顶点在正多边形面上的正投影为正多边形的中心．

一般地，有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体称为棱锥．多边形面称为棱锥的底面，三角形面称为棱锥的侧面，相邻两个侧面的公共边称为棱锥的侧棱，公共顶点称为棱锥的顶点，顶点与它在底面内的正投影的连线段的长称为棱锥的高．如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的正投影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥．抽象概括问题探究抽象概括

根据底面正多边形的边数，正棱锥可分为正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥等，上图是正四棱锥，可记作正四棱锥S-ABCD．问题探究抽象概括

问题探究抽象概括

例题讲析

例题讲析例4

如下图所示，已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，侧面是

等腰直角三角形，求该正三棱锥的表面积．合作交流

正三棱锥的侧面都是等边三角形，它的表面展开后可以是一个三角形吗？如果可以，那么这个三角形有什么特点？课堂练习1．正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，求它的侧面积和表面积．2．正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为4，求它的侧面积

和表面积．课堂小结1．正棱锥的概念；2．正棱锥的表面积．10.4.1圆柱、圆锥和球江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

观察下图中的每一个空间图形，发现它们都有一个面不是平的，而是弯曲的，并且这些曲面也是有规律的，它们在水平面内的正投影是一个圆（或圆面）.这些空间图形是怎么形成的？问题探究

仔细观察这些空间图形，发现它们都含有某种对称性，对每个这样的空间图形都可以找到一条直线，沿这条直线把这些空间图形切开，可以得到两个同样的几何体，且截面（几何体被切开后得到的平面图形）也是关于这条直线的轴对称图形，因此，这些空间图形都可以看作是由一个平面图形绕某一条直线旋转而成的．

一般地，由一个平面图形绕它所在平面内的某一条直线旋转一周所形成的几何体称为旋转体，这条直线称为旋转体的旋转轴（或轴）.抽象概括

下图给出了圆柱和圆锥中一些常用名称的含义.图中的圆柱、圆锥可分别记作圆柱AB、圆锥SO．抽象概括

半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面称为球面，球面围成的空间图形称为球体，简称球．这个半圆的圆心称为球心，连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径，连接球面上两点并经过球心的线段称为球的直径．抽象概括图中的球可记作球O．抽象概括圆柱、圆锥和球都是特殊的旋转体．例题讲析例1

将下图所示的直角梯形ABCD绕底AB所在的直线旋转一周，

所形成的几何体是由哪些基本几何体构成的？例题讲析例2

指出下图中的几何体是由哪些基本几何体构成的？合作交流1.球面与球体有什么区别和联系？2.用厚纸按下图画好后剪下，再沿线折起来粘好，得到的是

什么几何体？课堂练习1.指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成．

课堂小结1．旋转体的概念；2．圆柱、圆锥、球的概念．10.4.2圆柱、圆锥和球的表面积江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

如果知道一个圆柱的底面半径和高，如何求它的侧面积？如果知道一个圆锥的底面半径和母线长，如何求它的侧面积？问题探究

类似于求直棱柱、正棱锥的侧面积，把圆柱、圆锥的侧面沿其母线剪开后展开在一个平面内，如下图，展开图的面积就是它们的侧面积．1.圆柱、圆锥的侧面积

设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积为

S圆柱侧

=2πrl

设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积为

S圆锥侧

=πrl抽象概括2.圆柱、圆锥的表面积

S圆柱表

=2πrl+2πr2S圆锥表

=πrl+πr2抽象概括3.球的表面积

半径为R的球的表面积为

S球

=4πR抽象概括例题讲析例3（1）已知圆柱的底面半径为3，高为10，求该圆柱的侧面积

和表面积．

（2）已知圆锥的底面半径为4，高为3，求该圆锥的侧面积

和表面积．例4

已知球的直径为12，求它的表面积．例题讲析例5大厅内有4根相同的圆柱形柱子，高5米，底面周长为3.14米．

在一次活动中，需要将这4根柱子装饰成花柱（侧面插满装饰

花），如果每平方米需40朵装饰花，那么共需多少朵装饰花？合作交流

等底面积、等高的圆柱和圆锥，它们的侧面积能相等吗？如果能相等，那么在什么情况下相等？课堂练习1.已知圆柱的底面半径为5，高为6，求该圆柱的侧面积和表面积．2.已知圆锥的底面半径为4，母线长是8，求该圆锥的侧面积和表面积．3.如果把地球看作是一个球状几何体，地球的半径约为6370km，那

么地球的表面积约是多少？课堂小结1.圆柱、圆锥的侧面积公式2.圆柱、圆锥和球的表面积公式S圆柱侧

=2πrl

S圆锥侧

=πrlS圆柱表

=2πrl+2πr2S圆锥表

=πrl+πr2

S球

=4πR10.5.1棱柱、棱锥的体积江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

长方体的体积等于底面积与高的乘积.

那么，直棱柱的体积也可以这么来计算吗？对于一般的棱柱或者棱锥，它们的体积如何计算？问题探究

图（1）是一个长方体，将其分成如图（2）（3）所示两个完全相同的直三棱柱.不难发现，直棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积.问题探究

观察图（1），这个直棱柱是由一摞A4纸叠成的，把这摞纸按同一方向有序地平移成图（2）的形状，得到一个斜棱柱，显然，这两个棱柱的底面积相同，高相等，体积也相等.事实上，等底面积、等高的棱柱的体积相等，都等于它的底面积与高的乘积。问题探究

如图(1)，四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形，顶点S在底面内的正投影为平行四边形对角线交点O，即线段SO是这个棱锥的高.

图(2)(3)两个三棱锥都是由图(1)中的四棱锥沿高SO按不同的方向截得的，显然，这两个三棱锥的底面积相同，高相等，体积都等于原来四棱锥的一半，所以体积也相等.事实上，等底面积、等高的棱锥的体积相等。问题探究

图（1）是一个三棱柱，将它两次切割后分解成3个三棱锥如图(3)、(4)、(5).对于这3个三棱锥中的任意两个，按一定位置摆放后，可以使它们的底面积和高都相等.事实上，棱锥的体积是与它等底面积、等高的棱柱体积的三分之一.对于一般的棱柱和棱锥，有以下结论：

（1）棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积；（2）等底面积、等高的棱柱或者棱锥的体积分别相等；（3）棱锥的体积是与它等底面积、等高的棱柱体积的三分之一.抽象概括

抽象概括例题讲析例1

如下图，已知直棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=12cm，∠ABC=90ﾟ，

AA1=16cm，求该棱柱的体积V．例题讲析例2

根据下图中标出的尺寸，求正四棱锥的体积．合作交流

一个正四棱柱和一个正四棱锥的高相等，体积也相等，它们的底面周长有怎样的关系？课堂练习1.若正方体的表面积是24cm2，则它的棱长为

，体积为

．2.已知正三棱柱的底面边长为6cm，高为9cm，试求它的体积．

课堂小结1.棱柱的体积公式2.棱锥体积公式V棱柱

=S底

.

h

10.5.2圆柱、圆锥和球的体积江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）问题探究

棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积，棱锥的体积等于它的底面积与高的乘积的三分之一，而且等底面积、等高的棱柱或者棱锥的体积分别相等.

这些性质对于圆柱和圆锥仍然适用吗？问题探究

如图，制作等底面积、等高的圆柱和圆锥各一个，用细沙验证可得，这个圆柱的体积是圆锥体积的3倍.

抽象概括

抽象概括例题讲析例3

根据下图标出的尺寸，求各几何体的体积.合作交流

如果一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都等于球的直径，那么这个圆柱和圆锥的体积之和与球的体积有什么数量关系？体积之差与球的体积又有什么数量关系？课堂练习1.已知圆柱的轴截面是一个面积为9cm2的正方形，试求该圆柱的体积．2.已知圆锥的底面半径是3，高是4，试求该圆锥的体积．3.

已知一个球的直径为10cm，试求该球的体积．课堂小结1.圆柱的体积公式2.圆锥体积公式V圆柱

=S底

.

h=πr2h

3.球的体积公式

简单几何体复习课江苏省五年制高等职业教育公共基础课程教材《数学》（第二册）知识框图内容要点（1）投影1.

三视图（2）三视图及其画法

画三视图时，要把三个视图放在正确的位置上，并且注意主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等.（3）简单组合体的三视图内容要点在立体几何中，通常采用斜二测画法来画空间图形的直观图.2.

空间图形的画法内容要点几何体名称图形及侧面展开图侧面积表面积直棱柱S直棱柱侧=clS直棱柱表=S侧

+2S底正棱锥S正棱锥表=S正棱锥侧

+S底3.直棱柱、正棱锥的表面积

内容要点几何体名称图形及侧面展开图侧面积表面积圆柱S圆柱表=2𝜋rl+2𝜋r2圆锥S圆锥侧=𝜋rlS圆锥表=𝜋rl+𝜋r2球--S球面=4πR24.

圆柱、圆锥、球的表面积l2

rhrlhr2πrOR内容要点5.

柱、锥、球的体积几何体名称体积柱棱柱V棱柱

=S底

.

h圆柱V圆柱

=S底

.

h=πr2h锥棱锥圆锥球课堂练习一、判断题：1.改变投影的方向，几何体的投影也可能发生改变.

（）2.线段的正投影还是线段，且长度有可能超过原来线段的长度.（）3.正方体的正投影一定是一个正方形.

（）4.三视图中的每一个视图都是几何体的正投影.

（）5.三视图中的每一个视图都相对独立，相互之间没有关联.

（）课堂练习一、判断题：6.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行于x轴的线段

在直观图中保持长度不变.（）7.用斜二测画法画几何体的直观图时，平行于z轴的线段在直观图中的

长度变为原来的一半.（）8.旋转体的侧面是可以展开到一个平面上的.（）课堂练习二、选择题：9.一个矩形纸板的正投影

（）A．一定是矩形B．可能是三角形

C．可能是平行四边形D．不可能是线段10.若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）主视图